- Processi di evoluzione deterministici a tempo discreto e continuo. Campi vettoriali e flussi di fase. Struttura delle curve di fase: punti singolari, orbite periodiche ed orbite aperte. Legge di trasformazione dei campi vettoriali. Il teorema della scatola di flusso.

- Raggio spettrale e norme adattate. Contrazioni lineari e contrazioni locali. Esponenziale di matrice, sue proprietà e calcolo. Criteri di stabilità per i sistemi lineari. Sottospazio centrale. Moto condizionatamente periodico. Traslazioni sul toro e teorema sulle medie.

- Punti iperbolici. Il teorema delle varietà stabile ed instabile per flussi e diffeomorfismi. Struttura globale delle varietà invarianti.

- Stabilità asintotica riconosciuta dalla parte lineare. Derivata di Lie a sue proprietà. Insiemi limite di una curva di fase e loro proprietà. Equilibri attrattivi e bacini di attrazione. Funzioni di Liapunov con applicazioni ai sistemi conservativi e dissipativi. Stabilità di un ciclo riconosciuta dalla parte lineare: moltiplicatori di Floquet, sezioni di Poincaré e mappe di primo ritorno.

- Sistemi planari. Sistemi conservativi. Orbite isolate e cicli limite. L’oscillatore di van der Pol: un esempio di ciclo limite attrattivo. Il teorema di Poincaré-Bendixson. Applicazioni a modelli della Biologia e della Fisica.

- Cenni di teoria della biforcazione. Esempi di biforcazione per sistemi autonomi in dimensione uno dipendenti da un parametro reale. Un esempio di biforcazione di Hopf.

- Sistemi caotici. Un esempio: la mappa del gatto di Arnold. Intersezioni ed orbite omocline. Insiemi iperbolici. Lemma dell'orbita ombra e sue conseguenze. Sistemi periodicamente perturbati e teorema di Poincaré sulle soluzioni periodiche. Formula di Melnikov per la determinazione dell'intersezione omoclina trasversa. Applicazione alla dinamica del pendolo forzato: esistenza di moti caotici.

- Introduzione alla teoria ergodica: ricorrenza, ergodicità, mescolamento. Esempi.

P. Buttà, Appunti per il corso di Sistemi Dinamici, reperibili in rete all'indirizzo http://www.mat.uniroma1.it/people/butta/didattica. Materiale bibliografico supplementare è indicato in queste dispense o viene reso disponibile al suddetto indirizzo di rete.