Parte 1. Generalità sulle distribuzioni di probabilità sulla retta. Insiemi di Borel e misura di Lebesgue. Sigma-algebre e sigma-algebre generate. Spazi di probabilità variabili aleatorie. Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria; Funzioni di densitò di probabilitò sulla retta e primi esempi. Funzioni di ripartizione nei casi: discreto, assolutamente continuo e singolare; esempio della funzione di Cantor. Enunciato del teorema di decomposizione di Lebesgue. Distribuzioni di probabilità di trasformazioni monotone di variabili aleatorie. Valore atteso di una variabile aleatoria; caso discreto e caso assolut. continuo. Proprietà fondamentali del valore atteso. Varianza. Distribuzioni congiunte Funzioni di di ripartizione e funzioni di densità congiunte e marginali. Densità condizionate. Formula di Bayes per v.a. con densità. Rette di regressione. Indipendenza stocastica fra variabili aleatorie. Somme di variabili aleatorie indipendenti. Covarianza e coefficiente di correlazione. Cambiamento di densità congiunte sotto trasformazioni regolari. Modelli probabilistici notevoli Richiami su famiglie notevoli di distribuzioni di probabilità discrete. Famiglie notevoli di distribuzioni di probabilità assolut. continue: uniformi su intervalli, esponenziali, gamma, gaussiane, chi-quadro, Cauchy, t di Student, Weibull, lognormali, beta, Pareto. Loro propriet‡ fondamentali; valori attesi e varianze. Variabili standardizzate. Funzione di rischio. Funzione quantile. Cenno ai numeri casuali e al problema della generazione di variabili aleatorie con distribuzione assegnata. Parte 2. Vettori di variabili gaussiane Trasformazione di Box e Muller e generazione di variabili aleatorie gaussiane. Distribuzioni gaussiane in due dimensioni Trasformazioni lineari invertibili di vettori gaussiani in due dimensioni. Trasformazioni ortogonali di vettori di variabili gaussiane indipendenti con identica varianza. Teorema di Cochran e intervalli di fiducia. Teorema del limite centrale e funzioni caratteristiche Enunciato del teorema del limite centrale per variabili i.i.d. con varianza positiva. Proprietà fondamentali della funzione caratteristica associata ad una distrizione di probabilità sulla retta. Funzione cararatteristica della somma di variabili indipendenti; funzione caratteristica e momenti della distribuzione. Funzione caratteristica di distribuzioni notevoli (degeneri, binomiali, Poisson, geometriche, gaussiane, esponenziali, esponenziali bilatere). Proprietà di stabilità della famiglia delle distribuzioni gaussiane. Cenni alle distribuzioni stabili e al relativo comportamento delle medie aritmetiche di variabili i.i.d. Processi di Poisson e statistiche ordinate Processi di Poisson omogenei; distribuzioni marginali e congiunte per gli intertempi e per i tempi di arrivo. Statistiche di ordine dalla legge uniforme, partizioni casuali di intervalli, distribuzioni beta. Distribuzioni condizionate di variabili i.i.d esponenziali data la loro somma. Sigma-algebra infinito e teorema Ergodico. Collegamento con la legge forte dei grandi numeri. Modello di percolazione per il reticolo quadrato ed esistenza del punto critico in (0,1). Esistenza del cluster infinito sopra il punto critico.

Baldi P. (1993) Calcolo delle probabilità e statistica McGrawHill. Shiryaev A.N. (1996) Probability, Springer Ross S.M. (2013) Calcolo delle probabilità. Maggioli Editore. Grimmett G.R. (1999) Percolation, Springer.