Programma del Corso di
Calcolo Numerico
A.A. 2020-2021- Prof.ssa Laura Pezza

I. Nozioni Introduttive.
Errori e loro propagazione. Stabilità degli algoritmi, condizionamento di un problema; Formula di propagazione dell’errore di arrotondamento. Formule ricorsive ed errore di discretizzazione.

II. Soluzione di equazioni e sistemi di equazioni non lineari
Metodi iterativi ad un punto. Separazione ed approssimazione delle radici con metodi iterativi. Ordine di convergenza ed efficienza dei procedimenti iterativi. Metodo di bisezione. Metodo di Newton-Raphson; metodo delle secanti con estremi variabili. Criteri d’arresto. Metodo di Newton-Raphson per i sistemi di equazioni non lineari.

III. Sistemi lineari
Generalità, richiami su matrici, condizionamento. Metodi iterativi di Jacobi, di Gauss-Seidel. Struttura di tipo “splitting” dei metodi e loro convergenza. Criteri d’arresto. Metodo diretto di Gauss con riordinamento pivotale. Teoremi e metodo di fattorizzazione LU ed applicazione al calcolo dell’inversa di una matrice. Metodi ed algoritmi di Cholesky e di Thomas. Calcolo del determinante di una matrice. Cenni alla SVD.

IV. Approssimazione di autovalori.
Definizione e proprietà degli autovalori di una matrice. Teoremi di localizzazione degli autovalori.
Metodo delle potenze, delle potenze inverse per il calcolo degli autovalori; metodo di Sturm.

V. Approssimazione di dati e funzioni
Approssimazione interpolatoria ed ai minimi quadrati: teoremi di esistenza ed unicità della soluzione. Interpolazione polinomiale: Matrice di Vandermonde. Espressione di Lagrange del polinomio interpolatore e del relativo errore di discretizzazione. Errore di propagazione: costante di Lebesgue. Tavola alle differenze divise. Espressione del polinomio interpolatore, dell’errore di discretizzazione e dell’errore di propagazione alle differenze divise. Caso dei nodi equidistanti: polinomio alle differenze finite e relativo errore di discretizzazione. Convergenza dei polinomi interpolatori. Polinomio ai minimi quadrati.

VI. Integrazione numerica
Formule di quadratura interpolatorie: concetti base, grado di precisione. Formule di Newton–Cotes semplici e generalizzate. Convergenza delle formule di quadratura. Criterio di Runge per la stima numerica dell’errore di discretizzazione ed estrapolazione di Richardson

VII. Soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie
Soluzione numerica del problema di Cauchy, definizioni e concetti base. Errore di discretizzazione locale, errore totale. Consistenza, ordine di accuratezza e convergenza dei metodi. Metodi one-step: di Eulero-Cauchy e di Runge-Kutta; in particolare metodi di Heun e di Runge-Kutta del 4° ordine. Dimostrazione della convergenza dei metodi one-step. Metodo predictor-corrector: Eulero modificato. Cenni alla assoluta stabilità.

Per la teoria:

[G] L. Gori - Calcolo Numerico (V Ediz.). Ed. Kappa- Roma – 2006.


Per l’esercitazione

[GLP] L. Gori- M.L. Lo Cascio –F. Pitolli – Esercizi di Calcolo Numerico (II Ed.) Ed. Kappa-Roma 2007.