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Docente
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ZOLLO GIUSEPPE
(programma)
1) Richiami di meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana
Sistemi di N particelle e M gradi di libertà; coordinate generalizzate e momenti coniugati; spazio delle fasi: microstato e macrostato di un sistema; Lagrangiana di un sistema di N particelle e equazioni Lagrangiane del moto; Hamiltoniana di un sistema di N particelle e equazioni Hamiltoniane del moto.
2) Introduzione alla Meccanica Statistica
Grandezze fisiche macroscopiche; ensamble statistico; ipotesi di Gibbs (ergodica), funzione di distribuzione e densità dei microstati nello spazio delle fasi; considerazioni quantistiche sullo spazio delle fasi e quanto d’azione; misura statistica di una grandezza fisica; teorema di Liouville.
Ensamble microcanonico: funzione di distribuzione e funzione di partizione; definizione statistica dell’entropia e suo calcolo nell’ensamble microcanonico; equilibrio termico, meccanico, chimico e definizione statistica di temperatura, pressione, potenziale chimico; variabili intensive ed estensive statistiche e legame con le variabili termodinamiche; Ensamble canonico: funzione di distribuzione nell’ensamble canonico; densità di probabilità in energia e densità degli stati; funzione di partizione canonica; calcolo dell’entropia per un gas ideale nell’ensamble canonico; distribuzione di Maxwell e equipartizione. Ensamble grand-canonico: funzione di distribuzione; funzione di partizione per i casi classico e quantistico; grand potenziale; gas perfetto e calcolo del potenziale chimico; distribuzione di Bose-Einstein per i bosoni; distribuzione di Fermi-Dirac per i fermioni
3) Metodo Monte-Carlo in meccanica statistica
Integrazione Monte-Carlo; numeri casuali, pseudo-casuali e test di casualità; generatori di sequenze pseudo-casuali: generatore congruenziale lineare; campionamento d’importanza: metodo del rigetto e metodo di inversione; campionamento d’importanza in meccanica statistica; sequenze di Markov; algoritmo di Metropolis; aspetti tecnici dell’algoritmo di Metropolis: potenziali di interazione semplici a 2 corpi (potenziale di Lennard-Jones), condizioni al contorno periodiche, potenziale troncato e shift, unità ridotte, spostamento medio, moti di orientazione di molecole lineari e non lineari rigide; schema di Metropolis nell’ensamble canonico e regola di accettazione; Metropolis nell’ensamble microcanonico; schema di Metropolis nell’ensamble grand canonico e regole di accettazione per sottrazione/aggiunta di una particella.
4) Dinamica Molecolare classica
Introduzione e criteri d’inizializzazione; calcolo delle forze per potenziali di interazione a 2 corpi e condizioni al contorno periodiche; aspetti tecnici e lista dei vicini (lista di Verlet); integrazione delle equazioni del moto: algoritmo di Verlet e sue proprietà (algoritmi Hamiltoniani, conservazione dell’energia a breve e lungo termine, reversibilità); algoritmi alternativi di basso ordine: leap-frog, velocity-verlet, Beeman; algoritmi di ordine superiore: predictor-corrector; instabilità di Lyapunov. Osservabili. osservabili termodinamici: temperatura, terorema del Viriale e pressione, calore specifico a volume costante; conservazione dell’energia e correzione a lungo raggio; correzione per la pressione; osservabili strutturali: funzione di distribuzione radiale ed esempi per strutture solide (cristalline e amorfe), liquidi e gas. Diffusione e coefficiente di diffusione di specie diffondenti: equazioni di Green-Kubo; Dinamica molecolare nell’ensamble canonico: velocity rescaling e il problema delle fluttuazioni; termostato di Andersen; termostato di Nosè-Hoover: metodo della lagrangiana estesa, media temporale e media d’ensamble, equazioni del moto di Nosè-Hoover e loro interpretazione; limiti dell’algoritmo in presenza di più vincoli; termostato di Evans.
5) Potenziali classici
Procedura generale per la generazione della forma analitica di un potenziale di interazione; limiti dei potenziali classici a 2 corpi; il concetto di “potenziale a molti corpi”: densità e coordinazione; il problema della trasferibilità; formula generale dei potenziali a molti corpi: termini a molti corpi e forme funzionali alla Lennard-Jones a alla Morse; potenziali metallici e proprietà di invarianza; potenziali a molti corpi per semiconduttori e strutture organiche: potenziale di Stillinger-Weber; potenziali Force-Field per semiconduttori e strutture organiche; potenziali di Tersoff;: concetto del bond-order; parametri di Tersoff per il carbonio e il silicio.
6) Teoria quantistica dei sistemi a molti corpi
Breve richiamo di alcuni concetti di meccanica quantistica e teoria dei solidi; funzione d’onda ed equazione di Schrödinger per sistemi a molti corpi; approssimazioni frozen-core e Born-Oppenheimer (adiabatica); approssimazione di singolo elettrone e fattorizzazione della funzione d’onda elettronica; principio variazionale: stato fondamentale e principio di Rayleigh-Ritz; termine coulombiano di Hartree; principio di Pauli e determinante di Slater; equazione di Hartree-Fock e energia di “scambio”; il concetto di “correlazione”; dinamica molecolare tight-binding: metodo tight-binding: energia di “band-structure” e termine repulsivo; parametrizzazione e trasferibilità; diagonalizzazione della matrice hamiltoniana: autostati di singolo elettrone; teorema di Hellmann-Feynman e calcolo delle forze;
7) Cenni alla teoria del funzionale densità
La teoria del funzionale densità indipendente dal tempo: primo e secondo teorema di Hohenberg-Kohn; formulazione di Kohn-Sham e sistema associato di elettroni indipendenti; il funzionale di scambio-correlazione, approssimazione LDA e GGA.
Soluzioni dell’equazione di Kohn-Sham: le condizioni al contorno periodiche, sviluppo delle funzioni d’onda in onde piane; il concetto di pseudo-potenziale; auto-consistenza e algoritmi di minimizzazione; calcolo delle forze mediante il teorema di Hellmann-Feynman.
 I testi consigliati sono:
Materiale didattico e dispense a cura del docente distribuito durante le lezioni.
Per approfondimenti si consiglia:
1) Per il primo e il secondo capitolo: C. Kittel “Elementary Statistical Physics” John Wiley & Sons
2) per il terzo e il quarto capitolo Frenkel-Smit “Understanding Molecular Simulation”; Academic Press; Allen; Tildsley “Computer Simulation of Liquids”; Ed. Oxford Science;
3) per il quinto capitolo: F: Ercolessi “A molecular dynamics primer”
WWW: http://www.fisica.uniud.it/~ercolessi/
4) per il sesto e il settimo capitolo: M.P. Marder “ Condensed Matter Physics” (Cap. 6; 7; 8; 9) John Wiley & Sons. R. M. Martin “Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods”, Cambridge University Press.
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