Lezione 1 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Introduzione al corso di Geometria. Come prepararsi ad un esame universitario di matematica. Lezione 2 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Insiemi. Operazioni su insiemi: unione, intersezione, complementare. Insieme delle parti. Prodotto cartesiano di due insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Esempi. Relazione di congruenza. Esercizi. [Cap 1.1, 1.2, 1.3] Lezione 3 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Funzioni o applicazioni, Iniettive, Suriettive, Biettive. Dominio, immagine, controimmagine, permutazioni. Composizione di applicazioni. [Cap 1.4, 1.5] Lezione 4 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Funzione identità. Funzione inversa. Funzioni invertibili. Definizione di operazione binaria. Principio di induzione. [Cap 1.6, 1.7] Lezione 5 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) I numeri reali. I numeri complessi. Coniugato. Modulo. Operazioni sui numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. [Cap 1.8, 1.9, 1.10] Lezione 6 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Formula di DeMoivre. Radici n-esime di un numero complesso. Nozione di spazio vettoriale Rn. Operazioni su n-ple di numeri reali. Combinazione lineare di vettori di Rn. Vettori linearmente dipendenti e proprietà. [Cap. 1.10, 2.1, 2.2] Lezione 7 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Vettori linearmente indipendenti. Sottospazio vettoriale. Generatori di un sottospazio. Base di un sottospazio. Dimensione di un sottospazio. Ogni vettore di un sottospazio è combinazione lineare dei vettori di una base in modo unico. Base canonica o standard di Rn. [Cap. 2.3, 2.4] Lezione 8 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Prodotto scalare tra vettori di Rn. Matrici. Ordine di una matrice. Trasposta di una matrice. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Struttura di spazio vettoriale per matrici dello stesso ordine. [Cap. 3.1, 3.2] Lezione 9 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Algoritmo di riduzione di Gauss (Gauss-Jordan). Forma a gradini di una matrice. Forma a gradini ridotta. Soluzione di un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Pivot. [Cap. 3.3, 3.4] Lezione 10 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Equazioni lineari. Soluzione di un’equazione lineare. Sistemi lineari. Soluzione di un sistema. Sistemi equivalenti. Matrice del sistema, matrice completa del sistema. Matrici equivalenti per righe. Unicità della forma a gradini ridotta di una matrice. Rango per pivot di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Moltiplicazione righe per colonne di una matrice. Alcune proprietà della moltiplicazione: non commutatività. Matrici nilpotenti. [Cap. 3.4, 3.5, 3.6] Lezione 11 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Invertibilità di una matrice. Definizione di matrice identità e di matrice inversa. Algoritmo di inversione. Inversa del prodotto di due matrici. [Cap. 3.6] Lezione 12 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Proprietà delle matrici invertibili. Condizioni equivalenti all’invertibilità e dimostrazione. [Cap. 3.6] Lezione 13 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Matrici elementari. Introduzione al concetto di determinante. Definizione mediante prodotti competenti e segno secondo la parità della permutazione. [Cap. 3.6, 3.8] Lezione 14 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Cofattori o complementi algebrici. Primo e secondoTeorema di Laplace. Proprietà dei determinanti secondo le operazioni elementari. Legame tra invertibilità di una matrice e valore del determinante. [Cap. 3.8] Lezione 15 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Teorema di Binet. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Matrice aggiunta. Formula per la matrice inversa. Regola di Cramer. [Cap. 3.8] Lezione 16 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Invertibilità di una matrice e indipendenza delle sue righe e colonne. Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice. Rango per righe e rango per colonne. Rango per minori. Teorema degli orlati. Coincidenza dei ranghi. Rango di una matrice. [Cap. 3.8] Lezione 17 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Come trovare una base per lo spazio delle colonne di una matrice. Alcuni esercizi per la risoluzione di un sistema lineare in dipendenza da un parametro e mediante la regola di Cramer. [Cap. 3.8, 3.9] Lezione 18 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Introduzione e motivazione per la diagonalizzazione di matrici. Definizioni. Autovettori e autovalori. Polinomio caratteristico e equazione caratteristica. [Cap. 4.1, 4.2] Lezione 19 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Diagonalizzabilità in relazione a una base costituita da autovettori. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Molteplicità algebrica e geometrica. Esempi di matrici non diagonalizzabili. [Cap. 4.2] Lezione 20 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Criterio sufficiente per la diagonalizzazione (autovalori distinti). Criterio necessario e sufficiente. Matrici Simili. Proprietà delle matrici simili. Traccia e determinante di una matrice come coefficienti del polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton . Calcolo dell’inversa e delle potenze di una matrice quadrata mediante il teorema di Cayley-Hamilton. [Cap. 4.3] Lezione 21 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Vettori liberi o geometrici come classi di equipollenza. Operazioni sui vettori liberi e struttura di spazio vettoriale su V2. Significato geometrico di dipendenza e indipendenza lineare. Due vettori di V2 sono dipendenti se e solo se sono paralleli. Tre o più vettori sono sempre dipendenti. Sistema di riferimento cartesiano nel piano. Rappresentazione cartesiana di vettori. Coordinate di un vettore libero. Prodotto scalare e suo significato geometrico. [Cap. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.7] Lezione 22 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Parallelismo tra vettori. Proiezione ortogonale e coefficiente di Fourier. Versore e normalizzazione di un vettore. Formula intrinseca per il prodotto scalare. Formula per il coseno dell’angolo tra due vettori. Punto medio di un segmento. Area di un triangolo. [Cap. 5.6, 5.7, 5.8, 5.9] Lezione 23 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Equazione cartesiana di una retta. Varie forme dell’equazione. Parametri direttori e coseni direttori di una retta. Significato geometrico dei coseni direttori. Angolo tra due rette. Scelta di una orientazione su una retta. [Cap. 5.10, 5.11, 5.14, 5.15] Lezione 24 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Intersezione e parallelismo di rette. Fasci propri e impropri di rette. Equazioni parametriche di una retta. Condizione di perpendicolarità. Forma ridotta di una retta. Coefficiente angolare. Espressione delle condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tramite il coefficiente angolare. [Cap. 5.12, 5.13, 5.15] Lezione 25 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Distanza punto-retta. Cambiamenti di riferimento nel piano. Sistemi equiversi e contraversi. Matrice del cambiamento. Definizione di matrice ortogonale. [Cap. 5.16, 5.17] Lezione 26 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Cambiamento di coordinate di punto. Matrici ortogonali. Esercizi. La circonferenza. [5.17, 6.1] Lezione 27 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ancora sulla circonfrenza. Introduzione alle coniche. Luoghi geometrici determinati da un fuoco F, una direttrice d, una eccentricità e. Caso dell’ellisse. [6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5] Lezione 28 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ancora su equazioni canoniche di ellisse, iperbole, parabola. Esercizi. [6.4,6.5,6.6] [Capitolo 6 del libro di esercizi] Lezione 29 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Classificazione delle coniche. Coniche generali e coniche degeneri. Coniche generali a centro. Centro di simmetria e assi di simmetria. Asintoti di un’iperbole. [7.1, 7.2, 7.4] Lezione 30 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Asse di simmetria di una parabola. Riduzione a forma canonica di coniche generali. [7.3,7.5] Lezione 31 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Metodo degli invarianti. Ampliamento del piano e punti impropri. Equazioni in coordinate omogenee. [7.6, 7.7] Lezione 32 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Coniche classificate mediante i punti all’infinito. Ricerca di punti doppi e coniche degeneri. Centro di una conica. [7.7,7.8] Lezione 33 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Curve piane. Curve in coordinate polari. Equazioni delle coniche in coordinate polari. La cardioide. Equazioni parametriche di curve piane. Introduzione alla geometria dello spazio. [Cap 8] Lezione 34 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Orientazione dello spazio: terne equiverse e contraverse. Definizione di prodotto vettoriale. Formula per il calcolo del prodotto vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale. [Cap. 9.1, 9.2] Lezione 35 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Prodotto misto e suo significato geometrico. Equazione cartesiana di un piano. Parallelismo tra piani. Parametri di giacitura. Vettore normale al piano. Euqazioni cartesiane di una retta nello spazio. [9.3, 9.4, 9.5, 9.6, 9.7] Lezione 36 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Formule per i parametri direttori di una retta nello spazio. Parallelismo di rette. Complanarità di rette, rette sghembe. [9.8, 9.9, 9.10] Lezione 37 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Mutue posizioni di rette. Stelle e fasci di rette. Parallelismo retta-piano. Perpendicolarità retta –piano. Distanza punto-piano, tra due piani, tra rette parallele, punto –retta , tra rette sghembe. [9.11, 9.12, 9.14, 9.15, 9.18] Lezione 38 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Metodo dei punti mobili. Retta perpendicolare e incidente a due rette sghembe. Angoli: tra due rette, tra due piani, tra piano e retta. [9.13, 9.16, 9.17] Lezione 39 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Sfera. Quadriche in forma canonica. Qualche esempio di quadrica degenere: cono e cilindro. [9.19, 9.20] Lezione 40 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Introduzione alla nozione astratta di spazio vettoriale. Vari esempi. Equazioni cartesiane di sottospazi di Rn. Base e dimensione. Lemma dello scambio di Steinitz (con dimostrazione). [10.1, 10.2, 10.3, 10.4] Lezione 41 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Operazioni sui sottospazi: somma e intersezione. Relazione di Grassmann (senza dim.). Somma diretta di sottospazi. [10.5] Lezione 42 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Introduzione alle trasformazioni lineari. Definizione e vari esempi: rotazione, proiezione ortogonale, riflessione. Esempi di matrici corrispondenti. Definizione di nucleo e immagine di una trasformazione. Il nucleo è un sottospazio. [11.1,11.2,11.3] Lezione 43 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) L’immagine di una applicazione lineare è un sottospazio. Calcolo del nucleo e dell’immagine e relazione con i sistemi lineari. Monomorfismi e nucleo nullo. Teorema delle dimensioni (con dimostrazione). [11.3] Lezione 44 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Dimostrazione del Teorema delle dimensioni. Corollario. Coordinate di un vettore rispetto ad una base ordinata. [11.3] Lezione 45 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Modello universale di spazio vettoriale. Matrici associate ad una trasformazione lineare. [11.4, 11.5] Lezione 46 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Matrice della composizione di due applicazioni. Matrice di cambiamento di base. Legame tra due matrici di uno stesso endomorfismo. Definizione di determinante di un endomorfismo, traccia di un endomorfismo, autovettori e autovalori di un endomorfismo. [11.5, 11.6, 11.7] Lezione 47 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Endomorfismi e Diagonalizzazione. Dimostrazione della relazione tra due matrici di uno stesso endomorfismo. Nozioni metriche. Procedimento di Gram-Schmidt. [11.8, 12.1] Lezione 48 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Disuguaglianza di Schwarz. Complemento ortogonale di un sottospazio. Somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Sviluppo di Fourier. [12.1] Lezione 49 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Teorema di approssimazione. Proprietà importanti delle matrici simmetriche. Diagonalizzazione ortogonale. Teorema degli Assi Principali. [12.2] Lezione 50 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Forme quadratiche. Definizione di forme quadratiche definite positive, definite negative, semidefinite, indefinite. Loro caratterizzazione mediante il Teorema degli assi principali. Caratterizzazione mediante i minori principali (senza dim.). [12.3] Lezione 51 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Metodo dei minimi quadrati. Equazioni normali.Relazione tra il rango di una matrice A e di ATA. Invertibilità di ATA. Pseudoinversa di A. Matrice standard della proiezione ortogonale su un sottospazio. Introduzione agli spazi euclidei generali. [12.4, 12.6] Lezione 52 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Nozione generale di spazio euclideo e di prodotto scalare. Vari esempi. Definizione di base ortogonale. Procedimento di Gram-Schmidt. Polinomi interpolatori di Lagrange. [12.6] Lezione 53 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Una applicazione dei polinomi di Lagrange. Matrice di un prodotto scalare. Definizione di curva parametrica. Curva semplice e curva regolare. [12.7, 13.1, 13.2, 13.3] Lezione 54 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Curve piane e curve sghembe. Curve regolari a tratti. Lunghezza di una curva. Elica. Astroide. Rette secanti e tangenti. Piano osculatore. [13.4, 13.5, 13.9] Lezione 55 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame. Lezione 56 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame. Lezione 57 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame. Lezione 58 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame. Lezione 59 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame. Lezione 60 (1.2 Spiegazioni+0.8 Esercitazioni) Ripasso ed esercitazioni di preparazione all’esame.

S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria, Nuova edizione, (Esculapio, 2015) S. Capparelli: Esercitazioni di Geometria, Esculapio, 2019