Modulo I. Numeri complessi e loro proprieta'. Funzioni analitiche. Funzioni polidrome. Integrazione nel campo complesso. Teorema e rappresentazione integrale di Cauchy. Teorema di Liouville e Morera. Teorema fondamentale dell'Algebra. Teorema del massimo modulo. Singolarita' e loro classificazione. Serie di Taylor e di Laurent. Teorema dei residui e sue applicazioni. Modulo II. Spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Funzionali lineari e distribuzioni. Operatori lineari su spazi di Hilbert, operatori autoaggiunti, unitari, e spettro di un operatore. Spazi di funzioni sommabili. Serie di Fourier. Sistemi di polinomi ortogonali. Trasformata di Fourier e di Laplace. Applicazioni: equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali lineari rilevanti in fisica. Funzioni di Green.

C. Bernardini, O. Ragnisco, P. M. Santini "Metodi Matematici della Fisica", Carocci, 2014. M. W. Hirsch, S. Smale and R. L. Devaney, "Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos", Academic Press, 2012. M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni, "A Guide to Mathematical Methods for Physicists", World Scientific. F. Calogero, "Metodi Matematici della Fisica", Dispense Istituto di Fisica, Universita' di Roma, 1975. F. Cesi "Rudimenti di analisi infinito dimensionale", dispense. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, "Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale", Editori Riuniti.

Numeri complessi e loro proprieta'. Funzioni analitiche. Funzioni polidrome. Integrazione nel campo complesso. Teorema e rappresentazione integrale di Cauchy. Teorema di Liouville e Morera. Teorema fondamentale dell'Algebra. Teorema del massimo modulo. Singolarita' e loro classificazione. Serie di Taylor e di Laurent. Teorema dei residui e sue applicazioni. Spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Funzionali lineari e distribuzioni. Operatori lineari su spazi di Hilbert, operatori autoaggiunti, unitari, e spettro di un operatore. Spazi di funzioni sommabili. Serie di Fourier. Sistemi di polinomi ortogonali. Trasformata di Fourier e di Laplace. Applicazioni: equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali lineari rilevanti in fisica. Funzioni di Green.

C. Bernardini, O. Ragnisco, P. M. Santini "Metodi Matematici della Fisica", Carocci, 2014. M. W. Hirsch, S. Smale and R. L. Devaney, "Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos", Academic Press, 2012. M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni, "A Guide to Mathematical Methods for Physicists", World Scientific. F. Calogero, "Metodi Matematici della Fisica", Dispense Istituto di Fisica, Universita' di Roma, 1975. F. Cesi "Rudimenti di analisi infinito dimensionale", dispense. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, "Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale", Editori Riuniti.

Spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Funzionali lineari e distribuzioni. Operatori lineari su spazi di Hilbert, operatori autoaggiunti, unitari, e spettro di un operatore. Spazi di funzioni sommabili. Serie di Fourier. Sistemi di polinomi ortogonali. Trasformata di Fourier e di Laplace. Applicazioni: equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali lineari della rilevanti in fisica. Funzioni di Green.

C. Bernardini, O. Ragnisco, P. M. Santini "Metodi Matematici della Fisica", Carocci, 2014. L. V. Ahlfors, "Complex Analysis", Mc Graw-Hill 1979. M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni, "A Guide to Mathematical Methods for Physicists", World Scientific. C. Presilla, "Elementi di Analisi Complessa" (2a edizione), Springer, UNITEXT 2014. F. Calogero, "Metodi Matematici della Fisica", Dispense Istituto di Fisica, Universita' di Roma, 1975.

Programma di questo modulo: Numeri complessi. Cenni storici. Unita' immaginaria. Rappresentazione con Parte Reale e Parte Immaginaria. Somma, prodotto e proprieta' di queste operazioni. Insieme dei complessi come Campo. Modulo, complesso coniugato e applicazioni. Radice quadrata di un numero complesso. Rappresentazione geometrica (piano di Argand). Rappresentazione sul piano della somma, del prodotto e del coniugato. Rappresentazione polare. Rappresentazione polare dei numeri complessi. Prodotto e rapporto in rappresentazione polare. Formula di Eulero e giustificazione. Potenza ennesima. Radice ennesima. Esempi. Rappresentazione della radice ennesima di un numero complesso sul piano di Argand. Radici dell'unita'. Disuguaglianza triangolare. Rappresentazione stereografica e piano complesso esteso. Definizione di spazio metrico. C come spazio metrico con la distanza Euclidea. Disco aperto e disco chiuso. Sottoinsieme aperto di C. Unione e intersezione di aperti. Punti di frontiera, punti interni e chiusura di U in C. Unione e intersezione di sottoinsiemi chiusi. Sottoinsieme limitato. Segmento di retta e poligonale. Insiemi aperti connessi. Funzioni complesse di variabile complessa (da C in C). Parte reale e parte immaginaria. Esempi. Definizione di limite in C. Limite di f(z) e implicazioni per il limite della parte reale e immaginaria. Limite della somma, del profotto e del quoziente. Definizione di continuita' e implicazioni per la continuita' della parte reale e della parte immaginaria. Continuita' della somma, prodotto e quoziente di funzioni continue. Funzioni analitiche. Derivabilita' in un punto. Se f(z) e' derivabile in z e' continua in z. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente di funzioni derivabili. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivabilita' e condizioni di Cauchy-Riemann. Funzioni analitiche. Funzioni intere. Funzioni analitiche e armonicita' della parte reale e della parte immaginaria. Data una funzione armonica u(x,y) trovare v(x,y) armonica tale che f(z)=u+iv sia analitica. Esempi: analiticita' di funzioni semplici. Polinomi. Funzioni razionali. Zeri di una funzione analitica. Singolarita' isolate. Poli. Proprieta' base delle serie di potenze. Successioni. Successioni convergenti, di Cauchy. Serie di potenze. Serie convergente, assolutamente convergente. Serie geometrica. Teorema: se la serie e' conv. per z=z0 allora converge unif. per |z||z0|. Raggio di convergenza. Teorema di Cauchy-Hadamard. Criterio del rapporto. Teorema: una serie di potenze e la serie ottenuta derivando la prima termine a termine hanno lo stesso raggio di convergenza. Teorema: se una serie di potenze converge a f(z) nel raggio di convergenza R0, allora f(z) e' analitica in D(0,R) e f'(z) e' data dalla serie che si ottiene derivando termine a termine la serie data. Se cosi' e', f(z) e' derivabile infinite volte e vale la formula di Taylor in D(0,R). Trascendenti intere come serie di potenze. Esponenziale complesso. Funzioni trigonometriche. Funzioni iperboliche. Funzioni inverse e polidromia. Il logaritmo complesso. Radice ennesima. Fogli di Riemann. Arcoseno e arcocoseno. Integrazione in C. Curve (o cammini). Curve semplici, regolari, chiuse. Lunghezza di una curva e sua invarianze per riparametrizzazione. Cammini inversi. Esempi. Teorema della curva di Jordan. Integrale sulla curva di una funzione continua di variabile complessa. Esempi. Proprieta'. Teorema di Darboux. Teorema: se f_n e' una successione di funzioni continue che converge uniformemente a f, allora l'integrale di f e' pari al limite degli integrali di fn (scambio del lim e int). Corollario: scambio della somma e dell'int. Teorema di Cauchy sul rettangolo (dim di Goursat). Validita' del teorema di Cauchy sul rettangolo anche in presenza di un numero finito di discontinuita' rimovibili all'interno del rettangolo stesso. Teorema di Cauchy per il disco, e Teorema di Cauchy per il disco in presenza di un numero finito di discontinuita' rimovibili all'interno del disco stesso. Primitiva. Domini multiplamente connessi e teorema di Cauchy. Indice di un punto rispetto ad una curva chiusa. Formula Integrale di Cauchy. Formula per la derivata prima ... derivata seconda. Formula integrale per la derivata ennesima. Teorema di Morera. Teorema di Liouville e teorema generale dell'algebra. Serie di Taylor. Funzioni analitiche monodrome con singolarita' isolate. Serie di Laurent. Integrali di funzioni con punti singolari isolati; integrali sulla circonferenza di raggio unitario; integrali con l'utilizzo della formula integrale di Cauchy; sviluppi di Taylor; sviluppi di Laurent. Definizione di residuo. Teorema dei residui. Ausili nel calcolo del residuo di funzioni con singolarita' polari. Lemma di Jordan. Teorema della media di Gauss. Lemma degli archi infinitesimi. Integrazione con i residui di integrali nei reali. Integrali di funzioni razionali di sen(t) e cos(t) nell'intervallo [0,2*Pi] e integrali sulla circonferenza di raggio unitario. Integrali sull'asse reale da -Infinity a +Infinity di funzioni limitate (e convergenti a 0) sul semicerchio in Im(z)+. Comportamento di f(z) nel punto all'infinito. Singolarita' isolata, singolarita' polare, essenziale. Residuo di f(z) nel punto all'infinito. Teorema dei residui con singolarita' isolate esterne al cammino di integrazione e nel punto all'infinito. Esempio di integrazione con punto singolare interno al cammino di integrazione. Esempio con punto singolare esterno. Integrali con i residui e integrali di Fourier (chiusura del cammino d'integrazione nel semi-piano superiore, Im(z)+, o inferiore, In(z)-. Trasformata di Fourier della Gaussiana; integrali di Fresnel; integrali con infinite singolarita' numerabili sull'asse immaginario. Integrazione su un cammino che passa da un punto con singolarita' di tipo polare: Valor Principale alla Cauchy. Integrali con cammino coincidente con una linea di diramazione. Prolungamento analitico. Teorema sull'annullamento di una funzione analitica nel suo dominio. Corollario sulla coincidenza di due funzioni analitiche e sul prolungamento analitico. Prolungamento per serie di potenze (alla Weierstrass). Funzioni monodrome e polidrome. Principio di riflessione di Schwartz. Prolungamento tramite rappresentazioni integrali. Gamma di Eulero.

"A Guide for Mathematical Methods for Physicists", M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni, World Scientific. "Appunti di Metodi Matematici della Fisica", Nino Zanghì, Università di Genova, online. "Metodi Matimatici della Fisica", F. Calogero (dispense) parte 1 parte 2 "Complex Analysis", L. V. Ahlfors, Mc Graw-Hill 1979. "Metodi Matematici della Fisica", C. Bernardini, O. Ragnisco, P. M. Santini, Carocci Editore, Roma, 2013. "Elementi di Analisi Complessa", C. Presilla, Springer, 2014. "Complex Analysis", S. Lang, Springer 1999. "Corso di Matematica Superiore", Smirnov, Editori Riuniti.

Numeri complessi e loro proprieta'. Funzioni analitiche. Funzioni polidrome. Integrazione nel campo complesso. Teorema e rappresentazione integrale di Cauchy. Teorema di Liouville e Morera. Teorema fondamentale dell'Algebra. Teorema del massimo modulo. Singolarita' e loro classificazione. Serie di Taylor e di Laurent. Teorema dei residui e sue applicazioni.

C. Bernardini, O. Ragnisco, P. M. Santini "Metodi Matematici della Fisica", Carocci, 2014. L. V. Ahlfors, "Complex Analysis", Mc Graw-Hill 1979. M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni, "A Guide to Mathematical Methods for Physicists", World Scientific. C. Presilla, "Elementi di Analisi Complessa" (2a edizione), Springer, UNITEXT 2014. F. Calogero, "Metodi Matematici della Fisica", Dispense Istituto di Fisica, Universita' di Roma, 1975.