Docente
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LEON TRUJILLO Francisco James
(programma)
Sistemi lineari: Equazioni lineari a coefficienti in . Metodi elementari di soluzione, metodo di Cramer. Compatibilità ed incompatibilità: Sistemi con soluzione unica o con infinite soluzioni, Sistemi dipendenti da parametri.
Matrici: Matrici ad elementi reali. Lo spazio vettoriale M(m,n)(). Trasposta di una matrice. Matrici quadrate. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Decomposizione di una matrice quadrata in parti simmetrica ed antisimmetrica. Matrici triangolari e matrici diagonali. Prodotto di una matrice riga per una matrice colonna. Prodotto righe per colonne di matrici. Matrici unità. Matrici invertibili. Inversa della trasposta e del prodotto di matrici invertibili. Il gruppo GL(n; ).
Determinanti e rango: Determinante di una matrice (1,1). Complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata. Teorema di Laplace (senza dimostrazione). Proprietà dei determinanti. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Matrici singolari e non. Inversa di una matrice non singolare. Il teorema di Cramer. Dipendenza ed indipendenza lineare delle colonne (righe) di una matrice. Rango di una matrice. Caso delle matrici quadrate. Metodo degli orlati. Teorema di Rouchè-Capelli: Metodo generale di soluzione dei sistemi lineari. Metodo di eliminazione-riduzione di Gauss-Jordan: determinazione del rango di una matrice, risoluzione di un sistema lineare, determinazione della inversa di una matrice non singolare.
Spazi vettoriali: Lo spazio dei vettori geometrici applicati in un punto. Segmenti orientati equipollenti. Vettori liberi. Spazi affini e spazi vettoriali. Un esempio fondamentale: lo spazio Rn.
Spazi vettoriali reali. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Combinazioni lineari di vettori. Generatori di uno spazio o di un sottospazio vettoriale. Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori. Base di uno spazio vettoriale e coordinate di un vettore in una base. Il teorema di completamento delle basi. Basi finite e dimensione di uno spazio vettoriale. Riduzione ad Rn. Cambiamenti di base e trasformazioni di coordinate. Orientazione di Rn: basi equiverse e controverse. Sottospazi di Rn: basi, dimensione, equazioni parametriche, codimensione, equazioni cartesiane. Intersezione e somma di due o più sottospazi. Formula di Grassmann. Somme dirette. Sottospazi supplementari.
Prodotti scalari: Prodotto scalare standard in Rn e sue proprietà; definita positività e non degenerazione. Norma o lunghezza di un vettore. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Misure angolari. Area del parallelogramma. Volume del parallelepipedo. Proiezione di un vettore su un altro. Coefficienti di Fourier. Basi ortogonali e basi ortonormali di uno spazio o di un sottospazio. Procedimento di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Cambiamenti di basi ortonormali. Matrici ortogonali.
Applicazioni lineari: Definizione ed esempi. Matrice di un'applicazione lineare rispetto a due basi fissate. Nucleo ed immagine. Teorema nullità più rango. Applicazioni lineari iniettive, suriettive, bijettive. Isomorfismi. Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. Isomorfismi e matrici invertibili. Matrice di un'applicazione lineare e cambiamenti di base.
Operatori: Endomorfismi o operatori di Rn. Potenze di un endomorfismo. Operatori e cambiamenti di base: matrici simili. Matrici ed operatori diagonalizzabili. Autovettori ed autovalori di un operatore. Autospazi. Spettro di un operatore. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Calcolo degli autovalori e degli autovettori. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Teorema fondamentale sulla diagonalizzabilità. Trasposto di un operatore. Operatori simmetrici ed antisimmetrici. Il teorema spettrale. Operatori ortogonali. Isometrie.
Geometria del piano: Coordinate affini e cartesiane in un piano. Allineamento di punti. Equazioni parametriche e cartesiana di una retta. Punto medio di un segmento. Baricentro di un triangolo. Intersezione e parallelismo di rette. Fasci di rette. Coseni direttori di una retta orientata. Coefficiente angolare. Angolo tra due rette. Perpendicolarità tra rette. Retta per un punto e perpendicolare ad una retta. Distanza tra due punti, tra un punto ed una retta, tra due rette parallele. Circonferenze. Area del triangolo. Cambiamenti di coordinate cartesiane nel piano.
Geometria dello spazio: Coordinate affini e cartesiane nello spazio. Complanarità di punti. Equazioni parametriche e cartesiana di un piano. Intersezione e parallelismo tra piani. Fasci di piani. Allineamento di punti. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Vettori direttori e parametri direttori. Parallelismo tra rette. Rette complanari e rette sghembe. Rette incidenti. Intersezione e parallelismo tra retta e piano. Fasci di rette nello spazio. Coseni direttori di una retta orientata. Angolo tra due rette. Perpendicolarità tra rette. Vettori perpendicolari ad un piano. Angolo tra due piani. Proiezione ortogonale di una retta su un piano. Angolo tra una retta ed un piano. Perpendicolarità retta-piano. Retta per un punto e perpendicolare ad un piano. Piano per un punto e perpendicolare ad una retta. Retta per un punto e perpendicolare ed incidente una retta. Distanza tra due punti, di un punto da una retta o da un piano. Distanza tra due rette o due piani paralleli e tra una retta ed un piano paralleli. Distanza minima tra due rette sghembe; retta perpendicolare ed incidente due rette sghembe. Sfere. Circonferenze nello spazio. Cambiamenti di coordinate cartesiane nello spazio. Prodotto vettoriale. Area del parallelogramma. Prodotto misto. Volume del parallelepipedo e del tetraedro.
Coniche: Ellisse, iperbole, parabola come luoghi geometrici e loro equazioni canoniche. Fuochi, vertici, assi, centro, eccentricità ed rapporto di schiacciamento. Intersezione di una retta con una conica. Coniche generali e degeneri, semplicemente e doppiamente. Riduzione a forma canonica dell’equazione di una conica. Classificazione metrica delle coniche. Metodo degli invarianti.
Testi:
Elementi di Algebra Lineare
Autori: Francisco Leon – Pietro Mercuri,
Edizioni Efesto (2016).
Elementi di Geometria Affine ed Euclidea
Autori: Francisco Leon – Pietro Mercuri,
Edizioni Efesto (2017).
Esercizi di Geometria e Algebra Lineare
Autore: Francisco Leon
Edizioni Nuova Cultura (2016).
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