Meccanica Statistica e Termodinamica Introduzione: Meccanica Statistica e Termodinamica Invarianza per inversione temporale, teorema di Poincarè e definizione di equilibrio termodinamico. Variabili Estensive ed Intensive. Spazio delle Fasi, regione del moto ed osservabili termodinamici. Equilibrio e Trasformazioni reversibili Lavoro, Calore ed Entropia Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica Ensemble statistici Teorema di Liouville Ensemble Microcanonico Ipotesi Ergodica Traiettorie e volume della regione del moto Lunghezze e volumi in spazi ad alta dimensionalita' Integrazione di picco e Formula di Stirling Richiami di Teoria della Probabilita' Probabilita' e statistica Definizione generale di probabilita', spazio di probabilita' Eventi indipendenti Probabilita' condizionata Legge della probabilita' completa Variabili aleatorie discrete e continue Distribuzione di probabilita' e densita' di probabilita' di una o più variabili Marginalizzazione, distribuzione di probabilita' condizionata, medie Trasformazione di variabili aleatorie Somma di due variabili aleatorie, cambio di variabile, trasformazione lineare Distribuzione di probabilita' Binomiale Distribuzione di probabilita' di Poisson Densita' di probabilita' Gaussiana in una e più variabili Trasformata di Fourier della densita' di probabilita' Gaussiana e rappresentazione integrale della delta di Dirac Funzione generatrice dei momenti, o funzione caratteristica, di una distribuzione di probabilita': distribuzione Gaussiana e suoi momenti Legge dei grandi numeri Cumumanti di una distribuzione e funzione generatrice: distribuzione Gaussiana e suoi cumulanti Teorema del limite centrale Distribuzione di probabilita' log-normale e suoi momenti Distribuzione di probabilita' della somma di N variabili i.i.d. con distribuzione di probabilita' di Cauchy Distribuzione di probabilita' della somma e differenza di due variabili i.i.d. con distribuzione di probabilita' Gaussiana Meccanica Statistica: regole di calcolo Valore medio e distribuzione di probabilita' delle variabili macroscopiche Richiami sui potenziali termodinamici Sottosistemi e condizioni di equilibrio Distribuzione di Maxwell-Boltzmann Teorema di equipartizione e teorema del viriale Entropia gas perfetto Paradosso di Gibbs e equazione di Sackur-Tetrode Equazione Barometrica gas perfetto Gas perfetto di oscillatori armonici Gas perfetto di particelle classiche relativistiche Regola a temperatura costante: Ensemble canonico Regola a temperatura e pressione costante: Ensemble (T,p) Fluttuazioni di energia nel ensemble canonico Teorema di equipartizione nel ensemble canonico Regola per sistemi aperti a temperatura costante: Ensemble gran canonico Fluttuazioni di densita' Gas classico interagente, espansione del viriale Meccanica Statistica Quantistica Postulato di Nernst (Terzo principio della termodinamica) Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica Quantisitica Operatore densita' Ensemble Quantistici Gas Ideali quantistici: Bose e Fermi Numeri di occupazione e funzioni di stato dei gas ideali quantistici Gas di Fermi/Bose: limite di bassa densita' ed alta temperatura Gas di Fermi: limite di alta densita' e bassa temperatura, energia di Fermi Gas di Bose: limite di alta densita' e bassa temperatura, condensazione di Bose-Einstein. Gas di oscillatori armonici quantistici (fononi) : modelli di Einstein e di Debye Il corpo nero

Testi di Riferimento ------ TESTI PRINCIPALI -------- Statistical Mechanics, S.-K. Ma World Scientific (Singapore, 1985) (SKM) Statistical Mechanics, K. Huang Wiley (1987) (KH) --------------------------------------- Testi di supporto Fisica Statistica (parte I), L.D. Landau e E.M. Lifsits Editori Riuniti (1978) Statistical Mechanics A set of lectures R. P. Feynman The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc A. Fetter and J. D. Walecka Quantum Theory of many-particle systems McGraw-Hill --------------------------------- Altri testi elementari Probabilita' in Fisica: un'introduzione, G. Boffetta e A. Vulpiani Springer-Verlag Italia (Milano, 2012) Meccanica Statistica Elementare: i fondamenti, M. Falcioni e A. Vulpiani Springer-Verlag Italia (Milano, 2014) -------- Appunti disponibili ------------ Note introduttive sulla teoria della probabilita', M. Falcioni e A. Vulpiani Qualche esercizio sulla teoria della probabilita', M. Falcioni e A. Vulpiani (FV) Sull'ipotesi Ergodica, M. Falcioni (F) La statistica di Maxwell-Boltzmann, M. Falcioni Temperatura di degenerazione e temperatura di discretizzazione, M. Falcioni Numero medio di occupazione e condizione di degenerazione, M. Falcioni Potenziali termodinamici e variabili naturali, M. Falcioni

- Elementi di calcolo delle probabilità: probabilità e probabilità condizionata, funzioni di distribuzione, distribuzione binomiale, distibuzione di Poisson, distribuzione di Gauss, legge dei grandi numeri, limite centrale, funzioni gamma, metodo di Laplace, formula di Stirling, cenni alle grandi deviazioni. (Tutti questi argomenti introduttivi sono contenuti in BV, Cap. 1, 2 e 3 + Ap.1, Ap.2 e Ap.4, oppure negli Appunti I) - Richiami di termodinamica: potenziali termodinamici e variabili naturali. (H-1.5, H-1.6 e Appunti VI) - Medie nel tempo di osservabili macroscopiche: ipotesi ergodica e ensemble microcanonico. (H-6.1, FV Cap. 2 oppure Appunti II) - Additivita' dell'entropia (H-6.2), Teorema di equipartizione, gas ideale classico (H-6.5, H-6.6) - Il paradosso di Gibbs e il conteggio corretto degli stati. (H-6.6) - Ensemble canonico. Funzione di partizione e suo legame con l'energia libera di Helmholtz. Fluttuazione dell'energia nell' insieme canonico. Equivalenza tra insieme microcanonico e canonico. (BV-2.4.1, H-7.1, H-7.2) Densità di probabilità dell'energia. (BV-2.4.2, BV-3.4 oppure Appunti I-3.1, I-7.2) - Gas perfetto. Equipartizione dell'energia. Statistica di Maxwell-Boltzmann; condizioni di validita` della meccanica statistica classica. Distribuzione di Maxwell; densità di particelle in un campo esterno. (Appunti III) - Insieme gran canonico. Il gran potenziale. Funzioni termodinamiche nell' insieme gran canonico. Fluttuazioni del numero di particelle nell' insieme gran canonico. (H-7.3, H-7.4) - Gas quantistici. Distribuzioni di Fermi-Dirac e di Bose-Einstein. Limite classico: alte temperature e/o basse densità. (Appunti IV e V, LL-56, H-8.6) - Gas di Fermi allo zero assoluto: energia di Fermi, energia media, pressione. Calore specifico di un gas di Fermi alle basse temperature. (H-11.1, LL-57, LL-58) - Condensazione di un gas di Bose-Einstein. (LL-62 oppure H-12.3) - Spettro del corpo nero. Formula di Planck. (H-12.1, LL-63)

* Testi consigliati (tutti disponibile presso la Biblioteca del Dipartimento di Fisica) - K. Huang (H), "Statistical Mechanics", (Wiley, 1987) - L.D. Landau e E.M. Lifsits (LL), "Fisica Statistica" (parte I), (Editori Riuniti, 1978) - G. Boffetta e A. Vulpiani (BV), "Probabilita` in Fisica: un'introduzione" (Springer-Verlag Italia, Milano 2012) - M. Falcioni e A. Vulpiani (FV), "Meccanica Statistica Elementare: i fondamenti" (Springer-Verlag Italia, Milano 2014) Note disponibili in rete (sulla pagina dei docenti)

* Programma di esame del corso: - Richiami di calcolo delle probabilita`: probabilita` e probabilita` condizionata, funzioni di distribuzione, distribuzione binomiale, distibuzione di Poisson, distribuzione di Gauss, legge dei grandi numeri, limite centrale, funzioni gamma, metodo di Laplace, formula di Stirling, cenni alle grandi deviazioni. - Richiami di termodinamica: potenziali termodinamici e variabili naturali. - Medie nel tempo di osservabili macroscopiche: ipotesi ergodica e insieme microcanonico. - Additivita' dell'entropia, Teorema di equipartizione, gas ideale classico. - Il paradosso di Gibbs e il conteggio corretto degli stati. - Insieme canonico. Funzione di partizione e suo legame con l'energia libera di Helmholtz. Fluttuazione dell'energia nell' insieme canonico. Equivalenza tra insieme microcanonico e canonico. Densita` di probabilita` dell'energia. - Gas perfetto. Equipartizione dell'energia. Statistica di Maxwell-Boltzmann; condizioni di validita` della meccanica statistica classica. Distribuzione di Maxwell; densita` di particelle in un campo esterno. - Insieme gran canonico. Il gran potenziale. Funzioni termodinamiche nell' insieme gran canonico. Fluttuazioni del numero di particelle nell' insieme gran canonico. - Transizioni di fase. Modello di Ising e fenomeni di ordinamento. Soluzione di campo medio. Funzioni di correlazione e risposta. - Gas quantistici. Distribuzioni di Fermi-Dirac e di Bose-Einstein. Limite classico: alte temperature e/o basse densita`. - Gas di Fermi allo zero assoluto: energia di Fermi, energia media, pressione. Calore specifico di un gas di Fermi alle basse temperature. - Condensazione di un gas di Bose-Einstein. - Spettro del corpo nero. Formula di Planck.

* Testi consigliati: K. Huang "Statistical Mechanics" (Wiley, 1987) L.D. Landau e E.M. Lifsits "Fisica Statistica (parte I) (Editori Riuniti, 1978) S.-K. Ma Statistical Mechanics, World Scientific (Singapore, 1985) --ulteriori riferimenti: J. Sethna Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters and Complexity Oxford University Press G. Boffetta e A. Vulpiani "Probabilita` in Fisica: un'introduzione" (Springer-Verlag Italia, Milano 2012) M. Falcioni e A. Vulpiani "Meccanica Statistica Elementare: i fondamenti" (Springer-Verlag Italia, Milano 2014) + Note disponibili in rete (sulla pagina dei docenti)