L”approccio alla dimostrazione in geometria. La teoria dei livelli di van Hiele. Il metodo ipotetico-deduttivo. Cosa vuol dire dimostrare un teorema? Alcuni teoremi significativi. I due teoremi sull”angolo esterno. Teorema debole e teorema forte. Il 5° postulato di Euclide. La geometria assoluta. La disuguaglianza triangolare (Villani 2, cap. 5). Dimostrazione euclidea. Confronto con la dimostrazione in algebra lineare. Il postulato delle parallele. Dimostrazioni di esistenza e unicità. Formulazioni equivalenti: il quadrilatero birettangolo isoscele di Saccheri, teoremi di Wallis e Legendre Impostazioni assiomatiche per la geometria. Nuovi assiomi e enti primitivi. Assiomatiche di Hilbert, Birkhoff e Choquet (Villani 2, cap. 8). Confronto fra dimostrazioni nelle tre assiomatiche. Definizioni di lunghezza. Teoremi sulle misure. Lunghezza di una linea curv Definizioni di area per superfici poligonali e curve. Superfici equiestese. Teoremi relativi. Equi-scomponibilità, equi-completabilità, Lemma di de Zolt. Superifici sviluppabili e non. Definizione di volume. Equiscomponibilità. Il volume della piramide. Teorema di Dehn. Cenno ai metodi di Archimede e di Cavalieri. I problemi insolubili. Duplicazione del cubo, trisezione dell”angolo, rettificazione della circonferenza. Dimostrazione dell”insolubilità. I poligoni: isometrie e simmetrie. I poligoni regolari. Tassellazione del piano. Formula di Eulero. I poliedri regolari. Possibili definizioni. Gruppi di isometrie dei poliedri regolari. Caratteristica di Eulero. La geometria sferica come esempio di geometria non euclidea. Definizioni di geometria ellittica, iperbolica, sferica. Geodetiche, triangolo sferico, teoremi relativi Ruolo di teoremi, dimostrazioni, esempi e contro-esempi. Teorie assiomatiche, assiomi e enti primitivi. Problemi aperti. Legame con enunciati indecidibili e problemi irresolubili. I Numeri naturali: assiomi di Peano, strutture d’ordine, additiva, moltiplicativa. Teorema fondamentale dell’aritmetica (http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete4/algebra1_pdf/lezione7.pdf, punto 7.6). Infinità dei numeri primi. MCD e mcm. Algoritmo euclideo per il MCD. Ampliamento dei numeri naturali. Strutture d’ordine e algebriche su Z. Ampliamenti con il linguaggio delle coppie. Ampliamento di Z, regola del prodotto. Decimali finiti e periodici. I numeri della calcolatrice. Ampliamento da Q a R. Irrazionali algebrici e trascendenti. Allineamenti decimali Dimostrazioni dell’irrazionalità di radice di 2. Verificabilità sperimentale di teoremi geometrici. Metodi per la costruzione dei numeri reali. Assiomi di Dedekind, Cantor e le successioni di Cauchy, Hilbert. Continuità, completezza. Strutture additive e moltiplicative in base alle differenti definizioni di R; strutture d’ordine. Cifre esatte, cifre significative. Propagazione degli errori (differenza fra uso matematico e applicativo); misure sperimentali, Gaussiana, intervalli di confidenza. Ampliamento complesso dei numeri reali. Cenni storici. Teorema fondamentale dell’algebra. Cenno al teorema di Bezout. Interpretazione geometrica dei numeri complessi, scrittura trigonometrica e esponenziale, formula e^i -1=0. Riassunto sulle strutture numeriche (Villani 1, cap. 19, parti). Assiomi e teoremi in algebra. Il controllo semantico. La forma finale di un calcolo algebrico. Le diverse accezioni di uguaglianza (Villani 1, cap.21; Villani 3, cap.2). Equivalenza di equazioni e disequazioni. Trasformazioni di equivalenza. I “principi” d’equivalenza. Introduzione all’analisi con funzioni o con successioni. Successioni note per l’approssimazione di alcuni valori. Cenni storici sul concetto di funzione. Le funzioni elementari. Le funzioni “mostruose”. La nozioni di limite: questioni didattiche. Cenni storici; definizioni possibili. Approccio ai teoremi di analisi prima della formalizzazione con e Le trasformazioni geometriche del piano e dello spazio. Composizione e gruppi di trasformazioni. Caratterizzazione di isometrie, similitudini affinità. Equazioni delle trasformazioni nel piano e nello spazio. Il programma di Erlangen.

1) V. Villani e M. Berni, Cominciamo da zero, Pitagora 2) V. Villani, Cominciamo dal punto, Pitagora 3) V. Villani et al., Non solo calcoli, Springer