a) Teoria del potenziale gravitazionale Energia potenziale e potenziale gravitazionale. Potenziali non sferici: modelli di Kuzmin-Plummer, potenziali logaritmici. Coordinate sferoidali oblate: definizione di gradiente e laplaciano. Sistemi sferoidali. Potenziale gravitazionale. Superfici equipotenziali e superfici isodensità. Sferoidi confocali e sferoidi simili. Potenziale interno ed esterno a uno sferoide. Limite sferico. Velocità di rotazione. Estensione al caso dei sistemi triassiali. Potenziali di Ferrers. Potenziali di dischi. Potenziale di un disco sottile: tecniche di calcolo. Disco di Mestel. Velocità di rotazione. b) Sviluppi in serie del potenziale gravitazionale Funzioni armoniche. Teorema dei coseni. Polinomi di Legendre e loro proprietà. Ortogonalità. Sviluppo di una funzione in serie di polinomi di Legendre. Formula di Rodrigues. Polinomi armonici omogenei. Armoniche sferiche superficiali e loro proprietà. Sviluppi in serie di armoniche sferiche. Armoniche sferiche elementari. Soluzione dell’equazione differenziale per Sm. Separazione delle variabili. Equazione associata di Legendre. Ortogonalità delle armoniche sferiche elementari. Armoniche zonali, tesserali e settoriali. Sviluppo in serie del potenziale di una distribuzione regolare di materia. Calcolo dei coefficienti. Potenziale esterno a una distribuzione qualsiasi di materia. Termine di monopolo e termine di dipolo. Momento m-esimo. Teorema di addizione. Potenziale terrestre. c) Appendice matematica Equazione integrale di Abel. Integrali ellittici di I e II specie. Funzioni Gamma e Beta di Eulero. Funzioni di Bessel e trasformata di Hankel. Funzione ipergeometrica e sue proprietà. Cenni alle funzioni analitiche a variabile complessa. Sviluppo di Taylor. Teorema dei residui. Sviluppo di Mittag-Leffler. Serie infinita di prodotti. Cenni di trigonometria sferica.

- Binney e Tremaine: "Galactic Dynamics" - Princeton (capitoli 1-2) (per la parte dedicata alla teoria del potenziale gravitazionale) - Dispense di Marco Merafina (consegnate direttamente a lezione) (per la parte dedicata all'appendice matematica) - Appunti del corso

a) Teoria del potenziale gravitazionale Energia potenziale e potenziale gravitazionale. Potenziali non sferici: modelli di Kuzmin-Plummer, potenziali logaritmici. Coordinate sferoidali oblate: definizione di gradiente e laplaciano. Sistemi sferoidali. Potenziale gravitazionale. Superfici equipotenziali e superfici isodensità. Sferoidi confocali e sferoidi simili. Potenziale interno ed esterno a uno sferoide. Limite sferico. Velocità di rotazione. Estensione al caso dei sistemi triassiali. Potenziali di Ferrers. Potenziali di dischi. Potenziale di un disco sottile: tecniche di calcolo. Disco di Mestel. Velocità di rotazione. b) Sviluppi in serie del potenziale gravitazionale Funzioni armoniche. Teorema dei coseni. Polinomi di Legendre e loro proprietà. Ortogonalità. Sviluppo di una funzione in serie di polinomi di Legendre. Formula di Rodrigues. Polinomi armonici omogenei. Armoniche sferiche superficiali e loro proprietà. Sviluppi in serie di armoniche sferiche. Armoniche sferiche elementari. Soluzione dell’equazione differenziale per Sm. Separazione delle variabili. Equazione associata di Legendre. Ortogonalità delle armoniche sferiche elementari. Armoniche zonali, tesserali e settoriali. Sviluppo in serie del potenziale di una distribuzione regolare di materia. Calcolo dei coefficienti. Potenziale esterno a una distribuzione qualsiasi di materia. Termine di monopolo e termine di dipolo. Momento m-esimo. Teorema di addizione. Potenziale terrestre. c) Appendice matematica Equazione integrale di Abel. Integrali ellittici di I e II specie. Funzioni Gamma e Beta di Eulero. Funzioni di Bessel e trasformata di Hankel. Funzione ipergeometrica e sue proprietà. Cenni alle funzioni analitiche a variabile complessa. Sviluppo di Taylor. Teorema dei residui. Sviluppo di Mittag-Leffler. Serie infinita di prodotti. Cenni di trigonometria sferica.

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