Elementi di base Richiami di logica elementare. Condizioni necessarie e sufficienti. Teoremi e dimostrazioni. Contronominale e dimostrazione per assurdo. Predicati. . Disuguaglianza di Bernoulli. Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi, razionali. Operazioni, ordinamento, densità. La "radice di 2" non è un numero razionale. Numeri reali (R nel seguito). Operazioni, ordinamento, densità. Intervalli. Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. Maggiorante (minorante), massimo (minimo), estremo superiore (inferiore). Completezza di R. Radicali, potenze, esponenziali, logaritmi, grandezze trigonometriche. Equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Successioni. Sommatorie. Numeri complessi Numeri complessi. Rappresentazione cartesiana. Parte reale. Parte immaginaria. Operazioni. Struttura di campo. Struttura metrica: modulo e distanza. Coniugio. Coordinate polari. Rappresentazione trigonometrica. Prodotto, rapporto. Potenze n-esime di numeri complessi: formula di de Moivre. Rappresentazione esponenziale. Radici n-esime complesse. Teorema fondamentale dell'algebra. Equazioni in campo complesso. Rappresentazione complessa delle funzioni trigonometriche reali. Funzioni di una variabile reale a valori reali Funzioni: dominio, codominio, immagine, grafico. Relazioni fra grafico e dominio e immagine. Funzioni iniettive, suriettive. Funzioni invertibili, funzione inversa. Funzione pari, funzione dispari. Funzione monotona. Funzione periodica, periodo. Funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e trigonometriche inverse; loro grafici qualitativi. Funzioni composte. Composizione di funzioni monotone. Monotonia di funzioni composte. Grafici qualitativi di funzioni composte: traslazioni, riscalamenti, riflessioni, composizioni con il valore assoluto. Invertibilità di funzioni monotone e monotonia delle funzioni inverse. Funzioni definite a tratti. Funzioni superiormente (inferiormente) limitate, funzioni limitate. Estremo superiore (inferiore), massimo (minimo) assoluto, massimo (minimo) locale di una funzione. Caratterizzazione dell'estremo superiore (inferiore) di una funzione. Punti di massimo (minimo) assoluto (locale). Utilizzo del grafico qualitativo per la determinazione di estremo superiore (inferiore) e massimi (minimi) locali e assoluti. Limiti Elementi di topologia in R: distanza, intorni, R*. Successioni convergenti. Limite di una successione. Unicità del limite. Successioni divergenti. Successioni irregolari. Non esistenza del limite. Successioni monotone. Teorema di monotonia per successioni. Algebra dei limiti. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Aritmetizzazione parziale di R*. Forme indeterminate. Successioni infinite ed infinitesime. Simbolo di Landau o(1). Algebra di o(1). Il numero e. Teorema del rapporto per successioni. Gerarchia di infiniti. Il concetto di limite di funzioni reali di una variabile reale: definizione, unicità. Limiti destro e sinistro. Definizione topologica di limite. Proprietà elementari: permanenza del segno, confronto, algebra dei limiti. Limite di funzione monotona. Limiti di funzioni potenza, razionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Limite di funzione composta. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Funzioni infinitesime, funzioni infinite. Confronto tra funzioni infinite e tra funzioni infinitesime. Ordini di infinito e di infinitesimo. Stime asintotiche. Il simbolo di Landau "o piccolo". Algebra degli "o piccolo". Asintoto orizzontale, verticale, obliquo. Criterio per l'esistenza dell'asintoto obliquo. Continuità delle funzioni reali di una variabile reale Definizione di funzione continua. Algebra delle funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari (razionali, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche). Continuità delle funzioni composte. Punti di discontinuità. Proprietà elementari. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Monotonia e invertibilità per funzioni continue su intervalli. Continuità della funzione inversa. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale Rapporto incrementale. Derivata e derivabilità. Retta tangente al grafico di una funzione in un punto e sua equazione. Derivata destra e sinistra. Punto angoloso. Cuspide. La derivabilità implica la continuità. Derivate di funzioni elementari. Proprietà elementari. Algebra delle derivate. Derivata di una funzione composta. Derivata della funzione inversa. Calcolo delle derivate. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Punti di flesso a tangente orizzontale. Teorema di Rolle. Teorema del valor medio (di Lagrange). Relazioni tra derivata prima e monotonia. Teorema di de l'Hopital. Gerarchia di infiniti per funzioni. Funzioni concave e convesse. Convessità implica continuità (a meno degli estremi). Derivate di ordine superiore. Relazioni tra derivata seconda e convessità. Punti di flesso. Studio del grafico di una funzione reale di una variabile reale. Determinazioni di (punti di) massimo e minimo locale o assoluto, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione. Sviluppi al primo ordine (linearizzazione). Derivate di ordine superiore. Sviluppi di ordine successivo. Polinomio di Taylor e di McLaurin. Teorema di Peano. Teoria dell'integrazione per funzioni reali di una variabile reale Integrale (di Riemann) e integrabilità (secondo Riemann). Alcune classi di funzioni integrabili. Proprietà elementari. Teorema della media. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzione primitiva. Integrale indefinito. Funzioni integrali composte. Derivata di funzioni integrali composte. Primitive di funzioni definite a tratti. Primitive delle funzioni elementari. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Integrali definiti di funzioni definite a tratti. Integrali impropri su intervalli illimitati: definizione, calcolo diretto per alcuni campioni, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Serie numeriche Definizione di serie. Carattere (convergente, divergente, irregolare) di una serie. Carattere di serie geometriche, serie di Mengoli, serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Linearità. Resto di una serie. Convergenza del resto di una serie. Serie a termini positivi: carattere (convergente o divergente). Criterio integrale. Carattere della serie armonica generalizzata. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Studio del carattere di serie numeriche mediante applicazioni del teorema di Peano. Criterio della radice. Criterio del rapporto. Convergenza assoluta. Serie a segno alterno. Criterio di Leibnitz.

Carlo Sbordone, Paolo Marcellini "Elementi di Analisi Matematica Uno”,Liguori Carlo Sbordone, Paolo Marcellini “Esercitazioni di Matematica” Vol 1, parte 1 e 2, Liguori editore