Concetti fondamentali: Nozioni di logica matematica; concetto di insieme e le principali operazioni; il principio di induzione; progressione geometrica; fattoriale e coefficienti binomiali; formula del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia; i numeri naturali N, interi Z, razionali Q e reali R; valore assoluto e disuguaglianza triangolare; estremo superiore e l’assioma di completezza; Successioni numeriche: Successioni convergenti, infinitesime, divergenti, oscillanti e limitate; regole per il calcolo dei limiti; numeri reali estesi, 0+ e 0−; forme determinate e indeterminate; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri, successioni monotone; successioni asintotiche e il principio di sostituzione. Serie numeriche: Definizione di serie e prime proprietà: criterio necessario per la convergenza; serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio della radice e del rapporto, serie a termini di segno variabili, il criterio di Leibniz, convergenza semplice e convergenza assoluta; serie armonica, armonica generalizzata, geometrica ed esponenziale. Funzioni continue: Funzioni reali di una variabile reale; funzioni iniettive, suriettive, biettive, pari e dispari; funzione inversa; funzioni elementari: polinomi e funzioni razionali, potenza, funzione esponenziale, iperboliche, circolari, grafici; somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni; funzioni monotone e limitate; limiti delle funzioni reali; regole per il calcolo di limiti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri per le funzioni; funzioni continue; funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri e dei valori intermedi, il metodo di bisezione; continuit`a delle funzioni elementari e delle loro inverse: logaritmi, inverse delle funzioni circolari e iperboliche; funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstraß. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: Rapporto incrementale; derivata e suo significato geometrico; regole di derivazione; derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse; derivazione delle funzioni elementari e loro inverse; estremi locali e teorema di Fermat; i teoremi di Rolle e di Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange; funzioni monotone; estremi locali di funzioni derivabili; funzioni con derivata zero; le regole di de l’Hospital; approssimazione lineare di una funzione; il differenziale; le derivate successive; i simboli di Landau; funzioni con contatto di ordine n; polinomio di Taylor e di Mac Laurin; la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano; i polinomi di Taylor delle funzioni elementari; applicazioni del teorema di Taylor: estremi locali, calcolo numerico, confronti asintotici tra funzioni e calcolo dei limiti con il principio di sostituzione, serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari; studio di funzione. Calcolo Integrale per funzioni di una variabile: L’integrale di Riemann e signifi- cato geometrico; somme inferiori e superiori, caratterizzazione delle funzioni integrabili; classi di funzioni integrabili; propriet`a dell’integrale; la funzione integrale e la primitiva; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrale indefinito; regole di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione; integrali impropri e criteri di convergenza, serie e integrali impropri. Numeri complessi: Definizione dei complessi e struttura di campo; forma cartesiana dei complessi e piano di Gauß; coniugato, modulo e argomento di un complesso; disuguaglianza triangolare; forma trigonometrica dei complessi; significato geometrico delle operazioni fra complessi; potenze e radici di numeri complessi. Equazioni differenziali di primo ordine: Interpretazione geometrica; problema di Cauchy; esistenza di soluzioni e il teorema di Peano; equazioni lineari di primo ordine, equazioni omogenee, variazione della costante; equazioni a variabili separabili, soluzioni stazionarie, metodo di sostituzione. Equazioni differenziali di secondo ordine: Problema di Cauchy; equazioni lineari a coefficienti costanti, equazione omogenea, polinomio caratteristico, soluzione particolare e generale, equazioni complete, metodo della variazione della costante, la Wronskiana. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: Funzioni reali di più variabili, grafico; norma in R^n e limiti in R^n; funzioni continue di pi`u variabili; derivate direzionali e derivate parziali; gradiente; continuità e derivabilità, approssimazione lineare, piano tangente; estremi locali, punti critici e teorema di Fermat; derivate successive e teorema di Schwarz, la Hessiana, Teorema di Taylor, matrici definite positive/negative e indefi- nite, criterio di Hurwitz; funzioni di pi`u variabili a valori vettoriali, la Jacobiana, regola della catena, trasformazioni regolari di coordinate: coordinate polari, circolari e sferiche, trasformazioni regolari, invertibilità locale di trasformazioni. Calcolo Integrale per funzioni di pi`u variabili: Integrazione di funzioni di due variabili, integrale di Riemann, misura di un insieme, proprietà dell’integrale, domini semplici e regolari, teorema di Fubini, interpretazione geometrica; cambiamento di variabili, integrazione in coordinate polari.

M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill; F.Camilli, Appunti del corso, http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio.camilli/An1-12cfu_new/ana1.pdf

Concetti fondamentali: Nozioni di logica matematica; concetto di insieme e le principali operazioni; il principio di induzione; progressione geometrica; fattoriale e coefficienti binomiali; formula del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia; i numeri naturali N, interi Z, razionali Q e reali R; valore assoluto e disuguaglianza triangolare; estremo superiore e l’assioma di completezza; Successioni numeriche: Successioni convergenti, infinitesime, divergenti, oscillanti e limitate; regole per il calcolo dei limiti; numeri reali estesi, 0+ e 0−; forme determinate e indeterminate; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri, successioni monotone; successioni asintotiche e il principio di sostituzione. Serie numeriche: Definizione di serie e prime proprietà: criterio necessario per la convergenza; serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio della radice e del rapporto, serie a termini di segno variabili, il criterio di Leibniz, convergenza semplice e convergenza assoluta; serie armonica, armonica generalizzata, geometrica ed esponenziale. Funzioni continue: Funzioni reali di una variabile reale; funzioni iniettive, suriettive, biettive, pari e dispari; funzione inversa; funzioni elementari: polinomi e funzioni razionali, potenza, funzione esponenziale, iperboliche, circolari, grafici; somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni; funzioni monotone e limitate; limiti delle funzioni reali; regole per il calcolo di limiti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri per le funzioni; funzioni continue; funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri e dei valori intermedi, il metodo di bisezione; continuit`a delle funzioni elementari e delle loro inverse: logaritmi, inverse delle funzioni circolari e iperboliche; funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstraß. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: Rapporto incrementale; derivata e suo significato geometrico; regole di derivazione; derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse; derivazione delle funzioni elementari e loro inverse; estremi locali e teorema di Fermat; i teoremi di Rolle e di Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange; funzioni monotone; estremi locali di funzioni derivabili; funzioni con derivata zero; le regole di de l’Hospital; approssimazione lineare di una funzione; il differenziale; le derivate successive; i simboli di Landau; funzioni con contatto di ordine n; polinomio di Taylor e di Mac Laurin; la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano; i polinomi di Taylor delle funzioni elementari; applicazioni del teorema di Taylor: estremi locali, calcolo numerico, confronti asintotici tra funzioni e calcolo dei limiti con il principio di sostituzione, serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari; studio di funzione. Calcolo Integrale per funzioni di una variabile: L’integrale di Riemann e signifi- cato geometrico; somme inferiori e superiori, caratterizzazione delle funzioni integrabili; classi di funzioni integrabili; propriet`a dell’integrale; la funzione integrale e la primitiva; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrale indefinito; regole di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione; integrali impropri e criteri di convergenza, serie e integrali impropri. Numeri complessi: Definizione dei complessi e struttura di campo; forma cartesiana dei complessi e piano di Gauß; coniugato, modulo e argomento di un complesso; disuguaglianza triangolare; forma trigonometrica dei complessi; significato geometrico delle operazioni fra complessi; potenze e radici di numeri complessi. Equazioni differenziali di primo ordine: Interpretazione geometrica; problema di Cauchy; esistenza di soluzioni e il teorema di Peano; equazioni lineari di primo ordine, equazioni omogenee, variazione della costante; equazioni a variabili separabili, soluzioni stazionarie, metodo di sostituzione. Equazioni differenziali di secondo ordine: Problema di Cauchy; equazioni lineari a coefficienti costanti, equazione omogenea, polinomio caratteristico, soluzione particolare e generale, equazioni complete, metodo della variazione della costante, la Wronskiana. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: Funzioni reali di più variabili, grafico; norma in R^n e limiti in R^n; funzioni continue di pi`u variabili; derivate direzionali e derivate parziali; gradiente; continuità e derivabilità, approssimazione lineare, piano tangente; estremi locali, punti critici e teorema di Fermat; derivate successive e teorema di Schwarz, la Hessiana, Teorema di Taylor, matrici definite positive/negative e indefi- nite, criterio di Hurwitz; funzioni di pi`u variabili a valori vettoriali, la Jacobiana, regola della catena, trasformazioni regolari di coordinate: coordinate polari, circolari e sferiche, trasformazioni regolari, invertibilità locale di trasformazioni. Calcolo Integrale per funzioni di pi`u variabili: Integrazione di funzioni di due variabili, integrale di Riemann, misura di un insieme, proprietà dell’integrale, domini semplici e regolari, teorema di Fubini, interpretazione geometrica; cambiamento di variabili, integrazione in coordinate polari.

M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill; F.Camilli, Appunti del corso, http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio.camilli/An1-12cfu_new/ana1.pdf

Il corso vuole fornire i principali strumenti di analisi matematica utilizzati nelle discipline tecnico-scientifiche. Dopo una serie di richiami sugli insiemi numerici, sulla definizione astratta di funzione, sullo studio delle funzioni di base e sulle tecniche di risoluzione delle equazioni o disequazioni ad esse associate, una buona parte del corso è dedicata alle funzioni di una variabile reale (limiti, derivate, integrali). Tali argomenti si generalizzano poi al caso di funzioni di più variabili reali. Vengono infine introdotte le equazioni differenziali al primo e secondo ordine. I temi trattati sono i seguenti: Numeri e piano cartesiano (10h) Successioni e serie numeriche (12h) Funzioni reali di una variabile reale (10h) Calcolo differenziale per funzioni di una variabile (12h) Calcolo Integrale per funzioni di una variabile (15h) Equazioni differenziali di primo ordine (12h) Equazioni differenziali di secondo ordine (12h) Limiti e continuità per funzioni di più variabili (6h) Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (15h) Calcolo Integrale per funzioni di piu` variabili (16h)

G. Crasta, A. Malusa: Matematica 2. Teoria ed Esercizi, Pitagora Ed. M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore