ALGEBRA I |
Codice
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1051667 |
Lingua
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ITA |
Corso di laurea
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Matematica |
Programmazione per l'A.A.
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2019/2020 |
Curriculum
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Matematica per le applicazioni |
Anno
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Secondo anno |
Unità temporale
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Primo semestre |
Tipo di attestato
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Attestato di profitto |
Crediti
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9
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Settore scientifico disciplinare
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MAT/02
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Ore Aula
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48
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Ore Esercitazioni
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36
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Ore Studio
|
-
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Attività formativa
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Attività formative di base
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Crediti
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3
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Settore scientifico disciplinare
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MAT/02
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Ore Aula
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24
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Ore Studio
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-
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Attività formativa
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Attività formative caratterizzanti
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Canale: 1
Docente
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DE SOLE ALBERTO
(programma)
Prima parte. Aritmetica su Z e modulare
Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica.
Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA.
Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi
Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley.
Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti.
Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione.
Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni.
Terza parte. Elementi di teoria degli anelli
Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili.
Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x].
Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi
Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio.
Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche.
Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo).
Israel Herstein, Algebra, Editori Riuniti.
Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri
S. Weintraub, Galois Theory
Note di teoria di gruppi di J. Milne
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Date di inizio e termine delle attività didattiche
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-- -
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Date degli appelli
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Date degli appelli d'esame
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Modalità di erogazione
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Tradizionale
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Modalità di frequenza
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Non obbligatoria
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Metodi di valutazione
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Prova scritta
Prova orale
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Canale: 2
Docente
|
PAPI PAOLO
(programma)
Prima parte. Aritmetica su Z e modulare
Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica.
Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA.
Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi
Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley.
Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti.
Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione.
Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni.
Terza parte. Elementi di teoria degli anelli
Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili.
Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x].
Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi
Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio.
Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche.
Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo).
Cenni di teoria di Galois in caratteristica zero.
Israel Herstein, Algebra, Editori Riuniti.
Piacentini Cattaneo, Algebra un approccio algoritmico, Decibel
S. Weintraub, Galois Theory
Note di teoria di gruppi di J. Milne (reperibili presso la pagina web dell'autore).
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Date di inizio e termine delle attività didattiche
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-- -
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Date degli appelli
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Date degli appelli d'esame
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Modalità di erogazione
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Tradizionale
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Modalità di frequenza
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Non obbligatoria
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Metodi di valutazione
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Prova scritta
Prova orale
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Docente
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SPINELLI ERNESTO
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Date di inizio e termine delle attività didattiche
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Modalità di frequenza
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Non obbligatoria
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