Introduzione al corso: Movimento Browniano: trattazione di Einstein ed equazione di Langevin. Trattazione naif delle equazioni stocastiche e primi paradossi. Introduzione alla teoria della probabilità: Paradosso di Bertrand - Assiomi della probabilità e loro interpretazione - Probabilità congiunta - Indipendenza - Probabilità condizionata e formula di Bayes - Variabili casuali - Valori aspettati - Distribuzioni di probabilità. Momenti, correlazioni e covarianza - Valori medi e legge dei grandi numeri - Disuguaglianza di Chebishev - Somma di variabili casuali indipendenti e convoluzione di distribuzioni di probabilità: caso gaussiano - Funzione caratteristica e sue proprietà. Teorema del limite centrale: Caso di variabili iid - variabili id e condizione di Lindeberg - Controesempio: distribuzione di Cauchy - Processo Poissoniano e distribuzione di Poisson. - Funzione generatrice per variabili casuali discrete - Stabilità della distribuzione di Poisson rispetto alla somma Generalizzazione del Teorema del limite centrale a variabili con varianza infinita. - Cenni sulle distribuzioni di Levy. Limiti di sequenze di variabili casuali: principali tipi di convergenze e loro relazione - Introduzione ai processi di Markov ed equazione di Chapman-Kolmogorov Catene di Markov: Catena a due stati, RW su n-ciclo/ RW (libero): soluzione con funzione generatrice Problema del giocatore (RW con barriera assorbente). Tempi di ritorno del RW. Definizione di stato transiente, stato persistente, stato periodico - Definizione di siti accessibili, catena irriducibile e catena ergodica - Teorema ergodico - Processi reversibili e bilancio dettagliato - Metodo Monte Carlo - Limite di tempo continuo per le catene di Markov e Master equation. Esempio: processo di nascita e morte. Processi markoviani: Equazione integro-differenziale di Chapman-Kolmogorov e sua interpretazione - Discussione dei vari casi limite: master equation, equazione di Liouville, equazione della diffusione, equazione di Fokker-Planck - Backward equation - Processi di Markov stazionari - Proprietà ergodiche. Processi Markoviani omogenei - Problema dell'ergodicità - Condizioni sufficienti su dCK per ergodicità processo markoviano omogeneo - Processo di Ornstein-Uhlenbeck. Equazioni differenziali stocastiche: Problemi nella scrittura di un'eq. diff. stocastica (non-differenziabilita' dell'integrale del noise bianco) - Definizione dell'integrale alla Ito, sue proprieta' (esistenza, valor medio, correlazione) - Formula di Ito per il differenziale - Definizione di equazione differenziale stocastica (di Ito), condizioni per esistenza e unicita'. Formula di Ito per il differenziale di una funzione della soluzione di una s.d.e. - Derivazione dell'eq. di Fokker-Planck dalla s.d.e. - Caso multi-variato - Definizione dell'integrale di Stratonovich - Relazione tra integrazione di Ito e di Stratonovich, tra i coefficienti delle s.d.e. corrispondenti e tra le eq. di Fokker-Planck corrispondenti - Differenziale di Stratonovich - Esempi di s.d.e.: totalmente omogenea, moltiplicativa lineare (differenza tra soluzione di Ito e soluzione di Stratonovich). Processo di Ornstein-Uhlenbeck, in 1d e multivariato, matrice di covarianza e correlatori a 2 tempi (transienti e stazionari), spettro di potenza, "teorema" di regressione, esempi fisici (velocita' in assenza di potenziale, posizione e velocita' in presenza di potenziale nel limite sovra-smorzato). Discussione di e alla luce della differenza tra Ito e Stratonovich. Sde non-omogenea lineare con coefficienti dipendenti dal tempo e caso di Ornstein-Uhlenbeck con coeff. dip. dal tempo. Equazione di Fokker-Planck, interpretazione come eq. di continuita', corrente di probabilita', condizioni al contorno tipiche. Soluzioni stazionarie in 1d senza corrente e con corrente (condiz. periodiche). Esempi di soluz.staz. di FP in 1d. Costruzione (in 1d) dell'operatore Hermitiano associato all'operatore di FP, base di autofunzioni, soluzione generale dipendente dal tempo, autocorrelazione. Equivalenza con l'equazione di Schroedinger. Esempi di soluzioni dipendenti dal tempo di FP in 1d, tramite equivalenza con Schroedinger: processo di Wiener e processo di Ornstein-Uhlenbeck. Problema di FP in d1, assenza in generale di una soluzione a corrente nulla. Separazione dell'operatore in parte "simmetrica" e parte "antisimmetrica". Discussione della condizione di bilancio dettagliato nel caso di FP (condizione operatoriale). Separazione della corrente di FP in parte reversibile e irreversibile, condizione di bil. dettagliato e conseguenze. Esempi: equazione di Klein-Kramers e processo di Ornstein-Uhlenbeck multidimensionale. Commenti sui risultati di Ornstein-Uhlenbeck e relazioni di Onsager. Esempi di casi in cui la corrente reversibile e' assente. Esempio "fisico" di Ornstein-Uhlenbeck in 2d: circuito LRC accoppiato a bagno termico. Teoria della risposta lineare, definizione di funzione risposta. Teoria della risposta lineare: correlatore imperturbato, teorema di fluttuazione-dissipazione generalizzato. Esempi all'equilibrio: caso sovrasmorzato e caso di Kramers-Klein 1d (relazione di Einstein). Esempio fuori equilibrio con due masse accoppiate a diversi bagni termici. Richiamo condizioni al bordo Eq. FP. Problemi di primo passaggio. Probabilità di uscita da un intervallo. Tempo medio di primo passaggio. Probabilità di splitting. Equazioni aggiunte e loro soluzione. Classificazione di Feller dei punti singolari della FP. Problema della doppia buca. Renewal approach (cenni). Cenni su metodi perturbativi: limite di rumore piccolo (sia per s.d.e. che per Fokker-Planck, con discussione della differenza nei risultati) e limite di rumore bianco (con discussione dell'esempio della derivazione dell'eq. di Smoluchovski, ovvero Kramers-Klein sovrasmorzato) Probabilità dei cammini per processi diffusivi, formula di Onsager-Machlup (e sua generalizzazione per processi non-lineari/non-gaussiani), reversibilità temporale e produzione di entropia, relazione di fluttuazione, esempio per un'equazione di Langevin 1d con forza non-conservativa.

Il corso segue abbastanza fedelmente lo schema di questo manuale: * C.W.Gardiner, Handbook of stochastic methods, Springer Alcune integrazioni utili possono essere trovate nei seguenti volumi: * G. Boffetta, A. Vulpiani, Probabilità in fisica, Springer (per l'introduzione alla teoria della probabilità) * A.N.Shiryaev, Probability, Springer (per la trattazione delle catene di Markov) * N.G. van Kampen, Stochastic processes in physics and chemistry, North-Holland Personal Library (per la discussione dei tempi di primi ritorno e la classificazione dei punti singolari dell'equazione di Fokker-Planck) * H. Risken, The Fokker-Planck equation, Springer-Verlag (per la trattazione dell'equazione di Fokker-Planck multidimensionale)