Funzioni di più variabili. Elementi di topologia in R^N: insiemi aperti, insiemi chiusi, punti di accumulazione, definizione di limite. Funzioni continue. Derivate direzionali, differenziabilità, piano tangente al grafico e formula di derivazione delle funzioni composte. Teorema del differenziale totale, derivate seconde e Teorema di Schwarz. Teorema della permanenza del segno, insiemi compatti per successioni e teorema di Weierstrass. Formula di Taylor in più variabili. Condizioni di estremalità locale del II ordine. Teorema di Dini (teorema delle funzioni implicite) scalare nel piano e nello spazio, teorema di Dini per sistemi. Estremi vincolati: teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Invertibilità locale delle trasformazioni in R^N. Curve, parametrizzazioni e sostegno di una curva. Curve semplici, chiuse e curve di Jordan. Curve regolari. Vettore velocità e versore tangente. Lunghezza di una curva C^1 a tratti e formula per il calcolo. Integrali curvilinei di una funzione scalare (integrali curvilinei di 1^a specie). Forme differenziali lineari e integrali curvilinei di forme differenziali (integrali curvilinei di 2^a specie), lavoro di campi vettoriali. Forme differenziali esatte, funzione primitiva di una forma differenziale esatta (o potenziale di un campo vettoriale conservativo). Integrali di forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Rotore di un campo vettoriale. Campi vettoriali irrotazionali. Insiemi semplicementi connessi. Relazione tra forme differenziali esatte e chiuse. Forme differenziali chiuse in un insieme piano con una lacuna. Successioni uniformemente convergenti e continuità della funzione limite. Convergenza di serie di funzioni: puntuale, uniforme, assoluta, totale. Serie di potenze: calcolo del raggio di convergenza, serie delle derivate. Serie di Taylor. Integrali impropri; criterio del confronto per integrandi non negativi; convergenza assoluta o condizionata. Confronto tra integrali impropri e serie. Continuità e derivabilità degli integrali di Riemann o impropri dipendenti da un parametro. Definizione dell'integrale di Riemann in 2 variabili. Integrazione sui rettangoli e formule di riduzione. Misura di Peano-Jordan. Domini normali. Proprietà degli integrali doppi; calcolo di aree elementari con l'integrazione su domini normali. Integrabilità. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli e formule di riduzione. Misura di Peano-Jordan e integrabilità delle funzioni continue e limitate sugli insiemi PJ-misurabili dello spazio. Cambiamenti di variabili negli integrali tripli. Integrali impropri doppi e tripli. Coordinate cilindriche e sferiche. Teorema di Guldino per il volume dei solidi di rotazione. Superfici regolari. Piano tangente, versore normale. Superfici orientabili. Superfici con bordo e orientazione del bordo. Area di una superficie. Teorema di Guldino per l'area delle superfici di rotazione. Integrali di superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Formule di Gauss-Green nel piano. Divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza nel piano. Formula di Stokes nel piano, e sua applicazione al problema dell'esattezza delle forme differenziali. Formule per il calcolo dell'area di domini piani. Teorema di Stokes nello spazio. Teorema della divergenza nello spazio. Richiami su equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazioni a variabili separabili, equazioni di Bernoulli, equazioni di Eulero, equazioni autonome ed equazioni esatte e fattore integrante. Cenni ai sistemi lineari 2x2 a coefficienti costanti. Problema di Cauchy: esistenza e unicità in piccolo. Soluzione massimale. Studio qualitativo di equazioni differenziali. Il caso dei sistemi e delle equazioni di ordine N. Problema di Cauchy: esistenza e unicità in grande.

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica Due - Liguori ed. Altri testi possono essere consigliati dai docenti dei diversi canali.

Formula di Taylor - Massimi e minimi locali - Integrali impropri e serie - Integrali dipendenti da parametri - Successioni uniformemente convergenti - Integrali impropri dipendenti da parametri - Il Teorema di Dini - Massimi e minimi vincolati - Misurabilità secondo Peano-Jordan e domini normali - L'integrale doppio di Riemann - Cambiamenti di variabili - L'integrale triplo di Riemann - Cambiamenti di variabili: coordinate sferiche e cilindriche - Curve ed integrali curvilinei - Lunghezza di una curva - Formula di Stokes e teorema della divergenza nel piano - Area di una superficie - Integrali superficiali - Formula di Stokes e teorema della divergenza nello spazio - Campi vettoriali conservativi - Serie di funzioni - Serie di potenze - Equazioni differenziali scalari - Sistemi 2x2 e diagrammi di fase - Esistenza e unicità per il problema di Cauchy

Analisi matematica Vol. 2 Con elementi di geometria e calcolo vettorialedi V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini

Funzioni di più variabili. Elementi di topologia in R^N, insiemi aperti, chiusi, frontiere, punti di accumulazione, definizione di limite. Funzioni continue. Derivate direzionali, differenziabilità, piano tangente al grafico e formula di derivazione delle funzioni composte. Teorema del differenziale totale, derivate seconde e Teorema di Schwarz. Teorema della permanenza del segno, insiemi compatti per successioni e teorema di Weierstrass. Formula di Taylor in più variabili. Condizioni di estremalità locale del II ordine. Teorema di Dini (teorema delle funzioni implicite) scalare nel piano e nello spazio, teorema di Dini per sistemi. Estremi vincolati: teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Invertibilità locale delle trasformazioni in R^N. Curve, parametrizzazioni e sostegno di una curva. Curve semplici, chiuse e curve di Jordan. Curve regolari. Vettore velocità e versore tangente. Lunghezza di una curva C^1 a tratti e formula per il calcolo. Integrali curvilinei di una funzione scalare (integrali curvilinei di 1^a specie). Forme differenziali lineari e integrali curvilinei di forme differenziali (integrali curvilinei di 2^a specie), lavoro di campi vettoriali. Forme differenziali esatte, funzione primitiva di una forma differenziale esatta (o potenziale di un campo vettoriale conservativo). Integrali di forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Rotore di un campo vettoriale. Campi vettoriali irrotazionali. Insiemi semplicementi connessi. Relazione tra forme differenziali esatte e chiuse. Forme differenziali chiuse in un insieme piano con una lacuna. Successioni uniformemente convergenti e continuità della funzione limite. Convergenza di serie di funzioni: puntuale, uniforme, assoluta, totale. Serie di potenze: calcolo del raggio di convergenza, serie delle derivate. Serie di Taylor. Integrali impropri; criterio del confronto per integrandi non negativi; convergenza assoluta o condizionata. Confronto tra integrali impropri e serie. Continuità e derivabilità degli integrali di Riemann o impropri dipendenti da un parametro. Definizione dell'integrale di Riemann in 2 variabili. Integrazione sui rettangoli e formule di riduzione. Misura di Peano-Jordan. Domini normali. Proprietà degli integrali doppi; calcolo di aree elementari con l'integrazione su domini normali. Integrabilità. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli e formule di riduzione. Misura di Peano-Jordan e integrabilità delle funzioni continue e limitate sugli insiemi PJ-misurabili dello spazio. Cambiamenti di variabili negli integrali tripli. Integrali impropri doppi e tripli. Coordinate cilindriche e sferiche. Teorema di Guldino per il volume dei solidi di rotazione. Superfici regolari. Piano tangente, versore normale. Superfici orientabili. Superfici con bordo e orientazione del bordo. Area di una superficie. Teorema di Guldino per l'area delle superfici di rotazione. Integrali di superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Formule di Gauss-Green nel piano. Divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza nel piano. Formula di Stokes nel piano, e sua applicazione al problema dell'esattezza delle forme differenziali. Formule per il calcolo dell'area di domini piani. Teorema di Stokes nello spazio. Teorema della divergenza nello spazio. Richiami su equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazioni a variabili separabili, equazioni di Bernoulli, equazioni di Eulero, equazioni autonome ed equazioni esatte e fattore integrante. Cenni ai sistemi lineari 2x2 a coefficienti costanti. Problema di Cauchy: esistenza e unicità in piccolo. Soluzione massimale. Studio qualitativo di equazioni differenziali. Il caso dei sistemi e delle equazioni di ordine N. Problema di Cauchy: esistenza e unicità in grande.

Analisi matematica Vol. 2 N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone