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Docente
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CREO SIMONE
(programma)
Richiami: coordinate polari, derivazione di integrali dipendenti da parametri, serie di potenze, proprietà di integrazione di funzioni periodiche/pari/dispari, serie di Fourier (convergenza puntale, uniforme, totale e in media quadratica), disuguaglianza di Bessel, corollario di Riemann-Lebesgue, identità di Parseval, sviluppo in serie di Fourier di polinomi trigonometrici, esistenza locale e globale di soluzioni di equazioni differenziali ordinarie, sommabilità su intervalli limitati e illimitati di funzioni con criteri del confronto e condizioni sufficienti di sommabilità, integrale di Gauss, formule di Green, equazione differenziale di Eulero.
Equazioni alle derivate parziali del prim'ordine in due variabili:
-) caso lineare a coefficienti costanti: esistenza e unicità della soluzione classica con dimostrazione e metodo delle caratteristiche nel semipiano, nel primo quadrante e nella semistriscia;
-) caso lineare a coefficienti non costanti: esistenza e unicità della soluzione classica con costruzione della soluzione;
-) caso nonlineare: esistenza e unicità della soluzione classica con costruzione della soluzione nel caso semilineare e nel caso particolare quasilineare, problema di Riemann per equazioni quasilineari, risoluzione tramite onda di rarefazione e onda d'urto, condizione di Rankine-Hugoniot;
-) applicazioni: risoluzione dell'equazione delle onde in due variabili nel semipiano tramite la formula di D'Alembert, modelli del traffico con ingorgo o semaforo nell'origine con relativa interpretazione fisica.
Equazione del calore in due variabili:
-) caso omogeneo nella semistriscia: costruzione della soluzione tramite separazione delle variabili nel caso di condizioni di Dirichlet e Neumann omogenee, esistenza e unicità di soluzione classiche (e regolari) con dimostrazione, effetto regolarizzante dell'operatore del calore;
-) caso non omogeneo nella semistriscia: costruzione, esistenza e unicità di soluzioni classiche (e regolari) nel caso di condizioni di Dirichlet e Neumann omogenee e non, convergenza alla soluzione stazionaria;
-) principio del massimo e suoi corollari e applicazione all'unicità di soluzioni di equazioni del calore;
-) caso omogeneo nel semipiano: condizione di Tychonoff, nucleo del calore, esistenza e unicità della soluzione classica con dimostrazione, integrali notevoli, applicazione del metodo risolutivo alla risoluzione di problemi parabolici del second'ordine più generali.
Equazione di Laplace e di Poisson in due variabili:
-) presentazione delle condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann e Robin, funzioni armoniche, applicazione delle formule di Green all'unicità delle soluzioni di questi problemi, costruzione delle soluzioni fondamentali nel piano e nello spazio, teoremi della media per funzioni armoniche nel piano e nello spazio;
-) equazione di Laplace nel cerchio unitario: costruzione della soluzione tramite separazione delle variabili e coordinate polari nel caso di condizioni di Dirichlet, esistenza e unicità della soluzione classica con dimostrazione, effetto regolarizzante del Laplaciano, integrale di Poisson;
-) equazione di Poisson nel cerchio unitario: esistenza e unicità della soluzione classica e costruzione della soluzione;
-) equazione di Laplace in un anello: esistenza e unicità della soluzione classica e costruzione della soluzione;
-) equazione di Laplace in un rettangolo: costruzione della soluzione tramite separazione delle variabili, esistenza e unicità di soluzioni classiche sotto diverse ipotesi;
-) proprietà di funzioni armoniche: principio del massimo forte per funzioni armoniche e suoi corollari, funzioni di Green in dimensione due e tre.
 F. Scarabotti, “Equazioni alle derivate parziali: teoria elementare e applicazioni”, casa ed. Esculapio.
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