Docente
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FREZZA MASSIMILIANO
(programma)
Elementi di logica e calcolo proposizionale. Elementi di insiemistica. Definizione e notazione. Rappresentazione (per elencazione, per proprieta caratteristica, diagrammi Eulero-Venn). Sottoinsieme e notazione, Insieme universale. Complementazione. Insieme delle parti. Operazioni insiemistiche (unione, intersezione -insiemi disgiunti - differenza, differenza simmetrica). Proprieta (idempotenza, associativita distributivita, commutativita). Leggi di de Morgan. n-pla ordinata. Prodotto cartesiano. Proprieta. Chiusura di un insieme rispetto ad un'operazione. Numeri naturali. Numeri interi relativi. Numeri razionali (insieme denso). Incommensurabilita. Numeri reali. L' insieme R: gruppo commutativo, totalmente ordinato e completo. Numeri complessi (cenni). Primo teorema di Cantor. Secondo teorema di Cantor. Corrispondenze tra insiemi. Funzioni, definizioni e notazioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni monotone. Rappresentazione dei numeri reali. Piano cartesiano. Grafico di una funzione. Maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo. Intervalli (aperti, chiusi, limitati, illimitati). Intorni di un punto (circolari, bucati, destri e sinistri). Punti di accumulazione. Intorno di infinito. Metodi di dimostrazione: per induzione e per assurdo. Successioni: definizione, notazione e rappresentazione grafica. Successione monotona. Proprieta valide definitivamente. Limite di una successione e costruzione della definizione. Successioni infinitesime. Successioni regolari. Teorema di unicita del limite. Teorema della permanenza del segno (diretto ed inverso). Teorema del confronto. Operazioni sui limiti delle successioni. Serie: definizione e generalita. Carattere. Serie di Mengoli e geometrica. Condizione necessaria di convergenza. Serie armonica. Serie resto. Serie assolutamente convergenti. Serie a termine di segno costante. Criteri del confronto, del rapporto, della radice. Limiti di una funzione. Costruzione della definizione mediante intorni e sua specificazione nei diversi casi limite (punto limite finito o infinito, limite finito o infinito). Limite destro e sinistro. Teorema di unicita del limite. Teorema della permanenza del segno (diretto ed inverso). Teorema del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Funzioni continue. Definizione (anche in termini incrementali). Continuita a destra e sinistra. Continuita in un intervallo. Punti singolari: definizione e classificazione. Teoremi sulle funzioni continue.Teorema 6.9.2. Massimi e minimi relativi e assoluti. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue. Teorema dell'uniforme continuita (Heine-Cantor). Teorema di esistenza degli zeri. Corollari 6.9.1 e 6.9.2. Teorema del punto fisso. Funzione composta. Teorema 6.10.1. Funzione inversa. Teorema 6.10.2. Infinitesimi ed infiniti. Calcolo differenziale: definizione di derivata e significato geometrico. Derivata destra e sinistra. Teorema 7.1.1. Regole di derivazione: Teoremi7.3.1, 7.3.2 e 7.3.3. Derivate delle funzioni elementari. Crescenza e decrescenza puntuale. Teoremi 7.4.1, 7.4.2 e 7.4.3. Punti stazionari. Teoremi della media: Teorema 7.5.1 (di Rolle), Teorema 7.5.2 (di Cauchy), Teorema 7.5.3 (di Lagrange), Teoremi 7.5.4 e 7.5.5. Crescenza e decrescenza in grande: definizione. Teoremi 7.6.1, 7.6.2, 7.6.3, 7.6.4, 7.6.5 e 7.6.6. Forme indeterminate. Teorema 7.7.1 (di de L'Hospital). Differenziale: definizione, significato geometrico ed esempi. Funzione resto. Proprieta. Esempi. Derivata della funzione composta e di quella inversa. Teoremi 7.9.1 e 7.9.2. Derivate di ordine superiore al primo. Teorema 7.10.1. Concavita e convessita puntuale: definizione ed interpretazione geometrica. Punti di Flesso. Teoremi 7.11.1, 7.11.2, 7.11.3, 7.11.4, 7.11.5 e 7.11.6. Concavita e convessita in grande. Definizione ed interpretazione geometrica. Teoremi 7.12.1, 7.12.2 e 7.12.3. Asintoti. Esempi. Studio di funzione. Polinomio di Taylor. Formula di Taylor. Calcolo integrale: somme integrali. Proprieta. Teoremi 8.1.1 e 8.1.2. Significato geometrico dell'integrale. Teorema 8.3.1. Teoremi 8.3.2 (del valor medio), 8.3.3, 8.3.4. Integrale definito. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (di Torricelli-Barrow). Calcolo dell'integrale definito mediante la primitiva. Integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita. Regole per il calcolo degli integrali definiti. Teoremi 8.9.1, 8.9.2 (solo nel caso fIC1) e 8.9.3.
ALGEBRA LINEARE Vettori. Operazioni con i vettori. Spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali. Combinazione lineare di vettori. Combinazione lineare convessa di vettori (con dimostrazione dell'equivalenza delle due definizioni solo per il caso n=2). Dipendenza ed indipendenza lineare. Teoremi relativi: in particolare Teoremi 55, 59, 60. Sistema di generatori e basi di uno spazio vettoriale. Teorema 67 (di rappresentazione unica). Teorema 68. Teorema 72 (teorema fondamentale degli spazi lineari). Teorema 74 (di Rouche-Capelli). Teorema 76 (di Cramer). Matrici. Operazioni con matrici e proprieta. Prodotto righe per colonne. Legge di annullamento del prodotto. Determinante di una matrice. Minore complementare e complemento algebrico. Teorema 115 (primo teorema di Laplace 115). Regola di Sarrus. Proprieta dei determinanti (incluso il secondo teorema di Laplace). Minore di ordine k. Rango di una matrice. Proprieta. Teorema 130 (di Kroneker). Matrice inversa. Matrice cofattore. Calcolo della matrice inversa. Sistemi lineari. Teorema 132 (di Cramer). Applicazioni del teorema di Rouche-Capelli e di quello di Cramer ai sistemi lineari. Sistemi lineari omogenei. Teorema 140. Sistemi parametrici.
La numerazione delle proposizioni o dei teoremi fa riferimento: - per la prima parte: al testo Angrisani; - per la parte di Algebra Lineare: alle relative dispense scaricabili.
Teoria:
M. Angrisani, Introduzione alla attivita matematica, Edizioni CISU, Roma. 2015
S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare, free released at the download area (homepage Prof.ssa Anna Attias - Matematica corso base)
Esercizi:
A. Attias - P. Ferroni, Introduzione alla attivita matematica.700 esercizi svolti, CISU Edizioni, Roma, 2012.
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