A) EQUAZIONI BASE della meccanica linearizzata dei solidi e delle strutture spazio-discr(-etizzat-)e - Approccio debole e Metodo degli Elementi Finiti (MEF) A.1 Richiami di meccanica dei continui solidi elastici lineari Concetti preliminari della meccanica dei continui solidi. Punto di vista Euleriano e Lagrangiano. Basi locali. Derivazione ed integrazione su domini euleriani (variabili nel tempo) e lagrangiani. Teorema del trasporto di Reynolds in forma locale. Principio di conservazione della massa e sue localizzazioni. Secondo teorema del trasporto di Reynolds. Assiomi della meccanica del continuo. Forme locali del principio di conservazione della quantità di moto, Teoremi di Cauchy. Localizzazione del momento della quantità di moto: simmetria del tensore degli sforzi e teorema di conservazione della potenza meccanica. Esistenza del vettore densità di calore. Forma locale di conservazione dell'Energia. Concetto di deformazione per un solido. Velocità di deformazione. (Secondo) Principio della termodinamica (postulato di Clausius) e sua forma locale. Forma locale di conservazione dell'Energia in forma di Entropia per i solidi. Trasformazioni reversibili ed irreversibili per i solidi. Solidi elastici. Solidi elastici lineari. Caratterizzazione dei solidi elastici lineari. Solidi elastici lineari isotropi (hookeani). Costanti elastiche e loro vincoli. A.2 Formulazione del problema in forma debole: equazioni globali del MEF Formulazione del problema in forma debole del metodo degli spostamenti. Legge dei lavori virtuali (formulazione debole) ed equazioni di Lagrange per i solidi elastici lineari con ipotesi sul campo di spostamento del metodo degli Elementi Finiti (funzioni-base “a tenda”). Equazioni di Lagrange per un solido elastico lineare. Formulazione debole come approccio “alla Galerkin”. Struttura e proprietà della matrici di massa e rigidezza (per solido elastico ed elastico isotropo). A.3 Elementi Finiti 1D, 2D e 3D, equazioni locali ed assemblaggio Visione locale “di elemento” con campo di spostamenti, funzione di forma, legame cinematico e costitutivo di elemento. Scrittura dell’equilibrio in forma debole: matrici di massa e di rigidezza di elemento. L’elemento 2D triangolare piano a tre nodi (membranale a sforzo piano): effetto dell’aumento dei nodi. Elemento 1D a due nodi di asta e barra di torsione (matrice di rigidezza di elemento); elemento 1D a due nodi di trave di Eulero (matrice di rigidezza di elemento); caso generale di elemento 1D a due nodi nello spazio (matrice di rigidezza totale di elemento). Elemento 2D quadrilatero piano a quattro nodi (membranale a sforzo piano): effetti dell’incremento dei nodi. Elemento 2D quadrilatero piano di piastra a flessione (cenni sull’ elemento quadrilatero generico flesso-membranale). Elemento 3D tetraedrico per il problema elastico generale: cenni sull’aumento del numero di nodi e sull’elemento parallelepipedo. Assemblaggio generico degli EF sulla base della formulazione debole: somma partizionata delle matrici. Assemblaggio delle matrici di elemento e dei carichi di elemento. Imposizione delle condizioni al contorno. Cenni sulle Proprietà e caratteristiche degli elementi finiti di completezza, compatibilità, convergenza e invarianza geometrica. B) METODI DI SOLUZIONE della meccanica linearizata dei solidi e delle strutture spazio-discr(-izzat-)e B.1 Risposta libera e forzata Formulazione Problema EDO del II ordine dalle equazioni di Lagrange linearizzate. Problema di autovalori associato. Proprietà intrinseche e tre teoremi sul problema di autovalori associato. Risposta libera. Soluzione in forma chiusa del problema omogeneo: identificazione dei modi e frequenze proprie di vibrazione con autovettori ed autovalori. Relazione tra problema di autovalori a due matrici e problema di autovalori standard. Coordinate Lagrangiane FEM v.s. coordinate modali. Convergenza della soluzione. Risposta forzata di sistemi EDO lineari del II ordine a coefficienti costanti per la dinamica strutturale. Richiami sulle trasformate ed antitrasformate di Laplace e di Fourier; trasformate di finzioni elementari. Matrici di trasferimento (dominio di Laplace) e delle funzioni di risposta in frequenza (dominio di Fourier) su base spaziale e spettrale. Matrice delle Funzioni di Trasferimento e matrice delle Funzioni di Risposta in Frequenza per un sistema dinamico vibratorio: Serie di Fourier monolatera e bilatera; integrale e trasformata di Fourier. Matrice delle Funzioni di Risposta in Frequenza per un sistema dinamico vibratorio: trasformata di Fourier come limite della serie di Fourier. Significato delle funzioni di risposta in frequenza ad un ingresso armonico semplice. Significato della matrice delle funzioni di risposta in frequenza a più ingressi di armonici sincronizzati. Condizioni di risonanza per sistemi a N dofs, appropriazione modale e condizioni di ortogonalità del carico. B.2.Modellizzazione e analisi di strutture smorzate Considerazioni termodinamiche generali sullo smorzamento nei continui solidi. Modelli lineari per solidi viscosi. Discretizzazione spaziale (Eq. di Lagrange) per solidi viscosi in campo lineare. Proprietà generali della matrice di smorzamento viscoso. Modelli lineari per solidi a smorzamento debole: matrice di smorzamento viscoso, stima degli autovalori ed autovettori per sistemi debolmente smorzati (teoria di Rayleigh-Basile), smorzamento modale, smorzamento proporzionale. Cenni sullo smorzamento viscoso non-debole. C) EQUAZIONI BASE E SOLUZIONI della meccanica linearizzata dei solidi spazio-continui Dinamica dei sistemi spazio-continui. Operatori lineari strutturali (esempi, 1D, 2D, e 3D; prodotto interno, serie di funzioni ortogonali. Operatori aggiunti ed autoaggiunti. Teorema di Betti-Castigliano. Tre teoremi spettrali. Esempio: le autofunzioni dell’asta. Il metodo delle autofunzioni per la soluzione di problemi elastici lineari spazio-continui: a) Problemi di risposta dinamica libera (le autofunzioni come modi propri di vibrazione); b) Problemi di risposta statica (esempio di risposta di una piastra appoggiata nei quattro lati, soluzione alla Navier). D) STRUTTURE AERONAUTICHE SOTTILI BIDIMENSIONALI D.1 Strutture a piastra isotrope ed in materiale composito Il modello di piastra isotropa puramente inflessa (con piano medio indeformabile a membrana) rettangolare per piccoli spostamenti: campo cinematico, delle deformazioni e degli sforzi; equilibrio. Equazioni di equilibrio e finali della piastra puramente inflessa omogenea isotropa. Equazioni della piastra multistrato. Condizioni al contorno. Soluzione della piastra con carico a membrana e imperfezione (campo di spostamenti) iniziale prescritta: soluzione con autofunzioni. Problemi termici per le piastre puramente inflesse: riduzione del problema al secondo ordine e risoluzione con autofunzioni alla Navier. Equazioni della piastra isotropa con piano medio deformabile a membrana: equazioni e campo cinematico, equazioni costitutive ed equazioni di equilibrio scritte nella configurazione deformata. Problema nel piano e fuori del piano (accoppiamento ad una via). Esempio guida della piastra rettangolare appoggiata nei quattro lati con carico a membrana nei due lati opposti: i) soluzione del problema statico nel piano; ii) soluzione del problema flessionale dinamico con il metodo delle autofunzioni e discussione della stabilità: determinazione del carico limite di buckling e della deformata critica. Caratterizzazione elastica lineare di una lamina di composito unidirezionale a fibra lunga come continuo ortotropo 2D. Equazioni della piastra laminata. Soluzione con metodo delle autofunzioni per piastre laminate ortotrope. D.2 Strutture a guscio Considerazioni generali sulle strutture a guscio: modelli membranali e modelli flessionali. Caso guida del guscio sferico per il comportamento a membrana e flessionale dei gusci. Le equazioni base del comportamento a membrana di gusci di rivoluzione con carico assialsimmetrico. La soluzione analitica in termini di stato di sforzo per un guscio a generica geometria assialsimmetrica con carico assialsimmetrico. Alcune soluzioni analitiche: i) guscio sferico chiuso a pressione; ii) cupola chiusa sottoposta al proprio peso (cambio segno tensioni circonferenziali); iii) cupola aperta con carico in sommità sottoposta al suo peso. iv) le chiusure sferiche o ellittiche dei serbatoi cilindrici a pressione; v) guscio conico; vi) guscio cilindrico; vii) guscio toroidale (argomento facoltativo). Le equazioni base dei gusci a membrana di rivoluzione con carico NON assialsimmetrico. Alcune soluzioni analitiche per i gusci assialsimmetrici a carico non assialsimmetrico: i) serbatoio cilindrico chiuso contenente fluido pesante; ii) calotta sferica sottoposta a vento (solo equazioni base). Gusci a comportamento flessionale: le ipotesi base per la teoria dei gusci flessionali, presenza delle curvature nelle caratterizzazioni di sforzo, legame costitutivo locale e globale. Gusci a comportamento flessionale: equazioni con il metodo degli spostamenti per il cilindro circolare con carico assialsimmetrico. Soluzione del problema statico libero con sole condizioni al contorno (soluzione omogenea). Alcune soluzioni per il cilindro Flessionale con carico assialsimmetrico: i) risposta statica ad un carico anulare; ii) risposta statica a forze e momenti di estremità e sforzo termico in un guscio cilindrico; iii) cenni alle chiusure sferiche ed ellissoidali di gusci cilindrici pressurizzati (argomento facoltativo). iv) Carico critico per un cilindro presso-compresso semplicemente appoggiato all’estremità. E) Progetto ottimo (Optimal Design) a singolo e a multi-obiettivo nelle strutture aeronautiche Introduzione sull'utilizzo di tecniche di ottimizzazione in ingegneria strutturale. Formulazione generale del problema di ottimizzazione strutturale: funzione costo, variabili di progetto e vincoli. Soluzione analitica e condizioni di Kuhn-Tucker. Cenno sui metodi numerici per problemi non analitici (stepest descendent e Newton method). Esempi di ottimizzazione strutturale mono-obiettivo. Cenni ai principi ed applicazioni di ottimizzazione multi-obiettivo: pareto ottimalità, algoritmi basati sul gradiente ed algoritmi genetici. F) Esercitazioni numeriche su componenti di strutture aeronautiche - Risposta statica di una struttura tipo cassone alare con il metodo degli Elementi Finiti. Confronti con soluzioni analitiche elementari di trave incastrata a flessione e struttura a parete sottile chiusa a torsione. - Risposta dinamica di una struttura tipo cassone alare con il metodo degli Elementi Finiti. - Risposta statica di una piastra rettangolare ad un carico statico distribuito e concentrato con il metodo delle autofunzioni (Navier) ed analisi modale: confronto tra soluzioni numeriche ed analitiche. - Analisi agli elementi finiti di strutture a guscio tipo fusoliera. Generazione di strutture sottili per rotazione ed estrusione. Discretizzazione agli elementi finiti e generazione di un file di input. Esempio di un guscio cilindrico. Confronto con soluzione analitica. - Analisi agli elementi finiti per la generazione di gusci di rivoluzione tipo fusoliera. Generazione di strutture sottili per rotazione ed estrusione. Esempio di un tronco di cupola cilindrica soggetta al proprio peso ed ad un carico anulare. Confronto con soluzioni analitiche. - Analisi agli elementi finiti per la stabilità dell’equilibrio elastico in campo lineare. Determinazione del carico critico limite e della deformata critica. Determinazione del carico critico di una struttura a piastra e di una struttura a guscio cilindrico con carico membranale assiale.

Gli appunti del docente a cura del docente sono integralmente resi disponibili in internet http://www.ingaero.uniroma1.it/index.php?option=com_content&view=article&id=236&Itemid=376&lang=it Per approfondimenti sono inoltre indicati nel seguito alcuni riferimenti bibliografici.