Equazioni e sistemi di equazioni lineari a coefficienti reali. Metodi elementari di soluzione, metodo di Cramer. Compatibilità e incompatibilità; sistemi con soluzione unica o con infinite soluzioni, sistemi dipendenti da parametri. Matrici ad elementi reali. Lo spazio vettoriale M(m,n)(R). Trasposta di una matrice. Matrici quadrate. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Decomposizione di una matrice quadrata in parti simmetrica e antisimmetrica. Matrici triangolari e matrici diagonali. Prodotto di una matrice riga per una matrice colonna. Prodotto righe per colonne di matrici. Matrici unità. Matrici invertibili. Algoritmi di calcolo per la matrice inversa. Inversa della trasposta e del prodotto di matrici invertibili. Determinante di una matrice quadrata. Matrici quadrate invertibili e loro determinante. Complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata. Teorema di Laplace (senza dimostrazione). regola di Sarrus (senza dimostrazione). Proprietà dei determinanti. Teorema di Binet (senza dimostrazione). Matrici singolari e non singolari. Inversa di una matrice non singolare. Il teorema di Cramer. Dipendenza e indipendenza lineare delle colonne (righe) di una matrice. Rango di una matrice. Caso delle matrici quadrate. Metodo degli orlati. Teorema di Rouchè-Capelli: metodo generale di soluzione dei sistemi lineari. Metodo di eliminazione-riduzione di Gauss-Jordan: determinazione del rango di una matrice, risoluzione di un sistema lineare, determinazione della matrice inversa di una matrice non singolare. Lo spazio dei vettori geometrici applicati in un punto. Segmenti orientati equipollenti. Vettori liberi. Spazi affini e spazi vettoriali. Un esempio fondamentale: lo spazio R^n. Spazi vettoriali reali. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Combinazioni lineari di vettori. Generatori di uno spazio o di un sottospazio vettoriale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Base di uno spazio vettoriale e coordinate di un vettore in una base. Il teorema di completamento delle basi. Basi finite e dimensione di uno spazio vettoriale. Riduzione ad R^n. Cambiamenti di base e trasformazioni di coordinate. Orientazioni di R^n: basi equiverse e controverse. Sottospazi di R^n: basi, dimensione, equazioni parametriche, codimensione, equazioni cartesiane. Intersezione e somma di due o più sottospazi. Formula di Grassmann. Somme dirette. Sottospazi supplementari. Prodotto scalare standard in R^n e sue proprietà. Norma o lunghezza di un vettore. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Proprietà della norma. Teoremi di Pitagora e di Carnot. Misure angolari. Area di un parallelogramma e di un triangolo. Volume del parallelepipedo. Proiezione di un vettore su un altro. Coefficiente di Fourier. Basi ortogonali e basi ortonormali di uno spazio o di un sottospazio. Procedimento di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Cambiamenti di basi ortonormali. Matrici ortogonali. Definizione ed esempi. Matrice di un'applicazione lineare rispetto a due basi fissate. Nucleo e immagine. Teorema nullità più rango. Applicazioni lineari iniettive, suriettive, biiettive. Isomorfismi. Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. Isomorfismi e matrici invertibili. Matrice di un'applicazione lineare e cambiamenti di base. Endomorfismi o operatori di R^n. Potenze di un endomorfismo. Operatori e cambiamenti di base: matrici simili. Matrici e operatori diagonalizzabili. Autovettori e autovalori di un operatore. Autospazi. Spettro di un operatore. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Calcolo degli autovalori e degli autovettori. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Teorema fondamentale sulla diagonalizzabilità. Trasposto di un operatore. Operatori simmetrici e antisimmetrici. Il teorema spettrale (senza dimostrazione). Operatori ortogonali. Isometrie e matrici ortogonali. Coordinate affini e cartesiane in un piano. Allineamento di punti. Equazioni parametriche e cartesiana di una retta. Punto medio di un segmento. Simmetria rispetto a un punto. Baricentro di un triangolo. Intersezione e parallelismo di rette. Fasci di rette. Coseni direttori di una retta orientata. Coefficiente angolare. Angolo tra due rette. Perpendicolarità tra rette. Retta per un punto e perpendicolare a una retta. Distanza tra due punti, tra un punto ed una retta, tra due rette parallele. Area del triangolo e del parallelogramma. Circonferenze. Cambiamenti di coordinate cartesiane nel piano. Coordinate affini e cartesiane nello spazio. Complanarità di punti. Equazioni parametriche e cartesiana di un piano. Intersezione e parallelismo tra piani. Fasci di piani. Allineamento di punti. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Vettori direttori e parametri direttori. Parallelismo tra rette. Rette complanari e rette sghembe. Rette incidenti. Intersezione e parallelismo tra retta e piano. Fasci di rette nello spazio. Coseni direttori di una retta orientata. Angolo tra due rette. Perpendicolarità tra rette. Vettori perpendicolari a un piano. Angolo tra due piani. Proiezione ortogonale di una retta su un piano. Angolo tra una retta e un piano. Perpendicolarità retta-piano. Retta per un punto e perpendicolare a un piano. Piano per un punto e perpendicolare a una retta. Retta per un punto e perpendicolare e incidente una retta. Distanza tra due punti, di un punto da una retta o da un piano. Distanza tra due rette parallele o due piani paralleli e tra una retta ed un piano paralleli. Retta perpendicolare e incidente due rette sghembe. Prodotto vettoriale. Area del parallelogramma. Prodotto misto. Volume del parallelepipedo e del tetraedro. Circonferenze nello spazio e sfere. Circonferenza, Ellisse, iperbole, parabola come luoghi geometrici e loro equazioni canoniche. Fuochi, vertici, assi, centro, eccentricità e rapporto di schiacciamento. Coniche a centro e non a centro. Coniche generali e degeneri, semplicemente e doppiamente. Intersezione di una retta con una conica. Riduzione a forma canonica affine e metrica dell’equazione di una conica. Classificazione affine e metrica delle coniche. Metodo degli invarianti. Forme bilineari, prodotti scalari e forme quadratiche: Forme bilineari simmetriche e prodotti scalari. Forme bilineari anti-simmetriche. Forme bilineari simmetriche degeneri e non degeneri. Il prodotto scalare standard su R^n. La matrice di una forma bilineare simmetrica rispetto a una base. Esempi di matrici della stessa forma bilineare rispetto a basi diverse. Matrici reali simmetriche definite positive, definite negative, semidefinite positive, semidefinite negative, indefinite. Criterio dei minori principali affinché una matrice simmetrica sia definita positiva. Spazi vettoriali euclidei e spazi vettoriali euclidei propri. Ortogonalità fra vettori. Sistemi ortogonali di vettori e loro indipendenza lineare. Coefficiente di Fourier. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Formula di passaggio da una base a un'altra per la matrice di un prodotto scalare. Lunghezza o modulo di un vettore. Versori. Basi ortonormali. Matrice del prodotto scalare rispetto a una base ortonormale. Matrici ortogonali. Matrici congruenti. La disuguaglianza di Schwartz. Disuguaglianza triangolare. Angolo convesso tra due vettori. La nozione di forma quadratica. La forma bilineare simmetrica polare di una forma quadratica. Spazio ortogonale a un vettore o a un sottospazio. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Proiezione di un vettore nella direzione di un vettore non nullo. Operatori ortogonali e matrici ortogonali. Rango, segnatura di una forma bilineare simmetrica. Legge di Sylvester per forme bilineari simmetriche (senza dimostrazione). Diagonalizzazione di una forma bilineare simmetrica e di una forma quadratica. Riduzione di una forma quadratica alla forma canonica. Classificazione delle forme quadratiche.

1) Manlio Bordoni, Introduzione all'algebra lineare ed alla geometria analitica, Esculapio, 2013 o versione più recente. 2) Francisco James Leon Trujillo-P. Mercuri, Geometria affine ed euclidea, Efesto, 2016. (soprattutto per il capitolo sulle coniche, che illustra bene quasi tutti gli argomenti spiegati a lezione) 3) Dispense nella pagina e-learning del docente.