Prima parte. Aritmetica su Z e modulare Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica. Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA. Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley. Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti. Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione. Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni. Terza parte. Elementi di teoria degli anelli Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili. Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x]. Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio. Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche. Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo). Cenni di teoria di Galois in caratteristica zero.

Herstein, Algebra

Insiemi, applicazioni, cardinalità. Relazioni di equivalenza, insieme quoziente. Teoremi di Cantor. Numeri naturali e principio di induzione. Divisione euclidea. Algoritmo euclideo per il calcolo del MCD. Divisibilità. Primalità e irriducibilità. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Radici razionali di numeri razionali. Irrazionalità di radice di 2. I numeri primi sono infiniti. Esistono infiniti primi della forma 4n-1. Crivello di Eratostene. Struttura di anello di Z/(n). Congruenze e Teorema cinese dei resti. Piccolo teorema di Fermat. Teorema di Cauchy per gruppi abeliani finiti. Funzione toziente di Eulero. Anelli e omomorfismi. Sottoanelli, ideali. Somma e intersezione di ideali; ideali principali. Ideali in Z e divisibilità. Anelli quoziente. Teoremi di omomorfismo per anelli. Ideali primi e massimali. Domini euclidei: polinomi a coefficienti in un campo; interi di Gauss. Fattorizzazione unica in domini euclidei. Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. Campo delle frazioni di un dominio d'integrità. Fattorizzazione unica in R[x], se R è un dominio a fattorizzazione unica. Irriducibilità di polinomi in Z[x]. Fattorizzazione unica in Z[i] e primi di Gauss. Teorema dei due quadrati. Esistono infiniti primi in Z della forma 4n+1. Fattorizzazione unica in domini a ideali principali. Classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati (e dei moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali). Gruppi non abeliani. Gruppi ciclici, diedrali, simmetrici, alterni. Gruppi lineari. Congruenza modulo un sottogruppo e sottogruppi normali. Teoremi di Lagrange e di Cauchy. Omomorfismi di gruppi. Gruppi quoziente e teoremi di omomorfismo. Teorema di Cayley. Azioni di gruppi su insiemi. Orbita e stabilizzatore. Relazione di coniugio e classi coniugate. Centro di un gruppo e centralizzatore di un elemento. Nilpotenza dei p-gruppi finiti. Teoremi di Sylow. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo. Automorfismi di gruppi e automorfismi interni. Prodotti diretti e semidiretti di gruppi. Semplicità dei gruppi alterni. Automorfismi dei gruppi ciclici finiti. Applicazioni. Estensioni di campi. Estensioni algebriche e trascendenti. Estensioni finite e grado di un'estensione. Polinomio minimo di un algebrico. Campi finiti. Estensioni separabili e inseparabili. Argomenti scelti: cenni di Teoria di Galois; esistenza della chiusura algebrica di un campo; reciprocità quadratica; polinomi simmetrici.

I. N. Herstein "Algebra" M. Artin "Algebra" Appunti del docente