Parte I: Moto Browniano
1. Misura di Wiener
2. Esistenza del moto Browniano
3. Proprietà del moto Browniano (invariata per scala, rotazione, shift e inversione temporale)
4. Principio di riflessione
5. Legge 0-1 di Blumenthal
6. Martingale per il moto Browniano

Parte II: Martingale
1. Richiami di martingale discrete (arresto opzionale, disuguaglianze di Doob, teoremi di convergenza)
1. Martingale in tempo continuo (arresto opzionale, disuguaglianze di Doob, teoremi di convergenza)

Parte III: Costruzione dell’integrale di Ito
1. Processi prevedibili
2. Integrale di processi prevedibili contro processi a variazione finita
3. Martingale locali
4. Martingale locali continue a variazione finita sono costanti
5. Integrale di processi semplici contro martingale continue limitate in L2
6. Spazio di Hilbert degli integratori
7. Variazione quadratica
8. Spazio di Hilbert degli integrandi
9. Isometria di Ito
10. Estensioni tramite localizzazione

Parte IV: Proprietà dell’integrale di Ito
1. Integrale iterato
2. Covariazione
3. Identità di Kunita-Watanabe
4. Formula di Ito

Parte V: Applicazioni
1. Caratterizzazione di Levy per il moto Browniano
2. Teorema di Dubins-Schwarz
3. Martingale esponenziali
4. Teorema di Girsanov

Parte VI: Equazioni Differenziali Stocastiche
1. Nozioni di esistenza ed unicità di soluzioni
2. Teorema di esistenza ed unicità per coefficienti Lipschitz
3. Processi localmente definiti, soluzioni locali

Parte VII: Processi di diffusione (cenni)
1. Definizione e costruzione di (a,b)-diffusioni
2. Proprietà di (a,b)-diffusioni
3. Applicazioni a soluzioni di PDEs: problema di Dirichlet e problema di Cauchy
4. Teorema di Feynman-Kac

[1] Lorenzo Bertini, Calcolo stocastico e applicazioni. note del corso.
[2] Patrick Billingsley, Convergence of probability measures, 2 ed., Wiley series in probability and statistics. Probability and statistics section, Wiley, 1999.
[3] Patrick Billingsley, Probability and measure, 4 ed., Wiley, 2014.
[4] Richard Durrett, Stochastic calculus: a practical introduction, 1 ed., Probability and stochastics series, CRC Press, 1996.
[5] James Norris, Probability and measure, online lecture notes.
[6] Vittoria Silvestri and Jason Miller, Stochastic calculus, online lecture notes.
[7] Perla Sousi, Advanced probability, online lecture notes.
[8] Dawid Williams, Probability with martingales, 17th print ed., Cambridge Mathematical Textbooks, Cambridge University Press, 2014.