Docente
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LAI ANNA CHIARA
(programma)
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: Elementi di calcolo vettoriale. Punti interni, punti
esterni e punti di frontiera. Insiemi aperti, chiusi, compatti, limitati, connessi. Funzioni reali di due o più
variabili reali. Linee di livello. Domini. Limiti e continuità. Insiemi aperti e chiusi definiti da funzioni
continue. Teorema degli zeri. Derivabilità, derivabilità direzionale e differenziabilità. Teorema del
differenziale Totale. Teorema di Schwarz. Piano e iperpiano tangente. Derivata direzionale di una
funzione differenziabile. Richiami su forme quadratiche, matrici quadrate definite, semi-definite e
indefinite e loro caratterizzazione. Test degli autovalori. Estremi relativi liberi e punti di sella. Matrice
Hessiana e studio della natura dei punti critici con la matrice hessiana. Teorema di Weierstrass.
Estremi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Formula di Taylor con resto di Lagrange e con
resto di Peano. Teorema della funzione implicita.
Successioni e serie di funzioni Successioni di funzioni reali di una variabile reale. Convergenza
puntuale e uniforme. Proprietà del limite uniforme. Passaggio del limite sotto il segno di integrale.
Derivabilità termine a termine. Serie di funzioni reali di una variabile reale. Convergenza puntuale,
uniforme e totale. Passaggio della serie sotto il segno di integrale. Derivabilità termine a termine.
Serie di potenze e rispettive proprietà. Raggio di convergenza. Insieme di convergenza puntuale.
Teorema di Abel. Serie trigonometriche e serie di Fourier. Teoremi sulla convergenza semplice e
uniforme della serie di Fourier per funzioni di classe C1 - a tratti e periodiche. Disuguaglianza di
Bessel e identità di Parseval.
Curve e forme differenziali Curve piane e spaziali. Curve parametriche semplici, regolari, chiuse.
Vettore tangente. Riparametrizzazioni. Ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva. Baricentro
di una curva. Integrali curvilinei di funzioni continue. Curve orientate. Forme differenziali lineari piane.
Forme chiuse e esatte. Primitiva di una forma differenziale. Domini connessi e semplicemente
connessi. L’esattezza di una forma implica che la forma sia chiusa (con dimostrazione). Condizioni
necessarie e sufficienti per l’esattezza di una forma differenziale. Integrali curvilinei di forme
differenziali lineari.
Integrali doppi Definizione di integrale doppio e proprietà di linearità e additività. Domini x normali e
y-normali. Formule di riduzione. Teorema del cambiamento di variabile. Coordinate polari ed ellittiche.
Formule di Gauss-Green (con dimostrazione). Baricentro di una lamina piana. Teorema della
divergenza (con dimostrazione). Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. Formule per il
calcolo dell’area. Cenni sugli integrali tripli. di integrale triplo e sue proprietà. Integrazione per fili e per
strati. Baricentro di figure solide. Teorema del cambiamento di variabili. Coordinate cilindriche e
sferiche. Superfici di rotazione e teorema di Guldino.
 Libro di testo:
Bertsch, Dal Passo, Giacomelli, Analisi Matematica, McGrow-Hill (l'edizione non è importante ma le lezioni seguiranno la seconda edizione)
Altri testi: dispense della Prof. Paola Loreti, reperibili al link https://www.sbai.uniroma1.it/~paola.loreti/didattica.html
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di Matematica
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