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Docente
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MONTEFUSCO EUGENIO
(programma)
Il programma del corso è ripartito approssimativamente in tre blocchi didattici, di durata compresa tra le 3 e le 4 settimane di corso. Ogni unità didattica comprende una parte di teoria e le relative sessioni di esercitazioni come lezioni frontali, circa un terzo delle lezioni sarà svolto con le modalità della lezione capovolta (flipped lectures). Durante lo svolgimento delle lezioni sarà data particolare attenzione allo sviluppo delle seguenti competenze:
formalizzazione del ragionamento astratto,
capacità di analisi e sintesi,
risolvere problemi,
comunicazione orale e scritta.
Spazi metrici (30h). Definizione di spazio metrico ed esempi. Metrica discreta, metrica euclidea e altre metriche in R, Q, R^D . Gli spazi l^p , C^0 e C^1. Successioni in spazi metrici: successioni convergenti, successioni di Cauchy, completezza e completamento. Completezza di C(X,Y), definizione di R come completamento di Q, non completezza di C^0 con metrica integrale. Successioni definite per ricorrenza e teorema delle contrazioni. Topologia negli spazi metrici: insiemi aperti, chiusi; compattezza e compattezza per successioni (teorema di caratterizzazione), teorema di Heine-Borel; connessione. Funzioni continue fra spazi metrici,
teorema di Weierstrass, semicontinuità, uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor. Continuità di funzioni in più variabili reali, esempi di continuità e discontinuità, coordinate polari. Derivate parziali e direzionali, differenziabilità e piano tangente: teorema del differenziale totale.
Successioni e serie di funzioni (30h). Convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme di funzioni continue e risultati di passaggio al limite sotto al segno di integrale e di derivata. Criterio di Cauchy uniforme per le serie di funzioni. Convergenza totale e criterio di Weierstrass. Teoremi di integrazione e derivazione per serie. Compattezza in C^0, equilipschitzianità, equicontinuità ed equilimitatezza di famiglie di funzioni continue, teorema di Ascoli-Arzelà. Serie di potenze in campo reale e complesso, raggio di convergenza, convergenza sul bordo. Sviluppo di Taylor e serie di Taylor, funzioni analitiche reali. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel, lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet, convergenza uniforme e identità di Parseval. Lo spazio di Hilbert l^2.
Equazioni differenziali (30h). Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili. Intervallo massimale di definizione e teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, struttura dell’insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee e non omogenee. Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti.
 Note a cura del docente,
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 2,
W. Rudin, Principi di Analisi Matematica.
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