Docente
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DI GIACOMO LAURA
(programma)
ITALIANO
Serie numeriche: serie telescopiche, serie geometriche e serie armoniche. Proprietà delle serie convergenti: condizione necessaria di convergenza.
Serie a termini positivi. Criteri di confronto (criterio della radice, del rapporto e del confronto asintotico).
Serie a termini di segno alterno. Convergenza assoluta e convergenza condizionata. Riordinamento di serie.
Serie di Taylor e sviluppi di funzioni elementari. Funzioni analitiche.
Serie di potenze e loro convergenza. Chiusura algebrica, continuità, derivabilità.
Area di un sottografico. Integrale definito. Proprietà dell'integrale (linearità, additività, monotonia). Integrabilità delle funzioni monotone.
Integrabilità delle funzioni continue. Esempi di funzioni non integrabili.
Teorema della media integrale. Calcolo di integrali definiti. Integrazione numerica (metodo dei trapezi, metodo di Simpson).
Funzioni integrali: definizione e Lipschtzianità. Derivabilità di funzioni integrali. Il Teorema Fondamentale del calcolo integrale.
Integrali indefiniti: primitive elementari. Metodi di integrazione (metodo di sostituzione, integrazione per parti). Integrazione di funzioni razionali. Integrali impropri (integrali di funzioni positive illimitate, integrale di funzioni positive su domini illimitati). Integrali impropri e serie numeriche. Cenni ad integrali multipli.
Presentazione generale delle equazioni differenziali. Esempi di modelli fisici descritti da equazioni differenziali (grave in caduta libera, moto del proiettile, dinamiche malthusiane e logistiche, reazioni chimiche elementari). Soluzioni di equazioni differenziali (equazioni lineari del primo ordine, a variabili separabili, di Bernoulli).
Il problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale di soluzioni del problema di Cauchy. Esempi di esplosione in tempo finito e di molteplicità di soluzioni.
Metodi numerici per la discretizzazione di equazioni differenziali: metodo di Eulero. Equazioni lineari del II ordine a coefficienti costanti omogenee.
Struttura delle soluzioni e polinomio caratteristico; caso di due radici reali (distinte o coincidenti), caso di due radici complesse e coniugate. Equazioni lineari del II ordine a coefficienti costanti non omogenee. Struttura delle soluzioni. Forzanti speciali (polinomi, funzioni trigonometriche, esponenziali). Metodo di variazione delle costanti.
Equazioni lineari del II ordine a coefficienti variabili. Struttura delle soluzioni. Equazioni omogenee. Soluzioni in serie di potenze.
Cenni alle equazioni alle derivate parziali: equazione del trasporto, del calore (dimensione 1), di Laplace (dimensione 2 e 3).
 1. Dispense redatte dai Proff. Lamberti Lamberto e Mascia Corrado;
2. Libro di C. Canuto - A. Tabacco "Analisi Matematica I - Teoria ed esercizi", 4a edizione, Springer (per la parte relativa agli integrali e equazioni differenziali del I e II ordine)
3. Libro di C. Canuto - A. Tabacco "Analisi Matematica II - Teoria ed esercizi con complementi in rete", Springer (per la parte relativa alle serie numeriche, di Taylor e di potenze)
Durante il corso saranno distribuiti dei fogli di esercizi preparati dal docente.
Questi esercizi saranno svolti durante webinar (seminari web).
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