Il “Fusionismo” di Felix Klein e di Bruno de Finetti (collegamento fra la geometria e altri settori della matematica). Gli insegnamenti di Piaget, Dewey, Hadamard, Laplace e Polya. Il costruttivismo e le immagini mentali. Aspetti didattici della visualizzazione. Esempi di “Problem Solving” e di “Problem Posing”. Il problema del ragionamento induttivo e del suo collegamento con quello deduttivo. Aspetti dinamici nell’insegnamento della matematica. Insegnamento della matematica attraverso i software di geometria dinamica: trasformazioni geometriche tradizionali, affinità nel piano e nello spazio, una nuova trasformazione geometrica, non lineare, molto semplice: le “radialità”. Determinazione dell’area della sinusoide, della cardioide, della spirale di Archimede, della cicloide, dei "fiori geometrici" e di altre curve, attraverso le radialità. Ipertetraedri ed ipercubi, loro porzioni e proiezioni, per determinare in più modi la somma delle potenze degli interi, alcuni esempi di equiscomponibilità nello spazio collegati al terzo problema di Hilbert, le tassellazioni dello spazio, i numeri di Eulero, il “Piccolo Teorema di Fermat”, la caratteristica di Eulero in dimensione qualsiasi... Importanza del collegamento fra la storia della matematica e la sua didattica. Analisi in chiave storica e didattica di alcuni problemi fondamentali, di alcuni fraintendimenti ed errori molto frequenti nell'insegnamento della matematica. Esempi. I programmi della scuola. Alcuni aspetti della ricerca didattica internazionale. Sperimentazioni e aspetti didattici connessi con gli argomenti trattati.