Docente
|
SPINELLI ERNESTO
(programma)
Prima parte. Aritmetica su Z e modulare
Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica.
Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA.
Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi
Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley.
Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti.
Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione.
Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni.
Terza parte. Elementi di teoria degli anelli
Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili.
Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x].
Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi
Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio.
Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche.
Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo).
Cenni di teoria di Galois in caratteristica zero.
Herstein, Algebra
|