--- Programma dettagliato del corso--- Spazi normati e di Banach, completamenti. Esempi. Locale compattezza e finito dimensionalita'. Spazi separabili. Operatori limitati. Spazi duali. Duali di L^p. Serie in spazi di Banach: convergenza assoluta e incondizionata. Completezza. Funzionali lineari: estensioni, teorema di Hahn-Banach e applicazioni. Sottoinsiemi convessi ed iperpiani. Teoremi di separazione debole e forte. Lemma di Baire e teorema dell'uniforme limitatezza. Convergenza uniforme della serie di Fourier. Teorema dell'applicazione aperta e continuità' dell'inversa. Proprieta' degli isomorfismi e metodo di continuità'. Teorema del grafico chiuso. Spazi quoziente e loro duali. Complementari topologici, operatori invertibili a destra e a sinistra. Operatori compatti, operatori di rango finito e problema dell'approssimazione. Operatori integrali di Volterra e di Fredholm. Teorema di Schauder. Operatori di Fredholm, indice e sua invariata omotopica. Alternativa di Fredholm. Cenni di teoria spettrale. Spettro di un operatore compatto. Risolvente e calcolo funzionale olomorfo (cenni). Convergenza debole e debole-* di successioni, esempi e propria'. Compattezza debole per successioni in L^p. Topologia iniziale e topologia debole. Topologia debole ed insieme convessi. Teorema di Mazur. Topologia debole-* e teorema di Banach-Bourbaki-Alaoglu. Metrizzabilita' e separabilita'. Spazi riflessivi e riflessività' di L^p. Caratterizzazioni della riflessività': teoremi di James e di Kakutani. Riflessivita' dei sottospazi, dei prodotti e dei quozienti. Compattezza debole sequenziale e punti di distanza minima su un convesso in spazi riflessivi. Spazi strettamente e uniformemente convessi. Uniforme convessità' di L^p. Teorema di Milman. Proiezione su un convesso in spazi uniformemente convessi. Spazi preHilbertiani e di Hilbert. Completamenti e caratterizzazione. Proiezione su un convesso e su un sottospazio. Complementi ortogonali. Spazi duali. Teorema di rappresentazione di Riesz. Operatori aggiunti, operatori autoaggiunti, proiettori ortogonali. Sistemi ortogonali e ortonormali. Basi Hilbertiane. Esempi. Decomposizioni ortogonali, identità' di Parceval e serie di Fourier astratte. Teorema di isomorfismo di Riesz-Fisher. Approssimazioni di rango finito di operatori compatti. Operatori di classe traccia e di Hilbert-Schmidt. Operatori unitari e loro proprieta'. Trasformata di Fourier in L^2. Operatori autoaggiunti limitati e compatti. Teorema spettrale. Esempi: oscillatore armonico quantistico. Cenni sugli operatori non limitati. Operatori aggiunti. Operatori monotoni e massimali monotoni, operatori autoaggiunti. Autoaggiunzione del Laplaciano. Semigruppi uniformemente continui di operatori e teorema di struttura. Semigruppi fortemente continui di contrazioni. Gruppi unitari. Costruzione di (semi)gruppi fortemente continui da operatori massimali monotoni. Applicazioni: equazione del calore e di Schrödinger.
---Bibliografia di riferimento---
1)Note del corso dal docente
2)Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. 3)Conway, John B. A course in functional analysis. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 96. Springer-Verlag, New York, 1990. 4)Yosida, Kōsaku Functional analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995. 5)Pedersen, Gert K. Analysis now. Graduate Texts in Mathematics, 118. Springer-Verlag, New York, 1989. 6)Taylor, Angus Ellis; Lay, David C. Introduction to functional analysis. Second edition. John Wiley & Sons, New York-Chichester-Brisbane, 1980.
---Modalità di valutazione---
L'esame consiste unicamente in una prova orale. La prova orale serve per verificare la preparazione sulla materia, sia per i suoi aspetti teorici, sia per quanto riguarda alcune dimostrazioni e le eventuali applicazioni.
---Date degli appelli---
Primo appello 21/6/2024
Secondo appello 18/7/2024
Terzo appello 5/9/2024
Quarto appello 12/9/2024
Quinto appello 16/1/2025
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--- Programma dettagliato del corso--- Spazi normati e di Banach, completamenti. Esempi. Locale compattezza e finito dimensionalita'. Spazi separabili. Operatori limitati. Spazi duali. Duali di L^p. Serie in spazi di Banach: convergenza assoluta e incondizionata. Completezza. Funzionali lineari: estensioni, teorema di Hahn-Banach e applicazioni. Sottoinsiemi convessi ed iperpiani. Teoremi di separazione debole e forte. Lemma di Baire e teorema dell'uniforme limitatezza. Convergenza uniforme della serie di Fourier. Teorema dell'applicazione aperta e continuità' dell'inversa. Proprieta' degli isomorfismi e metodo di continuità'. Teorema del grafico chiuso. Spazi quoziente e loro duali. Complementari topologici, operatori invertibili a destra e a sinistra. Operatori compatti, operatori di rango finito e problema dell'approssimazione. Operatori integrali di Volterra e di Fredholm. Teorema di Schauder. Operatori di Fredholm, indice e sua invariata omotopica. Alternativa di Fredholm. Cenni di teoria spettrale. Spettro di un operatore compatto. Risolvente e calcolo funzionale olomorfo (cenni). Convergenza debole e debole-* di successioni, esempi e propria'. Compattezza debole per successioni in L^p. Topologia iniziale e topologia debole. Topologia debole ed insieme convessi. Teorema di Mazur. Topologia debole-* e teorema di Banach-Bourbaki-Alaoglu. Metrizzabilita' e separabilita'. Spazi riflessivi e riflessività' di L^p. Caratterizzazioni della riflessività': teoremi di James e di Kakutani. Riflessivita' dei sottospazi, dei prodotti e dei quozienti. Compattezza debole sequenziale e punti di distanza minima su un convesso in spazi riflessivi. Spazi strettamente e uniformemente convessi. Uniforme convessità' di L^p. Teorema di Milman. Proiezione su un convesso in spazi uniformemente convessi. Spazi preHilbertiani e di Hilbert. Completamenti e caratterizzazione. Proiezione su un convesso e su un sottospazio. Complementi ortogonali. Spazi duali. Teorema di rappresentazione di Riesz. Operatori aggiunti, operatori autoaggiunti, proiettori ortogonali. Sistemi ortogonali e ortonormali. Basi Hilbertiane. Esempi. Decomposizioni ortogonali, identità' di Parceval e serie di Fourier astratte. Teorema di isomorfismo di Riesz-Fisher. Approssimazioni di rango finito di operatori compatti. Operatori di classe traccia e di Hilbert-Schmidt. Operatori unitari e loro proprieta'. Trasformata di Fourier in L^2. Operatori autoaggiunti limitati e compatti. Teorema spettrale. Esempi: oscillatore armonico quantistico. Cenni sugli operatori non limitati. Operatori aggiunti. Operatori monotoni e massimali monotoni, operatori autoaggiunti. Autoaggiunzione del Laplaciano. Semigruppi uniformemente continui di operatori e teorema di struttura. Semigruppi fortemente continui di contrazioni. Gruppi unitari. Costruzione di (semi)gruppi fortemente continui da operatori massimali monotoni. Applicazioni: equazione del calore e di Schrödinger.
---Bibliografia di riferimento---
1)Note del corso dal docente
2)Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. 3)Conway, John B. A course in functional analysis. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 96. Springer-Verlag, New York, 1990. 4)Yosida, Kōsaku Functional analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995. 5)Pedersen, Gert K. Analysis now. Graduate Texts in Mathematics, 118. Springer-Verlag, New York, 1989. 6)Taylor, Angus Ellis; Lay, David C. Introduction to functional analysis. Second edition. John Wiley & Sons, New York-Chichester-Brisbane, 1980.
---Modalità di valutazione---
L'esame consiste unicamente in una prova orale. La prova orale serve per verificare la preparazione sulla materia, sia per i suoi aspetti teorici, sia per quanto riguarda alcune dimostrazioni e le eventuali applicazioni.
---Date degli appelli---
Primo appello 21/6/2024
Secondo appello 18/7/2024
Terzo appello 5/9/2024
Quarto appello 12/9/2024
Quinto appello 16/1/2025
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