L’equazione della corda vibrante
1. Modello microscopico: catene di oscillatori.
2. La lagrangiana per l’equazione delle onde; equazioni del moto; condizioni al contorno.
3. Onde progressive e regressive; formula di D’Alembert.
4. Introduzione alle distribuzioni; soluzioni nel senso delle distribuzioni; δ di Dirac, funzione di Green
5. Formula di Duhamel.
6. Onde stazionarie e serie di Fourier; serie di Fourier in forma complessa.
7. Metodo di Fourier per il problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo e con forzante.

Trasformata di Fourier e pacchetti d’onda
1. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz e sue proprietà; teorema di Plancherel-Parseval.
2. Trasformata di Fourier della gaussiana
3. Trasformata di Fourier di una distribuzione
4. Pacchetto d’onda; velocità di fase e velocità di gruppo.

L’equazione delle onde in più dimensioni
1. Membrana vibrante, condizioni al contorno e loro significato fisico.
2. La lagrangiana e l’energia per l’equazione delle onde in Rn . Unicità di soluzioni regolari.
3. Serie di Fourier in più dimensioni; l'equazione delle onde in domini rettangolari e soluzione per serie.
4. La funzione di Green e le formule di Kichhoff e Poisson
5. Cono di influenza e dominio di dipendenza; principio di Huygens.
6. Dalle equazioni di Maxwell all’equazione delle onde; onde piane, onde sferiche.

Introduzione alla teoria del potenziale
1. L’equazione per il potenziale elettrostatico, equazioni di Laplace e Poisson.
2. Funzione di Green e potenziale generato da una carica in Rn .
3. Regolarità e andamento asintotico del potenziale generato da una distribuzione di carica in Rn .
4. Identità di Green; formula di rappresentazione delle funzioni armoniche.
5. Teoremi della media e principio del massimo per funzioni armoniche; teoremi di unicità.
6. Regolarità delle funzioni armoniche.
7. Problema di Laplace nel disco con dato continuo al bordo: derivazione della formula di Poisson con il metodo di Fourier.
8. Funzione di Green in domini limitati e sue proprietà; metodo delle cariche immagine.
9. Funzione di Green in tre dimensioni per la palla in e formula di Poisson per il problema di Laplace nella palla in tre dimensioni con dato continuo al bordo.
10. Inverso del teorema della media; disuguaglianza di Harnack; teorema di Liouville.
11. Unicità per il problema di Poisson in tre dimensioni con le opportune condizioni asintotiche.

Equazione del calore
1. Leggi di conservazione in forma divergenza; legge di Fourier.
2. La funzione di Green per l’equazione del calore, via trasformata di Fourier e per autosimilarità.
3. Il principio del massimo parabolico; l’unicità della soluzione in domini limitati e in tutto lo spazio.
4. Soluzioni e comportamento asintotico dell’equazione del calore con e senza sorgenti, con le diverse condizioni al contorno, via Fourier o via funzione di Green.
5. Equazione del calore e passeggiata aleatoria.
6. Interpretazione probabilistica dell’equazione di Laplace nel caso discreto.

- Dispense del corso disponibili in rete (http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf)

- V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore Vol. II. Roma, Editori Riuniti, 1977.

- S. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali: Metodi, Modelli e Applicazioni. Milano, Springer, 2010.

- Cenni alle distribuzioni, delta di Dirac
- Introduzione alla trasformata di Fourier
- Equazione di Laplace e di Poisson, funzione di Green, identità di Green, funzioni armoniche e loro proprieta'
- Problemi al contorno e teoremi di unicita'
- Soluzione di problemi al contorno per separazione di variabili e con il metodo della carica immagine
- Equazione della corda vibrante, soluzione di D'Alembert
- Equazione della corda vibrante sul segmento, soluzione per serie di Fourier
- Equazione delle onde in due e tre dimensioni, soluzione del problema di Cauchy
- Soluzione delle Equazioni di Maxwell nel vuoto
- Equazione del calore, teoremi di unicita', soluzione in tutto lo spazio
- Soluzione di problemi di Cauchy e al contorno sul segmento per separazione di variabili

Dispense del corso disponibili in rete all'indirizzo http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf
V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore II. Editori Riuniti, 1977.
A.N. Tichonov, A.A. Samarskij, Equazioni della fisica matematica, Ed. Mir, 1981.