Docente
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ANSINI NADIA
(programma)
Metodo indiretto del Calcolo delle variazioni: Variazione prima di un funzionale, Equazione di Eulero: forme classiche integrali e differenziali. Studio esplicito di casi modello di funzionali integrali. Nascita delle condizioni al bordo per le equazioni di Eulero: condizioni di Dirichlet, di Neumann e periodiche. Minimalita` via convessita` e via funzionale ausiliario.
Problemi variazionali in piu` variabili: integrale di Dirichlet e Laplaciano, equazione di Eulero in forma di divergenza, derivata normale e condizioni di Neumann, esempi di equazioni ellittiche semilineari viste come equazioni di Eulero.
Metodo diretto del Calcolo delle Variazioni: Compattezza, semicontinuita` e teorema di Weierstrass in uno spazio metrico. Richiami sugli spazi di Sobolev, Lp, Hilbert. Non compattezza forte delle palle in dimensione infinita. Convergenza debole, compattezza debole delle palle e semicontinuita` della norma.
Esempi di teoremi di compattezza e/o semicontinuita` in spazi di funzioni: ruolo delle ipotesi di crescita e di convessita` rispetto alla derivata. Semicontinuita` debole di un funzionale integrale con integranda convessa.
Rilassamento: Esempi di problemi di minimo senza soluzione. Definizione di funzionale rilassato e di inviluppo semicontinuo. Estensione per rilassamento di un funzionale ad un ambiente piu` generale. Convessificata di una funzione reale e suo ruolo nel calcolo del rilassato di un funzionale integrale.
Gamma convergenza: Definizione di Gamma limite, Gamma limsup e Gamma liminf e loro semicontinuita`. Disuguaglianza del liminf e del limsup. Rapporti tra Gamma convergenza, convergenza puntuale/uniforme, rilassamento. Proprieta` fondamentale della Gamma convergenza: Convergenza dei minimi e dei punti di minimo. Stabilita` del Gamma limite rispetto a perturbazioni continue.
Problemi ed Esempi Classici: Problemi variazionali classici (brachistocrona, minimizzazione del perimetro ad area fissata, superficie di rotazione di area minima, catenaria).
Esempi classici: problemi con ostacolo, sulla funzione e sulla derivata.
Esempio classico di Gamma convergenza: problemi con passaggio dal discreto al continuo, dal rapporto incrementale alla derivata.
Esempio classico di Gamma convergenza: problemi di omogenizzazione di coefficienti periodici.
Esempio classico di Gamma convergenza: problemi di transizione di fase che portano all’introduzione del funzionale di Modica-Mortola.
[1] G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt; One-dimensional Variational Problems – An Introduction. Oxford University Press, 1998.
[2] F. Clarke; Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 2013.
Dispense che coprono la parte di programma relativa ai metodi indiretti:
[5] Le dispense del corso di Philip D. Loewen: http://www.math.ubc.ca/~loew/m402/.
[6] Le dispense del corso di M. Bendersky: http://math.hunter.cuny.edu/~benders/cofv.pdf.
Rilassamento e la Gamma convergenza:
[8] A. Braides; Γ-convergence for beginners. Oxford University Press, 2002.
[9] A. Braides; A handbook of Γ-convergence. https://www.mat.uniroma2.it/~braides/Handbook.pdf.
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