Corso di laurea: Matematica Programmazione per l'A.A. 2020/2021

 

 

Lo studente espliciterà le proprie scelte al momento della presentazione, tramite INFOSTUD, del piano di completamento o del piano di studio individuale, secondo quanto stabilito dal regolamento didattico del corso di studio.

Generale

Primo anno

Primo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
L'esame è propedeutico a tutti gli insegnamenti del secondo e del terzo anno 97794 - CALCOLO I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire una conoscenza delle tecniche elementari del Calcolo Differenziale ed Integrale e delle principali applicazioni a problemi di massimo-minimo, allo studio del grafico di funzioni, alla convergenza delle serie numeriche, del calcolo delle primitive e degli integrali definiti. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito le nozioni e i risultati di base del Calcolo Differenziale ed Integrale con particolare attenzione ai concetti di funzione, limite di funzione, continuità, convergenza di serie numeriche, derivata ed integrale. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sara' in grado di risolvere semplici problemi del Calcolo Differenziale ed Integrale, quali il calcolo esplicito di derivate, il calcolo del massimo e minimo locale e globale di funzioni di una variabile, il disegno approssimativo del grafico di funzioni, il calcolo di integrali definiti ed indefiniti, la determinazione del carattere di una serie numerica.. Capacita' critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per utilizzare un grafico come strumento di analisi di una situazione concreta descrivibile matematicamente. Acquisirà anche gli strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici insieme a nozioni di base necessarie nei successivi corsi di analisi matematica, analisi numerica e fisica matematica. Capacita' comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso, relativo ad aspetti più avanzati del Calcolo Differenziale e al Calcolo Integrale. Canale: 2 - D'ANCONA PIERO ANTONIO (programma) Numeri: Numeri naturali, interi relativi e razionali, operazioni e ordinamento. Introduzione ai numeri reali. Estremo superiore ed estremo inferiore. Induzione e combinatoria. Funzioni reali di variabile reale: Definizione di funzione, esempi. Operazioni tra funzioni, composizione. Funzioni limitate, monotone, simmetrie e periodicità. Iniettività, suriettività, funzioni invertibili. Funzioni di base: potenze e radici, esponenziali e logaritmi, funzioni trigonometriche. Limiti: Limiti finiti al finito. Strumenti per il calcolo dei limiti. Limiti infiniti e/o all’infinito, forme indeterminate. Asintoti. Confronto tra infinitesimi e confronto tra infiniti, principi di sostituzione. Limiti di successioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Criterio di Cauchy. Caratterizzazione sequenziale dei limiti. Successioni monotone, il numero di Nepero. Successioni definite per ricorrenza. Serie numeriche. Serie a termini non negativi: regolarità, Criterio del confronto, Criterio del confronto asintotico, Criterio della radice e Criterio del rapporto. Convergenza semplice e assoluta, Criterio di Leibniz. Continuità: Definizione e prime proprietà. Classificazione delle discontinuità. Teorema di Weiestrass, Teorema degli zeri, Teorema dei valori intermedi. Calcolo differenziale: Definizione di derivata e strumenti di calcolo. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange e sue conseguenze dirette, proprietà di Darboux delle derivate, Teorema di Cauchy e di L’Hopital. Derivate successive e Formula di Taylor, convessità. Studio di funzioni. Integrali indefiniti: Primitive, integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Altri metodi di integrazione. Integrali definiti: Definizione e proprietà generali. Classi di funzioni integrabili. Teorema della Media Integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Alcune applicazioni del calcolo integrale. Integrali impropri.   Il testo di riferimento del corso e' disponibile e liberamente scaricabile dalla pagina web del docente. Il testo e' inoltre corredato da vari fogli di esercizi e da raccolte di prove tipo di esame. (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - ORSINA LUIGI (programma) - Numeri reali, successioni e serie - Limiti di funzioni - Funzioni continue e derivabili - Integrazione secondo Riemann   Appunti online (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA
AAF1101 - LINGUA INGLESE (obiettivi) Obiettivi generali: raggiungere il livello B1 relativo al Quadro Comune Europeo di riferimento per la conoscenza delle lingue. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le abilità linguistiche previste per il livello B1: • riesce a comprendere gli elementi principali di un discorso chiaro in lingua standard; • riesce a comprendere testi scritti relativi all’ambito lavorativo o alla sfera quotidiana; • è in grado di affrontare e partecipare a conversazioni familiari, relative alla vita quotidiana o di interesse personale attraverso semplici espressioni; • è in grado di scrivere testi semplici in merito a argomenti conosciuti e di interesse personale. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di conoscere le strutture grammaticali, il vocabolario e comprendere testi scritti e orali relativi al livello B1. Capacità critiche e di giudizio: lo studente sarà in grado di analizzare testi, scritti e orali, relativi al livello B1 in maniera autonoma. Capacità comunicative: lo studente sarà in grado di comunicare in modo semplice e indipendente in situazioni familiari, affrontare situazioni comunicative in un paese straniero e parlare di argomenti di interesse personale. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno allo studente di consolidarle in un corso successivo per raggiungere il livello B2. - DINDAR MERVE (programma) This course is designed for the intermediate level (B1) students of the Department of Mathematics. According to the Common European Framework of Reference for Languages (CEFR), the B1 Level refers to independent users of the language. B1 level students: • Can understand the main points of clear standard input on familiar matters regularly encountered in work, school, leisure, etc. • Can deal with most situations likely to arise whilst travelling in an area where the language is spoken. • Can produce simple connected text on topics which are familiar or of personal interest. • Can describe experiences and events, dreams, hopes and ambitions and briefly give reasons and explanations for opinions and plans. The aim of this course is to help students develop their language skills to be able to start to function effectively in a variety of written and spoken contexts in English. This is achieved through intensive language support based on grammar, vocabulary, and skills work as well as the use of theme-based and online learning materials.   Materials: Materials will be provided by the instructor each week in the form of pdfs, powerpoint presentations, and online materials. Some units from the coursebook will be used: English File B1/B1+ (4th Edition)Digital Gold Student’s Book + New eBook + Workbook/Latham-Koening C., Oxenden C., & Lambert K. Oxford University Press (Date degli appelli d'esame)	1    8  -  -  -  Per la prova finale e la lingua straniera (art.10, comma 5, lettera c)  2    16  -  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)							ITA
10589897 - LABORATORIO DI PROGRAMMAZIONE E CALCOLO (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire competenza di programmazione informatica in C/C++, che è uno dei linguaggi più utilizzato dagli sviluppatori, acquisire conoscenze di base in analisi numerica e applicare le abilità informatiche acquisite alla risoluzione di problemi matematici. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno una conoscenza di base della programmazione informatica, della aritmetica della macchina e saranno capaci di capire come strutturare algoritmi relativamente semplici per risolvere effettivamente problemi matematici. Gli studenti avranno anche acquisito le nozioni fondamentali sulla stabilità e la convergenza di metodi numerici elementari e la complessità degli algoritmi associati. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere attraverso algoritmi informatici adeguati, problemi matematici relativamente semplici. Sarà anche capace di progettare e implementare programmi informatici che interagiscano in modo appropriato con un potenziale utente. Potranno dare risposte a questioni semplici legate ad esempio a problemi di estrazione di informazioni a partire da un insieme di dati discreti, di calcolo di aree e di probabilità, di approssimazione della soluzione di sistemi lineari, di approssimazione di zeri di funzioni scalari non lineari. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare algoritmi matematici elementari dal punto di vista della efficienza computazionale, la stabilità e la accuratezza. Da una parte, sarà in grado di applicare le competenze appena acquisite nelle discipline di Calcolo I e Algebra lineare per analizzare metodi numerici elementari e da l’altrà potrà risolvere numericamente problemi proposti in queste discipline più teoriche attraverso algoritmi semplici. Sarà inoltre in grado di capire che spesso risultati matematici teorici devono essere riformulati per renderli utili nella pratica del calcolo in aritmetica finita. Capacità comunicative: capacità di esporre e motivare la risoluzione proposta a certi problemi scelti in classe alla lavagna, in sessioni scelte di esercitazioni in aula, e alla prova orale prevista alla fine del corso, svolta davanti al computer. Capacità di apprendimento: da una parte le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di Analisi numerica, relativo ad aspetti più specialistici e che richiedono ulteriori conoscenze matematiche. Da l’altra parte lo studente dovrà prendere familiarità e praticità con diversi elementi informatici come il linguaggio di programmazione informatica, le librerie, i compilatori, i diversi software disponibili in rete che offrono un intorno di sviluppo integrato sotto diversi sistemi operativi, etc. Queste abilità gli permetteranno sicuramente di imparare con più facilità l’utilizzo di altri software di interesse per il calcolo scientifico e il mondo del lavoro. Canale: 1 - NOSCHESE SILVIA (programma) Introduzione alla programmazione (30 ore in aula e 12 in laboratorio ) Aritmetica della macchina, nozione e propagazione degli errori Algoritmi: Costo computazionale ed efficienza Programmazione in pseudocodice e introduzione alle istruzioni per il controllo del flusso Compilatori e ambienti di sviluppo integrato Struttura di base dei programmi in C Variabili, tipo, istruzioni di INPUT/OUTPUT Operatori aritmetici, cicli Operatori relazionali, logici, espressioni condizionali Libreria math.h Linee di guida per lavorare in ambiente Linux Arrays e allocazione della memoria Ordinamento di vettori Funzioni C++ Visualizzazione grafica di funzioni e dati Introduzione all’Analisi Numerica (30 ore in aula e 12 in laboratorio) Metodo di eliminazione di Gauss Metodo di Jacobi Metodi iterativi per equazioni scalari non lineari Introduzione alla interpolazione polinomiale Introduzione alla quadratura numerica   Nella pagina e-learning del corso sarà reso disponibile materiale didattico relativo agli argomenti delle lezioni. (Date degli appelli d'esame) - PUPPO GABRIELLA ANNA (programma) Introduzione alla programmazione (30 ore in aula e 15 in laboratorio ) Aritmetica della macchina, nozione e propagazione degli errori Algoritmi: Costo computazionale ed efficienza Programmazione in pseudocodice e introduzione alle istruzioni per il controllo del flusso Compilatori e ambienti di sviluppo integrato Struttura di base dei programmi in C Variabili, tipo, istruzioni di INPUT/OUTPUT Operatori aritmetici, cicli Operatori relazionali, logici, espressioni condizionali Libreria math.h Linee di guida per lavorare in ambiente Linux Arrays e allocazione della memoria Ordinamento di vettori Funzioni C++ Visualizzazione grafica di funzioni e dati Introduzione all’Analisi Numerica (30 ore in aula e 15 in laboratorio) Metodo di eliminazione di Gauss Metodo di Jacobi Metodi iterativi per equazioni scalari non lineari Introduzione alla interpolazione polinomiale Introduzione alla quadratura numerica   1. Luis J. Aguilar, “Fondamenti di programmazione in C++”. McGraw-Hill, 2008. 2. Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie, “Linguaggio C”. 3. W. Gautschi, “Numerical analysis. An introduction”. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1997. 4. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, “Matematica Numerica”. Springer-Collana, 2000. Nella pagina e-learning del corso sarà reso disponibile materiale didattico relativo agli argomenti delle lezioni. Canale: 2 - FALCONE MAURIZIO (programma) Introduzione alla programmazione (28 ore in aula e 12 in laboratorio ) Aritmetica della macchina, nozione e propagazione degli errori Algoritmi: Costo computazionale ed efficienza Programmazione in pseudocodice e introduzione alle istruzioni per il controllo del flusso Compilatori e ambienti di sviluppo integrato Struttura di base dei programmi in C Variabili, tipo, istruzioni di INPUT/OUTPUT Operatori aritmetici, cicli Operatori relazionali, logici, espressioni condizionali Libreria math.h Linee di guida per lavorare in ambiente Linux Arrays e allocazione della memoria Ordinamento di vettori Funzioni C++ Visualizzazione grafica di funzioni e dati Introduzione all’Analisi Numerica (30 ore in aula e 14 in laboratorio) Metodo di eliminazione di Gauss Metodo di Jacobi Metodi iterativi per equazioni scalari non lineari Introduzione alla interpolazione polinomiale Introduzione alla quadratura numerica   Testi 1. Luis J. Aguilar, “Fondamenti di programmazione in C++”. McGraw-Hill, 2008. 2. Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie, “Linguaggio C”. 3. W. Gautschi, “Numerical analysis. An introduction”. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1997. 4. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, “Matematica Numerica”. Springer-Collana, 2000. Nella pagina e-learning del corso sarà reso disponibile materiale didattico relativo agli argomenti delle lezioni. (Date degli appelli d'esame) - Saluzzi Luca	9	INF/01	48	36	-	-	Attività formative affini ed integrative	ITA
97786 - ALGEBRA LINEARE (obiettivi) Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base sui sistemi lineari, sugli spazi vettoriali e sulle applicazioni lineari. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla risoluzione di sistemi lineari e all'interpretazione geometrica delle loro soluzioni, al calcolo matriciale, alla teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra essi, con particolare attenzione al caso degli endomorfismi di uno spazio vettoriale e delle decomposizioni in autospazi ad essi associate. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere sistemi di equazioni lineari un un arbitrario numero (finito) di variabili, di riconoscere problemi matematici rappresentati da applicazioni lineari tra spazi vettoriali e utilizzare questo fatto per la loro risoluzione; sarà in grado di operare con le matrici e di stabilire la risolubilità di un sistema lineare e l'invertibilità di un'applicazione lineare mediante considerazioni sul rango e mediante il calcolo del determinante delle matrici associate; inoltre sarà in grado di calcolare gli autovalori di un endomorfismo lineare e determinare la decomposizione in autospazi ad esso associata; acquisirà inoltre i primi rudimenti di strutture algebriche fondamanetali che saranno poi approfondite nei corsi successivi, come ad esempio, il concetto di gruppo. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di teoria dei gruppi (che vedrà nel corso di Algebra 1), funzioni reali più variabili (che vedrà nel corso di Analisi 2), geometria delle quadriche e dello spazio proiettivo (che vedrà nel corso di Geometria 1). Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici della teoria degli operatori lineari non più limitati al caso di dimensione finita, di quella delle famiglie di spazi vettoriali (fibrati vettoriali) e di quella delle decomposioni in autospazi relativa ad algebre commutative di endomorfismi (la teoria dei sistemi di radici). Canale: 1 - O'GRADY KIERAN GREGORY (programma) Insiemi, funzioni, relazioni, induzione matematica. Gruppi e azioni di gruppi. Anelli, campi. Spazi vettoriali, dipendenza lineare, basi. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari, isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Duale di uno spazio vettoriale. Spazi affini. Applicazioni affini. Coordinate affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Applicazioni multilineari. Determinanti. Formula di Binet, sviluppo di Laplace. Endomorfismi, autovalori, autospazi, polinomio caratteristico. Matrici coniugate, matrici diagonalizzabili. Prodotto scalare euclideo su uno spazio vettoriale reale, basi ON, proiezione ortogonale, algoritmo di Gram-Schmidt. Prodotto scalare hermitiano su uno spazio vettoriale complesso. Gruppo ortogonale e unitario. Spazi affini euclidei (di dimensione finita). Isometrie. Classificazione delle isometrie in dimensione bassa. Gruppi discreti di isometrie di un piano euclideo.   Testo (pdf) del docente disponibile in rete. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - BANDIERA RUGGERO (programma) Insiemi, funzioni, relazioni, induzione matematica. Numeri complessi. Anelli, campi. Spazi vettoriali, dipendenza lineare, basi. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari, isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Duale di uno spazio vettoriale. Spazi affini. Applicazioni affini. Coordinate affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Applicazioni multilineari. Determinanti. Formula di Binet, sviluppo di Laplace. Endomorfismi, autovalori, autospazi, polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton. Matrici coniugate, matrici diagonalizzabili. Prodotto scalare euclideo su uno spazio vettoriale reale, basi ON, proiezione ortogonale, algoritmo di Gram-Schmidt. Prodotto scalare hermitiano su uno spazio vettoriale complesso. Gruppo ortogonale e unitario. Spazi affini euclidei (di dimensione finita). Isometrie.   - Dispense online del prof. O'Grady. - Dispense online del prof. Manetti. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/03	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA

Secondo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1015374 - ANALISI MATEMATICA I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze che consentano di estendere le conoscenze precedentemente acquisite di Analisi Matematica in una variabile al caso multidimensionale e a qualche spazio funzionale. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito la capacita’ di comprendere costruzioni analitiche nel caso ci siano piu’ variabili indipendenti. Lo studente avra’ anche familiarizzato con la nozione di uniformita’. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere problemi che richiedano l’uso del calcolo differenziale e integrale in spazi multidimensionali. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le nozioni per continuare il suo percorso in Analisi Matematica affrontando i corsi superiori. . Capacità comunicative: capacità di esporre i concetti studiati sia in forma scritta che in forma orale. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di perfezionare le capacità logiche e di apprendimento. Canale: 1 - MONTEFUSCO EUGENIO (programma) Il programma del corso è ripartito approssimativamente in tre blocchi didattici, di durata compresa tra le 3 e le 4 settimane di corso. Ogni unità didattica comprende una parte di teoria e le relative sessioni di esercitazioni come lezioni frontali, circa un terzo delle lezioni sarà svolto con le modalità della lezione capovolta (flipped lectures). Durante lo svolgimento delle lezioni sarà data particolare attenzione allo sviluppo delle seguenti competenze: formalizzazione del ragionamento astratto, capacità di analisi e sintesi, risolvere problemi, comunicazione orale e scritta. Spazi metrici (30h). Definizione di spazio metrico ed esempi. Metrica discreta, metrica euclidea e altre metriche in R, Q, R^D . Gli spazi l^p , C^0 e C^1. Successioni in spazi metrici: successioni convergenti, successioni di Cauchy, completezza e completamento. Completezza di C(X,Y), definizione di R come completamento di Q, non completezza di C^0 con metrica integrale. Successioni definite per ricorrenza e teorema delle contrazioni. Topologia negli spazi metrici: insiemi aperti, chiusi; compattezza e compattezza per successioni (teorema di caratterizzazione), teorema di Heine-Borel; connessione. Funzioni continue fra spazi metrici, teorema di Weierstrass, semicontinuità, uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor. Continuità di funzioni in più variabili reali, esempi di continuità e discontinuità, coordinate polari. Derivate parziali e direzionali, differenziabilità e piano tangente: teorema del differenziale totale. Successioni e serie di funzioni (30h). Convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme di funzioni continue e risultati di passaggio al limite sotto al segno di integrale e di derivata. Criterio di Cauchy uniforme per le serie di funzioni. Convergenza totale e criterio di Weierstrass. Teoremi di integrazione e derivazione per serie. Compattezza in C^0, equilipschitzianità, equicontinuità ed equilimitatezza di famiglie di funzioni continue, teorema di Ascoli-Arzelà. Serie di potenze in campo reale e complesso, raggio di convergenza, convergenza sul bordo. Sviluppo di Taylor e serie di Taylor, funzioni analitiche reali. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel, lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet, convergenza uniforme e identità di Parseval. Lo spazio di Hilbert l^2. Equazioni differenziali (30h). Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili. Intervallo massimale di definizione e teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, struttura dell’insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee e non omogenee. Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti.   Note a cura del docente, N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 2, W. Rudin, Principi di Analisi Matematica. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - SPADARO EMANUELE NUNZIO (programma) Il programma del corso è ripartito approssimativamente in tre blocchi didattici, di durata compresa tra le 3 e le 4 settimane di corso. Ogni unità didattica comprende una parte di teoria e le relative sessioni di esercitazioni come lezioni frontali, circa un terzo delle lezioni sarà svolto con le modalità della lezione capovolta (flipped lectures). Durante lo svolgimento delle lezioni sarà data particolare attenzione allo sviluppo delle seguenti competenze: formalizzazione del ragionamento astratto, capacità di analisi e sintesi, risolvere problemi, comunicazione orale e scritta. Spazi metrici (30h). Definizione di spazio metrico ed esempi. Metrica discreta, metrica euclidea e altre metriche in R, Q, R^D . Gli spazi l^p , C^0 e C^1. Successioni in spazi metrici: successioni convergenti, successioni di Cauchy, completezza e completamento. Completezza di C(X,Y), definizione di R come completamento di Q, non completezza di C^0 con metrica integrale. Successioni definite per ricorrenza e teorema delle contrazioni. Topologia negli spazi metrici: insiemi aperti, chiusi; compattezza e compattezza per successioni (teorema di caratterizzazione), teorema di Heine-Borel; connessione. Funzioni continue fra spazi metrici, teorema di Weierstrass, semicontinuità, uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor. Continuità di funzioni in più variabili reali, esempi di continuità e discontinuità, coordinate polari. Derivate parziali e direzionali, differenziabilità e piano tangente: teorema del differenziale totale. Successioni e serie di funzioni (30h). Convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme di funzioni continue e risultati di passaggio al limite sotto al segno di integrale e di derivata. Criterio di Cauchy uniforme per le serie di funzioni. Convergenza totale e criterio di Weierstrass. Teoremi di integrazione e derivazione per serie. Compattezza in C^0, equilipschitzianità, equicontinuità ed equilimitatezza di famiglie di funzioni continue, teorema di Ascoli-Arzelà. Serie di potenze in campo reale e complesso, raggio di convergenza, convergenza sul bordo. Sviluppo di Taylor e serie di Taylor, funzioni analitiche reali. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel, lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet, convergenza uniforme e identità di Parseval. Lo spazio di Hilbert l^2. Equazioni differenziali (30h). Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili. Intervallo massimale di definizione e teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, struttura dell’insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee e non omogenee. Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti.   Note a cura del docente, N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 2, W. Rudin, Principi di Analisi Matematica. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA
1022430 - PROBABILITA' I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base nella teoria della probabilità. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria della probabilità su spazi finiti e numerabili, al concetto di vettore aleatorio discreto e al concetto di variabile aleatoria continua. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di probabilità discreta, problemi inerenti vettori casuali discreti e numeri casuali rappresentati da variabili aleatorie continue. Lo studente sarà anche in grado di apprezzare il significato e le implicazioni dell`indipendenza e del condizionamento (nell’ambito di modelli discreti), comprendere il significato di alcuni teoremi limite fondamentali, quali la legge dei grandi numeri. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di analisi e combinatoria (acquisiti nei corsi di Calcolo e trattati nel corso di Analisi Matematica 1). Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso relativo ad aspetti più specialistici di teoria della probabilità. Canale: 2 - ISOPI MARCO (programma) esercizi di probabilità   F. Caravenna, P. Dai Pra: Probabilità (Springer) S. Ross: Probabilità. (Apogeo) F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti) - NAPPO GIOVANNA (programma) - Introduzione alla teoria della probabilità. Assiomi e regole di corrispondenza. - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione. Coefficienti binomiali e multinomiali. - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti. Schemi di Bernoulli. - Distribuzione binomiale, multinomiale e ipergeometrica. - Probabilità condizionate. Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes. - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità. - Passeggiata aleatoria. Problema della rovina del giocatore. - Variabili aleatorie discrete: distribuzione, valore atteso, varianza e covarianza. - Variabili aleatorie indipendenti. - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali. - Variabile geometrica e sua perdita di memoria, variabile binomiale negativa. - Somma di variabili aleatorie indipendenti. - Variabile di Poisson come limite di binomiali. - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate. - Diseguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri. - Valore atteso condizionato e sua interpretazione geometrica. - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore atteso e varianza. - Variabile aleatoria uniforme. Rappresentazione di Skorohod. - Variabile esponenziale come limite di geometriche. - Variabili aleatorie gaussiane. Teorema di De Moivre Laplace sull'approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana. Il programma verrà svolto insieme al Prof. Isopi (per 6/7 dalla Prof. Nappo e 1/7 dal Prof. Isopi)   F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti disponibili sul sito e-learning del corso) F. Caravenna, P. Dai Pra: Probabilità (Springer) S. Ross: Probabilità. (Apogeo) Altro materiale didattico sarà a disposizione sulla piattaforma e-learning "Sapienza" con Moodle (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - BERTINI MALGARINI LORENZO (programma) https://www.mat.uniroma1.it/people/bertini/ama/didattica/probab1/   https://www.mat.uniroma1.it/people/bertini/ama/didattica/probab1/ (Date degli appelli d'esame) - SILVESTRI VITTORIA (programma) Fare riferimento alla scheda del Prof. Lorenzo Bertini per lo stesso corso.   Fare riferimento alla scheda del Prof. Lorenzo Bertini per lo stesso corso.	9	MAT/06	48	36	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1022431 - GEOMETRIA I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire le tecniche di diagonalizzazione delle forme quadratiche e conoscenze di base di geometria affine, euclidea e proiettiva. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito i risultati di base sulla diagonalizzabilità delle forme quadratiche e degli operatori simmetrici, e le nozioni elementari di geometria affine, euclidea e proiettiva, e delle trasformazioni naturali in ciascuno di questi ambiti. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso della diagonalizzabilità delle forme quadratiche, e di risolvere problemi elementari di geometria affine, euclidea e proiettiva. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà acquisito la maturità necessaria a riconoscere le strette relazioni tra algebra lineare e geometria, con riferimento in particolar modo a quanto acquisito nel primo corso di Algebra Lineare; avrà inoltre acquisito gli strumenti per formulare e risolvere in un linguaggio moderno problemi classici della geometria. Capacità comunicative: capacità di esporre con chiarezza le nozioni, definizioni, teoremi e soluzioni di problemi durante la parte scritta e la parte orale dell’esame. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare con sicurezza lo studio successivo di teorie geometriche più astratte e tecniche quali la topologia e la geometria differenziale. Canale: 1 - SAMBUSETTI ANDREA (programma) Prima parte: geometria affine e euclidea. - Forme quadratiche e teorema spettrale. - Spazi e sottospazi affini, euclidei e hermitiani. - Applicazioni affini, endomorfismi ortogonali/unitari, endomorfismi simmetrici/hermitiani, classificazione. - Gruppi di trasformazioni lineari, affini, euclidee e unitarie. - Esercizi ed esempi: disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare, formula di Fourier; proprietà di incidenza di sottospazi; traslazioni, omotetie, collineazioni, similitudini, isometrie, riflessioni, rotazioni, proiezioni ecc.; gruppi di simmetrie. Seconda parte: coniche e quadriche. - Coniche e quadriche affini (reali e complesse) ed euclidee. - Invarianti affini e euclidei, teoremi di classificazione affine ed euclidea. - Esercizi ed esempi: parametrizzazione di coniche e quadriche, coni e cilindri, intersezioni con piani, proprietà focali, riduzione esplicita affine e metrica, uso del teorema spettrale ecc. Terza parte: geometria proiettiva. - Spazio proiettivo, motivazioni e modelli. - Punti all'infinito di sottospazi affini e quadriche, omogeneizzazione e de-omogeneizzazione di equazioni; parte affine di un sottoinsieme proiettivo. - Sottospazi proiettivi e loro dimensione; rette, piani, iperpiani; equazioni cartesiane, relazione tra equazioni e dimensione, formula di Grassmann proiettiva. - Punti in posizione generale, riferimenti proiettivi, coordinate omogenee, cambi di coordinate proiettive, proiettività e relazione con le affinità; proiezioni centrali, teorema di Desargues. - Coniche e quadriche proiettive.   - Sernesi, Geometria 1 (Boringhieri) - Fortuna-Frigerio-Pardini, Geometria proiettiva: problemi risolti e richiami di teoria (Springer) - fogli di esercizidel docente, disponibili on-line settimanalmente. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - PAPI PAOLO (programma) 1. Complementi di Algebra Lineare: 1.1 forme bilineari simmetriche e teorema di Sylvester 1.2 forme hermitiane 1.3 teoremi spettrali per operatori autoaggiunti 1.4 operatori unitari 2. Spazi affini e Spazi euclidei. 3. Gruppo delle Affinita` e Gruppo delle Isometrie. 4. Geometria proiettiva: 4.1 spazi proiettivi, sottospazi, spazi proiettivi e spazi affini. 4.2 proiettivita` 4.3 invariati proiettivi; birapporto. 5. Classificazione proiettiva, affine ed euclidea delle coniche e delle quadriche. 6. Curve algebriche: fondamenti, studio locale, singolarità.   Edoardo Sernesi, Geometria 1, Ed. Boringhieri, Seconda Edizione. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/03	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA

Secondo anno

Primo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1015376 - ANALISI MATEMATICA II (obiettivi) Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire i principali strumenti dell’Analisi Matematica riguardanti le funzioni di più variabili reali. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: gli studenti che supereranno l'esame di fine corso avranno una conoscenza approfondita dei principali concetti dell'analisi matematica relativi a funzioni di più variabili, con particolare attenzione al calcolo differenziale, all'invertibilità, alla teoria dell'integrazione, ai risultati di integrabilità di forme differenziali, a teoremi fondamentali, quali quello della divergenza e di Stokes . Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che supereranno l'esame di fine corso saranno in grado di applicare varie tecniche di calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili. In particolare saranno in grado di calcolare integrali di funzioni di due e tre variabili, e applicare le tecniche del calcolo alla soluzione di vari tipi di problemi quali ad esempio la ricerca di massimi e minimi vincolati e non, il calcolo della primitiva di una forma differenziale o l'area di una superficie. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e quelli relativi alla teoria delle funzioni di una sola variabile reale (acquisiti nel corso di Calcolo I) e alla teoria generale degli spazi metrici (acquisiti nel corso di Analisi I); avrà anche un primo approccio alla teoria della misura che verrà approfondita nel successivo corso di Analisi Reale. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici di teoria della misura e spazi funzionali. Canale: 2 - GARRONI ADRIANA (programma) Curve parametriche Funzioni, limiti e continuità. Calcolo differenziale per funzioni scalari di più variabili. Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali. Calcolo differenziale per funzioni complesse. Integrali curvilinei, forme differenziali e campi vettoriali. Integrali doppi e formule di Gauss-Green. Integrali complessi, singolarità e residui. Integrali di superficie, Teorema di Stokes e Teorema della divergenza   Sulla pagina e-learning del corso saranno rese disponibili sia note del corso che materiale didattico relativo agli esercizi. Fusco Marcellini Sbordone: Lezioni di Analisi matematica due. Zanichelli Pagani Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - MALUSA ANNALISA (programma) Curve parametriche Funzioni, limiti e continuità. Calcolo differenziale per funzioni scalari di più variabili. Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali. Calcolo differenziale per funzioni complesse. Integrali curvilinei, forme differenziali e campi vettoriali. Integrali doppi e formule di Gauss-Green. Integrali complessi, singolarità e residui. Integrali di superficie, Teorema di Stokes e Teorema della divergenza   Sulla pagina elearning del corso saranno rese disponibili sia note del corso che materiale didattico relativo agli esercizi. Fusco Marcellini Sbordone: Lezioni di Analisi matematica due. Zanichelli Pagani Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1035136 - FISICA GENERALE I (obiettivi) Introduzione ai concetti fondamentali della Meccanica e della Termodinamica. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare argomenti di base concernenti la meccanica e la termodinamica, avendo raggiunto una buona familiarita' con concetti fondamentali quali lavoro, energia e leggi di conservazione. Saranno inoltre in grado di affrontare e risolvere problemi di meccanica e termodinamica applicando le principali leggi della Fisica. Per ottenere tali finalita', e affinche' lo studente sviluppi le capacita' di comunicare quanto appreso e di proseguire lo studio in modo autonomo, si intende coinvolgerlo, durante le lezioni ed esercitazioni, attraverso quesiti di natura generale e specifica, legati agli argomenti trattati e attraverso la presentazione, in aula, di approfondimenti concordati col docente. Canale: 2 - FELICI MARCO (programma) MECCANICA Cinematica e Dinamica del punto materiale - Il metodo scientifico, definizione operativa delle grandezze fisiche, sistemi di unità di misura ed equazioni dimensionali. - Elementi di calcolo vettoriale: somma, differenza di vettori. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. - Cinematica: traiettoria, velocità e accelerazione (MEDIA ed ISTANTANEA); o Moto rettilineo uniforme. o Moto uniformemente accelerato. o Moto circolare uniforme. o Moto circolare accelerato. o Moto vario. o Accelerazione di gravità. - Dinamica del punto materiale: o Sistemi di riferimento inerziali. o Principio di inerzia. o Forza ed accelerazione, leggi di Newton. o Quantità di Moto, Teorema dell’impulso. o Esempi di forze: forze di contatto, reazioni vincolari, attrito resistenza del mezzo, forza elastica. o Sistemi non inerziali: forze apparenti. - Lavoro, Energia cinetica, teorema dell’energia cinetica. - Campi conservativi, Energia potenziale. - Conservazione dell’energia meccanica. Moto in un campo conservativo, punti di equilibrio. - Moti armonici: Periodo, Frequenza, Energia dell’oscillatore. o Pendolo Semplice. o Molla in 1 dimensione. o Oscillatore forzato e smorzato. - Elementi di dinamica della rotazione: o Momento di una forza. o Momento Angolare. o Energia cinetica rotazionale. - Forza gravitazionale, moto nel campo gravitazionale, leggi di Keplero. Cinematica e Dinamica dei sistemi - Definizione di sistema fisico, leggi fondamentali. - Definizione del centro di massa. - I Equazione cardinale: teorema del moto del centro di massa. - Sistemi Isolati: considerazioni sul significato del momento angolare. - Urti di due punti materiali, urti elastici ed anelastici, Impulso scambiato. - Dinamica Rotazionale: momento angolare del sistema, teorema del momento angolare (II Equazione Cardinale). - Corpo rigido: definizione, condizione di equilibrio. - Momento di inerzia e rotazione attorno ad un asse fisso; corpo girevole attorno ad un asse fisso. - Leggi di conservazione del moto del corpo rigido. TERMODINAMICA - Grandezze termodinamiche: P,V,T. Equilibrio termodinamico, temperatura (principio zero). - Gas e loro proprietà, gas perfetti. Equazione di stato dei gas perfetti. - Teoria cinetica dei gas: pressione, energia cinetica media e temperatura, concetto di equipartizione dell’energia. - Calore, capacità termica e calore specifico. - Trasformazioni termodinamiche, reversibilità, lavoro termodinamico. - Primo principio della termodinamica, energia interna. - Trasformazioni isobare, isocore, isoterme e adiabatiche. Calori specifici dei gas. - Cicli termodinamici, macchine termiche e loro rendimento. Ciclo di Carnot. - Secondo principio della termodinamica. - Teorema di Carnot, disuguaglianza di Clausius, entropia. Calcolo di variazioni di entropia. Interpretazione microscopica dell’entropia.   C. Mencuccini, V. Silvestrini FISICA Meccanica e Termodinamica Casa Ed. Ambrosiana P. Mazzoldi - M. Nigro - C. Voci Fisica Vol. I - Meccanica e termodinamica EdiSES Sarà distribuito materiale didattico relativo agli esercizi. (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - BALDASSARRE LEONETTA (programma) MECCANICA Cinematica e Dinamica del punto materiale - Il metodo scientifico, definizione operativa delle grandezze fisiche, sistemi di unità di misura ed equazioni dimensionali - Elementi di calcolo vettoriale: somma, differenza di vettori. Prodotto scalare e prodotto vettoriale - Cinematica: traiettoria, velocità e accelerazione (MEDIA ed ISTANTANEA); o Moto rettilineo uniforme o Moto uniformemente accelerato o Moto circolare uniforme o Moto circolare accelerato o Moto vario o Accelerazione di gravità - Dinamica del punto materiale: o Sistemi di riferimento inerziali o Principio di inerzia o Forza ed accelerazione, leggi di Newton o Quantità di Moto, Teorema dell’impulso o Esempi di forze: forze di contatto, reazioni vincolari, attrito resistenza del mezzo, forza elastica. o Sistemi non inerziali: forze apparenti - Lavoro, Energia cinetica, teorema dell’energia cinetica - Campi conservativi, Energia potenziale - Conservazione dell’energia meccanica. Moto in un campo conservativo, punti di equilibrio - Moti armonici: Periodo, Frequenza, Energia dell’oscillatore o Pendolo Semplice o Molla in 1 dimensione o Oscillatore forzato e smorzato - Elementi di dinamica della rotazione: o Momento di una forza o Momento Angolare o Energia cinetica rotazionale - Forza gravitazionale, moto nel campo gravitazionale, leggi di Keplero Cinematica e Dinamica dei sistemi - Definizione di sistema fisico, leggi fondamentali - Definizione del centro di massa - I Equazione cardinale: teorema del moto del centro di massa - Sistemi Isolati: considerazioni sul significato del momento angolare - Urti di due punti materiali, urti elastici ed anelastici, Impulso scambiato - Dinamica Rotazionale: momento angolare del sistema, teorema del momento angolare (II Equazione Cardinale) - Corpo rigido: definizione, condizione di equilibrio. - Momento di inerzia e rotazione attorno ad un asse fisso; corpo girevole attorno ad un asse fisso - Leggi di conservazione del moto del corpo rigido. TERMODINAMICA - Grandezze termodinamiche: P,V,T. Equilibrio termodinamico, temperatura (principio zero). - Gas e loro proprietà, gas perfetti. Equazione di stato dei gas perfetti. - Teoria cinetica dei gas: pressione, energia cinetica media e temperatura, concetto di equipartizione dell’energia. - Calore, capacità termica e calore specifico. - Trasformazioni termodinamiche, reversibilità, lavoro termodinamico. - Primo principio della termodinamica, energia interna. - Trasformazioni isobare, isocore, isoterme e adiabatiche. Calori specifici dei gas. - Cicli termodinamici, macchine termiche e loro rendimento. Ciclo di Carnot. - Secondo principio della termodinamica. - Teorema di Carnot, disuguaglianza di Clausius, entropia. Calcolo di variazioni di entropia. Interpretazione microscopica dell’entropia.   C. Mencuccini, V. Silvestrini FISICA Meccanica e Termodinamica Casa Ed. Ambrosiana P. Mazzoldi - M. Nigro - C. Voci Fisica Vol. I - Meccanica e termodinamica EdiSES Sarà distribuito materiale didattico relativo agli esercizi. (Date degli appelli d'esame)	9	FIS/02	50	40	-	-	Attività formative di base	ITA
1051667 - ALGEBRA I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire le conoscenze di base dell’Algebra. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a: 1) Aritmetica modulare. 2) Teoria dei Gruppi. 3) Teoria degli Anelli. 4) Teoria dei campi e loro estensioni. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di maneggiare in maniera autonoma le tecniche iniziali dell’Algebra astratta e di risolvere semplici problemi nell’ambito delle nozioni acquisite. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni con nozioni acquisite nei corsi del primo anno con particolare riferimento a argomenti concernenti l’algebra lineare e la risoluzione di equazioni algebriche nel campo reale e complesso. Capacità comunicative: Il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee e i contenuti esposti nel corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso successivo al fine di acquisire nozione più avanzate relative alle principali strutture algebriche. Canale: 1 - SPINELLI ERNESTO (programma) Prima parte. Aritmetica su Z e modulare Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica. Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA. Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley. Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti. Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione. Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni. Terza parte. Elementi di teoria degli anelli Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili. Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x]. Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio. Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche. Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo). Cenni di teoria di Galois in caratteristica zero.   Herstein, Algebra (Date degli appelli d'esame) - PIRISI ROBERTO Canale: 2 - D'ANDREA ALESSANDRO (programma) Insiemi, applicazioni, cardinalità. Relazioni di equivalenza, insieme quoziente. Teoremi di Cantor. Numeri naturali e principio di induzione. Divisione euclidea. Algoritmo euclideo per il calcolo del MCD. Divisibilità. Primalità e irriducibilità. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Radici razionali di numeri razionali. Irrazionalità di radice di 2. I numeri primi sono infiniti. Esistono infiniti primi della forma 4n-1. Crivello di Eratostene. Struttura di anello di Z/(n). Congruenze e Teorema cinese dei resti. Piccolo teorema di Fermat. Teorema di Cauchy per gruppi abeliani finiti. Funzione toziente di Eulero. Anelli e omomorfismi. Sottoanelli, ideali. Somma e intersezione di ideali; ideali principali. Ideali in Z e divisibilità. Anelli quoziente. Teoremi di omomorfismo per anelli. Ideali primi e massimali. Domini euclidei: polinomi a coefficienti in un campo; interi di Gauss. Fattorizzazione unica in domini euclidei. Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. Campo delle frazioni di un dominio d'integrità. Fattorizzazione unica in R[x], se R è un dominio a fattorizzazione unica. Irriducibilità di polinomi in Z[x]. Fattorizzazione unica in Z[i] e primi di Gauss. Teorema dei due quadrati. Esistono infiniti primi in Z della forma 4n+1. Fattorizzazione unica in domini a ideali principali. Classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati (e dei moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali). Gruppi non abeliani. Gruppi ciclici, diedrali, simmetrici, alterni. Gruppi lineari. Congruenza modulo un sottogruppo e sottogruppi normali. Teoremi di Lagrange e di Cauchy. Omomorfismi di gruppi. Gruppi quoziente e teoremi di omomorfismo. Teorema di Cayley. Azioni di gruppi su insiemi. Orbita e stabilizzatore. Relazione di coniugio e classi coniugate. Centro di un gruppo e centralizzatore di un elemento. Nilpotenza dei p-gruppi finiti. Teoremi di Sylow. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo. Automorfismi di gruppi e automorfismi interni. Prodotti diretti e semidiretti di gruppi. Semplicità dei gruppi alterni. Automorfismi dei gruppi ciclici finiti. Applicazioni. Estensioni di campi. Estensioni algebriche e trascendenti. Estensioni finite e grado di un'estensione. Polinomio minimo di un algebrico. Campi finiti. Estensioni separabili e inseparabili. Argomenti scelti: cenni di Teoria di Galois; esistenza della chiusura algebrica di un campo; reciprocità quadratica; polinomi simmetrici.   I. N. Herstein "Algebra" M. Artin "Algebra" Appunti del docente (Date degli appelli d'esame)	9  MAT/02  40  50  -  -  Attività formative di base  3  MAT/02  30  -  -  -  Attività formative caratterizzanti							ITA
Gruppo opzionale: Abilità informatiche - (visualizza) 3                AAF1299 - MATLAB (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire competenza di programmazione informatica in Matlab, che è uno dei linguaggi più utilizzato nella calcolo numerico, e applicare le abilità informatiche acquisite alla risoluzione di alcuni problemi matematici e per la grafica di dati e funzioni. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di implementare algoritmi per la risoluzione di metodi numerici e per la grafica di funzioni e dati utilizzando il software Matlab. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti saranno in grado sviluppare in ambiente Matlab programmi per risolvere problemi formulati con algoritmi implementabili al calcolatore. Saranno in grado di strutturare un programma in funzioni e utilizzare le principali function proprie di Matlab. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare algoritmi matematici elementari e strutturarli con una programmazione vettoriale, struttura più efficente in ambiente Matlab dal punto di vista della efficienza computazionale. Sarà in grado di risolvere tramite programmi matlab alcuni problemi matematici analizzati nelle discipline di Calcolo I e Algebra lineare. Capacità comunicative: capacità di descrivere, tramite algoritmi scritti con linguaggio matlab, la soluzione di alcuni problemi scelti durante le esercitazioni in laboratorio e alla prova scritta prevista alla fine del corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio di problemi che richiedono capacita' di programmazione scientifica o di rappresentazione grafica di funzioni e dati. Canale: 1 - PUPPO GABRIELLA ANNA (programma) Il workspace di Matlab e lo help online Variabili e arrays Cicli di controllo (if, for, while...) Costruzione di scripts e functions Utilizzo delle funzioni native di Matlab Grafica Messaggi di errore e debugging   D. Higham and N. Higham Matlab guide SIAM (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - NOSCHESE SILVIA (programma) Introduzione a MATLAB Tipi di Variabili e aritmetica floating point. Costruzione di array, accesso alle componenti e a blocchi di componenti. Operazioni tra array. Costruzione di una matrice, accesso alle componenti e a blocchi di componenti. Comandi principali per operare con matrici. Programmazione Cicli for e while. Comandi if. Costruzioni di function e script. Debugging. Implementazione di algoritmi per la soluzione numerica di problemi matematici. Visualizzazione Grafica 2d e 3d.   MATLAB. The Language of Technical Computing (documentazione fornita da MATLAB) (Date degli appelli d'esame) 3    -  36  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)  ITA AAF1276 - SISTEMI OPERATIVI (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base sull'uso di software matematici (Mathematica e GAP) per lo studio di strutture algebriche discrete. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente che avrà superato l'esame avrà acquisito la capacità di utilizzare un software matematico orientato allo studio di strutture algebriche discrete. In particolare sarà in grado di rappresentare, disegnare e generare grafi ed altre strutture combinatorie quali permutazioni sottoinsiem Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente che avrà superato l'esame sarà in grado di usare il software (Mathematica e GAP) per esplorare strutture algebriche fondamentali, in particolare i grafi, per testare congetture e risolvere problemi computazionali attraverso la scelta di opportuni algoritmi già implementati nei software. Sarà anche in grado di scrivere semplici programmi per automatizzare i calcoli e di usare i risultati per la preparazione di report scientifici sul tema della matematica discreta. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati nei corsi di algebra e matematica discreta, seguendo un punto di vista. Capacità comunicative: capacità di valersi degli strumenti di calcolo algebrico e di rappresentazione grafica per affrontare ed esporre in maniera incisiva un semplice progetto di matematica discreta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici di algebra e di matematica discreta. Le tecniche di programmazione e di rappresentazione grafica acquisite potranno essergli utili anche per affrontare lo studio di argomenti più elevati e nella preparazione della tesi di laurea. - MASSINI ANNALISA (programma) Struttura di un elaboratore. Concetti generali sui sistemi operativi. I processi. Gestione della memoria. Cenni su gestione dell'I/O. Cenni su File system. Shell programming.   Slide usate a lezione. (Date degli appelli d'esame) 3    -  36  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)  ITA

Secondo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1023149 - GEOMETRIA II (obiettivi) Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in topologia generale, con un’introduzione alla topologia algebrica e alla geometria differenziale. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione. Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base della topologia generale, con i vari possibili approcci alle nozioni di spazio topologico, applicazione continua, omeomorfismo; quindi costruzioni delle topologie su sottospazi, prodotti e quozienti, proprietà topologiche di separazione, di numerabilità, di compattezza, connessione e connessione per archi. Lo studente avrà anche acquisito la nozione di gruppo fondamentale e il suo utilizzo insieme alle relative tecniche di calcolo, e gli elementi fondamentali della teoria dei rivestimenti topologici. Lo studente avrà infine acquisito le nozioni di base della geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio euclideo tridimensionale. Applicare conoscenza e comprensione. Al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di topologia, anche con l’uso di topologia algebrica elementare. Saprà altresì utilizzare la nozione di curvatura nei contesti della geometria differenziale delle curve e delle superfici. Capacità critiche e di giudizio. Lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e le nozioni fondamentali della teoria della continuità e differenziabilità, anche con strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici. Capacità comunicative. Capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento. Le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso successivo di laurea triennale o magistrale, relativo ad aspetti più avanzati di geometria. Canale: 1 - PICCINNI PAOLO (programma) Prima parte: Topologia generale (36 ore) Approcci diversi alle nozioni di spazio topologico e applicazione continua. Costruzioni e esempi di sottospazi, prodotti, quozienti. Proprietà topologiche: separazione, numerabilità, compattezza, connessione, connessione per archi. Varietà topologiche e classificazione delle superfici topologiche compatte. Seconda parte: Introduzione alla topologia algebrica (24 ore) Omotopia di cammini e di applicazioni continue. Gruppo fondamentale e invarianza omotopica. Teorema di van Kampen e applicazioni. Rivestimenti topologici e relazioni con il gruppo fondamentale. Costruzione del rivestimento universale. Terza parte: Introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici (24 ore) Curve differenziabili nello spazio euclideo tridimensionale. Retta tangente, curvatura, torsione e teorema di rigidità. Superfici differenziabili. Piano tangente e prima forma fondamentale. Seconda forma fondamentale e relativi invarianti di curvatura. Curvatura gaussiana e teorema egregium.   E. Sernesi, Geometria II, Boringhieri M. Manetti, Topologia, Springer M. Abate e F. Tovena, Curve e Superfici, Springer (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - PEZZINI GUIDO (programma) Prima parte: Topologia generale Spazi topologici e applicazioni continue. Sottospazi, prodotti, quozienti. Proprietà topologiche: separazione, numerabilità, compattezza, connessione, connessione per archi. Spazi metrici. Varietà topologiche. Seconda parte: Introduzione alla topologia algebrica Omotopia di cammini e di applicazioni continue. Gruppo fondamentale e invarianza omotopica. Teorema di van Kampen e applicazioni. Rivestimenti topologici e relazioni con il gruppo fondamentale. Monodromia. Rivestimento universale. Terza parte: Introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici Curve differenziabili nello spazio euclideo tridimensionale. Retta tangente, curvatura, torsione e teorema di rigidità. Superfici differenziabili. Piano tangente e prima forma fondamentale. Seconda forma fondamentale e relativi invarianti di curvatura. Curvatura gaussiana e teorema egregium.   M. Manetti, Topologia, Springer E. Sernesi, Geometria II, Boringhieri M. Abate e F. Tovena, Curve e Superfici, Springer (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/03	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1001746 - MECCANICA RAZIONALE (obiettivi) Obiettivi generali: Acquisire conoscenze di base in meccanica classica. Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di formulare modelli matematici di problemi di natura meccanica ed impiegare nella loro trattazione i metodi analitici e qualitativi delle equazioni differenziali ordinarie, secondo quanto esposto nel corso. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) condurre l’analisi qualitativa nel piano delle fasi per sistemi unidimensionali conservativi ed effettuare stime quantitative; ii) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio con i metodi (elementari) della teoria di Liapunov; iii) calcolare frequenze di modi normali relativamente a posizioni di equilibrio stabile; iv) operare una scelta appropriata di coordinate lagrangiane nel caso di particolari varietà configurazionali (in particolare angoli di Eulero per SO(3), coordinate sferiche, etc), riconoscere la natura variazionale delle equazioni di Lagrange e sfruttare le conseguenze che da essa discendono; v) utilizzare criteri particolari nella ricerca di integrali primi delle equazioni di Lagrange ed operare la conseguente riduzione ad un numero inferiore di gradi di libertà. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno le basi per analizzare le analogie tra gli argomenti trattati e le conoscenze già acquisite di analisi e geometria; acquisiranno inoltre importanti strumenti e idee che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi fondamentali della meccanica classica. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della meccanica analitica. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di laurea magistrale, di aspetti specialistici della meccanica classica e, più in generale, della teoria dei sistemi dinamici. Canale: 1 - BASILE GIADA (programma) - Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie, equilibri e stabilità. - Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali. - Equazioni cardinali, leggi di conservazione. - Analisi qualitativa dei moti unidimensionali. - Moti centrali e problema di Keplero. - Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange. - Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati. - Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi. - Equilibri, condizione di stabilità e instabilità, piccole oscillazioni. - Simmetrie e teorema di Noether. - Introduzione alla dinamica del corpo rigido.   P. Buttà, P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, Edizioni Nuova Cultura. R. Esposito, Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, Aracne Editrice. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - CAGLIOTI EMANUELE (programma) - Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie, equilibri e stabilità. - Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali. - Equazioni cardinali, leggi di conservazione. - Analisi qualitativa dei moti unidimensionali. - Moti centrali e problema di Keplero. - Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange. - Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati. - Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi. - Equilibri, condizione di stabilità e instabilità, piccole oscillazioni. - Simmetrie e teorema di Noether. - Introduzione alla dinamica del corpo rigido.   P. Buttà, P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, Edizioni Nuova Cultura. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/07	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1032750 - INFORMATICA GENERALE (obiettivi) Obiettivi generali Acquisire conoscenze di base relativamente al progetto di algoritmi di base, iterativi e ricorsivi, ed alla valutazione della loro efficienza computazionale. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione Al termine del corso gli studenti conosceranno le metodologie di base per la progettazione e l'analisi di algoritmi iterativi e ricorsivi, le principali strutture dati, alcuni modi per scandire tali strutture, i principali algoritmi di ordinamento e le implementazioni più elementari dei dizionari. Avanno una buona conoscenza del linguaggio C, compresi aspetti avanzati come allocazione dinamica di memoria, aritmetica dei puntatori e compilazione separata dei programmi. Applicare conoscenza e comprensione: Al termine del corso gli studenti avranno acquisito familiarità con le principali strutture dati di base, in particolare quelle che implementano i dizionari. Sapranno spiegarne gli algoritmi e analizzarne la complessità, evidenziando come le prestazioni dipendano dalla struttura dati utilizzata. Saranno in grado di progettare nuove strutture dati e i relativi algoritmi, rielaborando quelli esistenti; sapranno spiegare i principali algoritmi di ordinamento, illustrando le strategie di progetto sottostanti e le relative analisi di complessità; saranno in grado di confrontare i comportamenti asintotici dei tempi di esecuzione degli algoritmi studiati; saranno in grado di progettare soluzioni ricorsive di problemi e di analizzare asintoticamente gli algoritmi risultanti. Sapranno infine implementare gli algoritmi e le strutture dati apprese in linguaggio C, con attenzione anche all’analisi di correttezza, alla chiarezza e all’efficienza concreta dei programmi. Capacità critiche e di giudizio Lo studente avrà le basi per analizzare la qualità di un algoritmo e delle relative strutture dati, sia dal punto di vista della effettiva risoluzione del problema che da quello della efficienza computazionale con la quale il problema viene risolto. Capacità comunicative Lo studente acquisirà la capacità di esporre in modo chiaro ed organizzato le proprie conoscenze, capacità che verrà verificata sia mediante i quesiti presentati nelle prove scritte che durante la prova orale. Lo studente sarà in grado di esprimere un’idea algoritmica in modo rigoroso sia ad alto livello, tramite l’uso dello pseudocodice, che in linguaggio C. Capacità di apprendimento Le conoscenze acquisite permetteranno allo studente, una volta concluso il ciclo di studi, di affrontare lo studio, individuale o previsto nell’ambito di un corso di laurea magistrale, di tecniche algoritmiche, di strutture dati più avanzate e di metodologie avanzate di programmazione. Canale: 2 - BONGIOVANNI GIANCARLO (programma) Parte generale (60 ore): Descrizione e progettazione di algoritmi efficienti: Introduzione ai concetti di algoritmo, di struttura dati, di efficienza, di complessita' computazionale. Notazione asintotica. Introduzione alla ricorsione. Il problema dell'ordinamento. Strutture dati fondamentali (vettori, liste, pile, code, code con priorità, alberi). Dizionari. Grafi. Parte sul linguaggio C (30 ore): Linguaggio C: Principi di buona strutturazione dei programmi (programmazione strutturata, sviluppo di programmi corretti seguendo una metodologia top-down strutturando i programmi con utilizzo di funzioni). Richiamo di nozioni elementari del linguaggio C: costrutti iterativi e funzioni, vettori e strutture. Ricorsione in C. Puntatori e allocazione dinamica di memoria. Liste e alberi binari.   Testo di riferimento: T. H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest: Introduction to algorithms, The MIT Press Sarà cura dei docenti distribuire materiale didattico, relativo sia alle lezioni ed esercitazioni della parte generale (sotto forma di dispense) che alla parte sul linguaggio C (sotto forma di dispense e programmi di esempio scritti in linguaggio C). (Date degli appelli d'esame) - FRANCESCHINI GIANNI Canale: 1 - SALVO IVANO (programma) Parte generale (60 ore): Descrizione e progettazione di algoritmi efficienti: Introduzione ai concetti di algoritmo, di struttura dati, di efficienza, di complessità computazionale. Notazione asintotica. Introduzione alla ricorsione. Il problema dell'ordinamento. Strutture dati fondamentali (vettori, liste, pile, code, code con priorità, alberi). Dizionari. Grafi. Parte sul linguaggio C (24 ore): Linguaggio C: Principi di buona strutturazione dei programmi (programmazione strutturata, sviluppo di programmi corretti seguendo una metodologia top-down strutturando i programmi con utilizzo di funzioni). Richiamo di nozioni elementari del linguaggio C: costrutti iterativi e funzioni, vettori e strutture. Ricorsione in C. Puntatori e allocazione dinamica di memoria. Liste e alberi binari.   Testo di riferimento: T. H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest: Introduction to algorithms, The MIT Press Sarà cura dei docenti distribuire materiale didattico, relativo sia alle lezioni ed esercitazioni della parte generale (sotto forma di dispense) che alla parte sul linguaggio C (sotto forma di dispense e programmi di esempio scritti in linguaggio C). (Date degli appelli d'esame) - FRANCESCHINI GIANNI	9	INF/01	50	40	-	-	Attività formative di base	ITA
1022367 - ANALISI REALE (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria della misura e dell'integrazione, spazi L^p, serie di Fourier e variabile complessa. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla Teoria della Misura Astratta, alla costruzione della Misura di Lebesgue, alla Teoria dell'Integrazione, ai Teoremi di Convergenza sotto il segno di integrale, agli spazi L^p, agli spazi di Hilbert e le serie di Fourier, alle proprietà di base del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di variabile complessa. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di intendere il concetto di misura ed integrale in spazi astratti, di integrare funzioni fortemente discontinue, di operare con diverse nozioni di convergenza in L^p, di usare la serie di Fourier in L^2 per approssimare soluzioni di alcune equazioni alle derivate parziali, di applicare il Teorema dei Residui in campo complesso. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per affrontare alcuni problemi della matematica applicata, in particolare quelli basati sullo studio di opportune equazioni alle derivate parziali. Sarà inoltre in grado di intraprendere lo studio di discipline più avanzate, come ad esempio la Teoria Geometrica della Misura o la Teoria degli Integrali Singolari di Calderon-Zygmund. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici riguardanti la variabile reale e complessa. Canale: 1 - SICONOLFI ANTONIO (programma) Prima parte: teoria della misura (52 ore) Richiami sulla Misura di Lebesgue in R^d Teoria astratta della Misura – estensione di Charatheodory Teoria astratta dell'Integrale – teoremi di convergenza misure con segno - Teorema di Lebesgue-Radon-Nikodym misure prodotto – Teorema di Fubini Spazi L^p Seconda parte: spazi di Hilbert e serie di Fourier (12 ore) Teorema di rappresentazione di Riesz Definizione di serie di Fourier Trasformata di Fourier Terza parte: cenni di variabile complessa (20 ore) Funzioni olomorfe Serie di potenze Serie di Laurent Equazioni di Cauchy-Riemann Teorema dei Residui Teorema della mappa aperta Teorema di Liouville Teorema Fondamentale dell'Algebra   Rudin: analisi reale e complessa (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - ROSSI LUCA (programma) 1 Teoria della misura (70 ore) 1.1 Misura di Lebesgue 1.2 Teoria astratta della misura 1.4 Teoria astratta dell'integrale 1.5 Relazione tra integrale di Riemann e Lebesgue 1.6 Formula del cambiamento di variabile 1.7 Misure prodotto: teorema di Fubini 1.8 Teoremi di differenziazione: Radon-Nikodym 1.9 Spazi L^p 2 Spazi di Hilbert e serie di Fourier (20 ore) 2.1 Teorema di rappresentazione di Riesz 2.2 Serie di Fourier 2.3 Trasformata di Fourier   W. Rudin: “Real & Complex Analysis” H.L. Royden: “Real Analysis” (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA

Terzo anno

Primo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1035142 - FISICA GENERALE II (obiettivi) Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: dopo aver superato l'esame gli studenti potranno seguire corsi avanzati di fisica teorica. Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: dopo aver superato l'esame gli studenti sapranno risolvere problemi tecnico scientifici, operando le necessarie schematizzazioni e ottenendo risultati sufficientemente accurati. Canale: 2 - MAURI FRANCESCO (programma) -Elettrostatica nel vuoto. La legge di Coulomb; l'unità di carica nel SI; conservazione della carica. Definizione del campo elettrostatico E e del potenziale elettrostatico V; principio di sovrapposizione per E e per V. Dipolo elettrico, potenziale e campo creati da un dipolo, azioni meccaniche su un dipolo. Energia elettrostatica di un sistema di cariche. Linee di forza e superfici equipotenziali. Flusso del campo elettrico; il teorema di Gauss; esempi di calcolo del campo elettrostatico mediante il teorema di Gauss: strato e doppio strato, filo indefinito. Equazioni dell'elettrostatica nel vuoto in forma differenziale e integrale; equazioni di Poisson e di Laplace; Densità di energia e pressione del campo elettrostatico -Conduttori in elettrostatica Proprietà dei conduttori in regime elettrostatico, induzione elettrostatica, conduttori cavi, schermo elettrostatico, metodo delle carica immagine, Condensatori, condensatori connessi in serie o in parallelo; energia di un condensatore carico. -Proprietà elettrostatiche dei dielettrici. Polarizzazione e spostamento dielettrico. Costante dielettrica. Equazioni di Maxwell nei mezzi dielettrici -Correnti Definizione dell'intensità di corrente e della densità di corrente; equazione di continuità. Correnti stazionarie; resistenza di un conduttore e legge di Ohm. -Magnetostatica Le scoperte di Oersted e di Ampere; definizione del campo magnetostatico; assenza dei monopoli magnetici. Azioni meccaniche su un dipolo magnetico e energia potenziale di un dipolo magnetico. Forza magnetica su un circuito percorso da corrente; forza di Lorentz; moto di una carica in un campo magnetico. Il campo magnetico generato da correnti stazionarie: il filo rettilineo indefinito, la spira circolare ed il solenoide indefinito. Il momento di dipolo magnetico di una spira percorsa da corrente. La circuitazione del campo magnetico, teorema di Ampere; esempi di calcolo di campi magnetici con il teorema della circuitazione di Ampere. Forma differenziale e integrale delle equazioni della magnetostatica nel vuoto -Campi magnetici e elettrici variabili nel tempo Le scoperte di Faraday e la legge di Faraday-Neumann-Lenz. Caso del "flusso tagliato"; generatori di f.e.m. alternata. Autoinduzione e mutua induzione; extracorrente di chiusura e apertura in un circuito RL. Cenni sui circuiti in corrente alternata, risonanza di un circuito RLC. Energia magnetica di un solenoide percorso da corrente; densità di energia del campo magnetico. Contraddizione tra il teorema della circuitazione di Ampere e la conservazione della corrente, introduzione della "corrente di spostamento". Equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico. -Onde elettromagnetiche Soluzioni delle equazioni di Maxwell nel vuoto, onde elettomagnetiche che si propagano con la velocità della luce. Trasformazioni di Lorentz e cenni di relativita' ristretta   Testo consigliato: Fisica II. Elettromagnetismo. Ottica, di C. Mencuccini e V. Silvestrni, Ed. CEA (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - BENFATTO LARA (programma) 1- Richiami di calcolo differenziale 2- Elettrostatica nel vuoto 3- Sistemi di conduttori 4- Elettrostatica in presenza di dielettrici 5- Corrente elettrica stazionaria 6- Magnetostatica nel vuoto 7- Campi elettrici e magnetici dipendenti dal tempo 8- Cenni alla radiazione elettromagnetica e alla relativita' ristretta   Testi di base di elettromagnetismo. Note del corso disponibili su e-learning (Date degli appelli d'esame)	9	FIS/02	48	36	-	-	Attività formative affini ed integrative	ITA
1022388 - FISICA MATEMATICA (obiettivi) Obiettivi generali acquisire conoscenze di base sulla modellizzazione e risoluzione di problemi classici di fisica del continuo. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente conoscerà le equazioni fondamentali della fisica matematica (trasporto, onde, Laplace, calore), la loro derivazione da problemi fisici concreti e le tecniche classiche di risoluzione. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di risolvere l'equazione del trasporto e di Liouville, risolvere semplici problemi ai valori iniziali e al contorno per le equazioni delle onde e del calore e problemi al contorno per l'equazione di Laplace e Poisson, utilizzando le tecniche classiche della fisica matematica, quali funzioni di Green e metodo di Fourier. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di riconoscere un approccio di tipo fisico-matematico ai problemi, collegando le proprietà matematiche dei modelli basati sulle equazioni alle derivate parziali alla descrizione concreta dei problemi di fisica del continuo. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della fisica matematica legata alla fisica del continuo. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in altri insegnamenti, relativo ad aspetti più specialistici dei metodi della fisica matematica. Canale: 1 - BUTTA' PAOLO (programma) L’equazione della corda vibrante 1. Modello microscopico: catene di oscillatori. 2. La lagrangiana per l’equazione delle onde; equazioni del moto; condizioni al contorno. 3. Onde progressive e regressive; formula di D’Alembert. 4. Introduzione alle distribuzioni; soluzioni nel senso delle distribuzioni; δ di Dirac, funzione di Green 5. Formula di Duhamel. 6. Onde stazionarie e serie di Fourier; serie di Fourier in forma complessa. 7. Metodo di Fourier per il problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo e con forzante. Trasformata di Fourier e pacchetti d’onda 1. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz e sue proprietà; teorema di Plancherel-Parseval. 2. Trasformata di Fourier della gaussiana 3. Trasformata di Fourier di una distribuzione 4. Pacchetto d’onda; velocità di fase e velocità di gruppo. L’equazione delle onde in più dimensioni 1. Membrana vibrante, condizioni al contorno e loro significato fisico. 2. La lagrangiana e l’energia per l’equazione delle onde in Rn . Unicità di soluzioni regolari. 3. Serie di Fourier in più dimensioni; l'equazione delle onde in domini rettangolari e soluzione per serie. 4. La funzione di Green e le formule di Kichhoff e Poisson 5. Cono di influenza e dominio di dipendenza; principio di Huygens. 6. Dalle equazioni di Maxwell all’equazione delle onde; onde piane, onde sferiche. Introduzione alla teoria del potenziale 1. L’equazione per il potenziale elettrostatico, equazioni di Laplace e Poisson. 2. Funzione di Green e potenziale generato da una carica in Rn . 3. Regolarità e andamento asintotico del potenziale generato da una distribuzione di carica in Rn . 4. Identità di Green; formula di rappresentazione delle funzioni armoniche. 5. Teoremi della media e principio del massimo per funzioni armoniche; teoremi di unicità. 6. Regolarità delle funzioni armoniche. 7. Problema di Laplace nel disco con dato continuo al bordo: derivazione della formula di Poisson con il metodo di Fourier. 8. Funzione di Green in domini limitati e sue proprietà; metodo delle cariche immagine. 9. Funzione di Green in tre dimensioni per la palla in e formula di Poisson per il problema di Laplace nella palla in tre dimensioni con dato continuo al bordo. 10. Inverso del teorema della media; disuguaglianza di Harnack; teorema di Liouville. 11. Unicità per il problema di Poisson in tre dimensioni con le opportune condizioni asintotiche. Equazione del calore 1. Leggi di conservazione in forma divergenza; legge di Fourier. 2. La funzione di Green per l’equazione del calore, via trasformata di Fourier e per autosimilarità. 3. Il principio del massimo parabolico; l’unicità della soluzione in domini limitati e in tutto lo spazio. 4. Soluzioni e comportamento asintotico dell’equazione del calore con e senza sorgenti, con le diverse condizioni al contorno, via Fourier o via funzione di Green. 5. Equazione del calore e passeggiata aleatoria. 6. Interpretazione probabilistica dell’equazione di Laplace nel caso discreto.   - Dispense del corso disponibili in rete (http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf) - V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore Vol. II. Roma, Editori Riuniti, 1977. - S. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali: Metodi, Modelli e Applicazioni. Milano, Springer, 2010. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - TETA ALESSANDRO (programma) - Cenni alle distribuzioni, delta di Dirac - Introduzione alla trasformata di Fourier - Equazione di Laplace e di Poisson, funzione di Green, identità di Green, funzioni armoniche e loro proprieta' - Problemi al contorno e teoremi di unicita' - Soluzione di problemi al contorno per separazione di variabili e con il metodo della carica immagine - Equazione della corda vibrante, soluzione di D'Alembert - Equazione della corda vibrante sul segmento, soluzione per serie di Fourier - Equazione delle onde in due e tre dimensioni, soluzione del problema di Cauchy - Soluzione delle Equazioni di Maxwell nel vuoto - Equazione del calore, teoremi di unicita', soluzione in tutto lo spazio - Soluzione di problemi di Cauchy e al contorno sul segmento per separazione di variabili   Dispense del corso disponibili in rete all'indirizzo http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore II. Editori Riuniti, 1977. A.N. Tichonov, A.A. Samarskij, Equazioni della fisica matematica, Ed. Mir, 1981. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/07	48	36	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
Gruppo opzionale: Abilità informatiche - (visualizza) 3                AAF1267 - LINGUAGGI DI PROGRAMMAZIONE (obiettivi) OBIETTIVI FORMATIVI Generali: Apprendimento del paradigma di programmazione a oggetti, uso degli strumenti concettuali offerti da questo paradigma nella soluzione di problemi di medie dimensioni. Studio comparato di diversi paradigmi di programmazione (imperativo, funzionale e a oggetti) per sviluppare un senso critico nell'apprendimento e valutazione dei linguaggi di programmazione. Specifici: a) Conoscenza e Comprensione: Conoscenza di elementi base e medio-avanzati di programmazione in Linguaggio C++. Basi del linguaggio di programmazione Haskell. Principi generali della programmazione a oggetti e della programmazione funzionale. b) Applicare Conoscenza e Comprensione: Applicare la metodologia a oggetti alla progettazione di sistemi software di medie dimensioni. Applicare gli strumenti offerti dalla programmazione funzionale alla soluzione di problemi, anche dovendo usare un linguaggio imperativo. c) Capacità Critiche e di Giudizio: Lo studio critico del paradigma di programmazione a oggetti, le basi del paradigma funzionale, oltre ai confronti con il paradigma imperativo già noto agli studenti, unitamente a richiami sul funzionamento di altri linguaggi a Oggetti (come Java e Smalltalk), permettono di valutare ad esempio quale sia il linguaggio più adatto per risolvere un certo problema o sviluppare un progetto software. Inoltre, lo studente dovrebbe acquisire strumenti necessari per valutare criticamente altri linguaggi di programmazione. d) Capacità Comunicative Lo studente è stimolato, sia durante il corso, sia nel colloquio d'esame a esporre in modo chiaro e conciso, ma preciso sia il funzionamento che la struttura di piccoli progetti software. e) Capacità di Apprendimento: Lo studio comparato di diversi paradigmi di programmazione stimola la capacità di apprendimento di altri linguaggi di programmazione, dando allo studente gli strumenti per distinguere gli aspetti caratterizzanti di un linguaggio di programmazione (logica del core language, come ad esempio passaggio di parametri, sistema dei tipi, semantica dei comandi) da quelli più strettamente tecnici (come imparare a usare librerie e strumenti di sviluppo, come IDE e debugger). - SALVO IVANO (programma) Programma: Parte I: Programmazione a Oggetti con C++ 1. Introduzione alla programmazione a oggetti. 2. Obiettivi del linguaggio C++. 3. Definizioni di classi. Campi e metodi. Invocazioni di metodi. 4. Modificatori di visibilità. Interfaccia e implementazione. 5. Costruttori. Oggetti sullo stack e sullo heap. Distruttori. 6. Ereditarietà. 7. Binding dinamico dei metodi virtual. 8. Metodologie di programmazione a oggetti. Esempi. 9. Templates. Concetto e definizione. Classi generiche di strutture dati. La Standard Template Library. 10. Verso una programmazione matura: le Eccezioni. Parte II: Programmazione Funzionale con Haskell 11. Introduzione alla programmazione funzionale e al linguaggio Haskell. 12. Tipi polimorfi e lazy evaluation in Haskell.   Sono suggeriti i seguenti libri: Bruce Eckel: Thinking in C++ (2nd Edition), Prentice Hall, 2000. Graham Hutton: Programming in Haskell, Cambridge University Press, 2007 Vengono inoltre pubblicati numerosi materiali dal docente, sotto forma di codici di programmi esemplificativi degli argomenti trattati o soluzioni di homework o progetti degli anni precedenti. Vengono infine segnalate numerose risorse WEB sulla programmazione in C++ e Haskell. (Date degli appelli d'esame) 3    -  36  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)  ITA
Gruppo opzionale: Gruppo opzionale per Generale - (visualizza) 12                1021796 - GEOMETRIA DIFFERENZIALE (obiettivi) Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:Conoscenzadei concetti di base della geometriadifferenziale: varietàdifferenziale, mappa differenziabile, fibratotangente, campo di vettori, flusso di un campo, campo tensoriale, forma differenziale, gruppo di Lie. Teoria locale delle curve: formule di Frenet; teoria locale delle superfici; proprietà metriche, curvatura gaussiana, teorema di Gauss.Risultati di apprendimento - Competenze acquisite:Calcolare l'apparato di Frenet di una curvadefinita daequazioni cartesiane oparametriche.Calcolare la curvatura gaussiana, le curvature principali e le sezioni normali di una superficie definita da equazioni cartesiane e parametriche. Determinare le coordinate locali su una varietà e scriverne le mappe di transizione. Studiare una mappa differenziale usando coordinate locali. Trovare lo spazio tangente ad una varietà. Calcolare il flusso di un campo vettoriale. Saper operare sui tensori. Calcolare integrali di linea e riconoscere forme esatte.Knowledge and understanding: - SAMBUSETTI ANDREA (programma) Richiami su sottovarieta' differenziabili di R^n. Varieta' differenziabili: spazio tangente, calcolo differenziale, orientabilita', pettinabilita', immergibilita', rovesciabilita'. Cenni alla teoria globale delle curve piane (curva di Jordan, disuguaglianza isoperimetrica, teorema dei quattro vertici). Cenni alla teoria delle superfici di R^3 (I forma fondamentale, area, integrazione, derivata covariante, geodetiche, parallelismo, operatore forma, curvatura) Isometrie e applicazioni conformi di superfici. Superfici e varieta' riemanniane astratte; teorema egregium e teorema di Gauss-Bonnet. Cenni di geometria sferica. Cenni di geometria iperbolica.   Differential geometry of curves and surfaces, M.P. Do Carmo Elementary differential geometry, B. O'Neill Elementary topics in differential geometry, J.A. Thorpe (Date degli appelli d'esame) 6  MAT/03  48  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA 1051938 - ALGEBRA II (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria dei gruppi e teoria di Galois. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alle azioni di gruppo (con particolare riguardo ai Teoremi di Sylow), ai gruppi nilpotenti e risolubili, al problema degli ampliamenti, alle estensioni di campi , ai campi finiti, ai risultati di base della teoria di Galois e alle sue applicazioni (estensioni galoisiane, teorema fondamentale, costruzioni con riga e compasso). Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate alle azioni di gruppo e ai teoremi di Sylow; sarà in grado di deteminare il gruppo di Galois di un polinomio a coefficienti razionali di grado al più quattro e di studiare alcuni esempi speciali di estensione di grado superiore. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di topologia algebrica (acquisiti nel corso di Geometria II) o analisi complessa (acquisibili nel corso di Variabile Complessa); acquisirà anche gli strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici di teoria dei gruppi e teoria algebrica dei numeri. - BRAVI PAOLO (programma) Prima parte: Teoria dei gruppi Gruppi liberi e presentazioni Automorfismi ed estensioni Azioni di gruppi su insiemi I teoremi di Sylow Gruppi risolubili e nilpotenti Rappresentazioni lineari di gruppi finiti Seconda parte: Teoria di Galois Teorema fondamentale della teoria di Galois Risolubilità di equazioni algebriche Applicazioni della teoria di Galois   J. Milne, Group Theory, https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html J. Milne, Fields and Galois Theory, https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html (Date degli appelli d'esame) 6  MAT/02  48  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA 1022383 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI (obiettivi) Risultati dell'apprendimento – Conoscenze acquisite: Equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie (EDO): si porterà lo studente a conoscere le condizioni perché esistano le soluzioni e quelle perché si possano calcolare più o meno esplicitamente, a prevedere le proprietà dell'insieme delle soluzioni e quale sia l'intervallo massimale di esistenza.La conoscenza delle dimostrazioni dei risultati relativi alle EDO permetterà allo studente di comprendere più a fondo la materia e il ruolo delle ipotesi che vengono utilizzate. Risultati dell'apprendimento – Competenze acquisite: Tecniche per la determinazione esplicita delle soluzioni per le più comuni EDO e per i sistemi lineari di equazioni differenziali a coefficienti costanti. Analisi qualitativa di semplici equazioni e sistemi di EDO. Applicare conoscenza e comprensione: I metodi acquisiti permettono di prevedere il comportamento delle soluzioni di semplici equazioni differenziali che possono intervenire in svariate applicazioni. La conoscenza dei metodi di dimostrazione permette di intravvedere eventuali generalizzazioni e apre la strada alla comprensione dei metodi numerici di risoluzione. Capacità comunicative: L'esame orale sviluppa la capacità di comunicare in maniera rigorosa un ragionamento matematico. Capacità di apprendimento: La conoscenza dei metodi di base utilizzati nel corso favorisce la comprensione delle generalizzazioni di questi, che si utilizzano per risolvere problemi più complessi. La dimostrazione del teorema di esistenza favorisce la comprensione dei metodi numerici di approssimazione delle soluzioni delle EDO. - DE MARCHIS FRANCESCA (programma) Il programma del corso è ripartito approssimativamente in sei blocchi didattici. Ogni unità didattica comprende una parte di teoria e le relative sessioni di correzione di esercizi. Durante lo svolgimento delle lezioni sarà data particolare attenzione allo sviluppo delle seguenti competenze: - risolvere problemi, - applicare a problemi reali le conoscenze acquisite, - comunicazione orale e scritta. Teoremi di esistenza. Teoremi di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy, lemma di Gronwall e risultati di dipendenza continua. Esempi ed applicazioni. Prolungabilità. Prolungabilità ed esplosione in tempo finito di soluzioni. Integrazione diretta di alcune classi di equazioni differenziali. Esempi ed applicazioni. Equazioni differenziali lineari. Sistemi lineari: matrice fondamentale ed esponenziale di matrici, metodo di variazione dei parametri, stabilità ed instabilità dell'origine. Esempi ed applicazioni. Studi qualitativi. Studi qualitativi per sistemi di due equazioni in due incognite. Esempi ed applicazioni, analisi di alcuni sistemi classici. Sistemi nonlineari autonomi. Rettificabilità locale e stabilità lineare. Esempi ed applicazioni. Calcolo delle Variazioni. Esempi ed applicazioni dei metodi diretti per il calcolo delle variazioni. Punti critici di funzionali e condizioni di estremalità: condizioni necessarie (equazioni di Eulero-Lagrange) e alcune condizioni sufficienti.   A. Malusa, Equazioni Differenziali (Date degli appelli d'esame) 6  MAT/05  48  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA 1022959 - OTTIMIZZAZIONE   1022957 - VARIABILE COMPLESSA (obiettivi)
- - A SCELTA DELLO STUDENTE	6		48	-	-	-	Attività formative a scelta dello studente (art.10, comma 5, lettera a)	ITA

Secondo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
Gruppo opzionale: Gruppo opzionale per Generale - (visualizza) 12                1022959 - OTTIMIZZAZIONE   - MODULO I - MANCINI GABRIELE (Date degli appelli d'esame) 3  MAT/05  24  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA - MODULO II - MANCINI GABRIELE 3  MAT/05  24  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA 1022448 - ALGEBRA III (obiettivi) Conoscenza e capacità di comprensione Al termine del corso gli studenti avranno acquisito le principali nozioni base di Algebra Commutativa, riguardanti anelli commutativi con o senza divisori dello zero, estensioni intere di anelli, prodotti tensoriali e piattezza, anelli e moduli Artiniani e Noetheriani, compresa la teoria della dimensione per k-algebra finitamente generate, decomposizione primaria, domini di Dedekind. Capacità di applicare conoscenza e comprensione Al termine del corso gli studenti saranno in grado di applicare le conoscenze acquisite in modo competente e riflessivo e risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate all’Algebra Commutativa. Autonomia di giudizio Lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di Geometria o di Teoria Algebrica dei Numeri ed avrà un’idea di come queste importanti branche della Matematica siano anche storicamente profondamente legate. Abilità comunicative • Lo studente sarà in grado di esporre i principali teoremi con le loro dimostrazioni nell’ambito della prova orale di verifica e sarà in grado di comunicare ai non specialisti le idee chiave dell’Algebra Commutativa. Capacità di apprendimento Lo studente sarà in grado di mettere a frutto gli argomenti di Algebra Commutativa appresi nei numerosi contesti matematici in cui sono utilizzati, sia nell’ambito degli insegnamenti della Laurea Magistrale, sia in una futura attività di ricerca - PAPI PAOLO (programma) Preliminari di algebra commutativa Definizioni di base Ideali nei prodotti di anelli Anelli Noetheriani Moduli Noetheriani Anelli locali Anelli di frazioni Teorema cinese del resto Richiami sui prodotti tensoriali Anelli di numeri interi Gli elementi integrali formano un anello Elementi integrali  Discriminanti Gli anelli di numeri interi sono finitamente generati Algoritmi per trovare l'anello degli interi Domini di Dedekind Domains, fattorizzazione Anelli di valutazione discreti Domini Dedekind Fattorizzazione unica degli ideali Il gruppo delle classi Valutazioni discrete Chiusure integrali di domini Dedekind Moduli su domini Dedekind Fattorizzazione in estensioni Primi che ramificano Trovare fattorizzazioni Esempi di fattorizzazioni Estensioni di Eisenstein La finitezza del numero di classe Norme di ideali Enunciato del teorema principale e delle sue conseguenze Reticoli Finezza del numero di classe Forme quadratiche binarie   J.S. Milne, Algebraic number theory M. Atiyah, I Macdonald, Introduction to commutative algebra (Date degli appelli d'esame) 6  MAT/02  48  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA 1022957 - VARIABILE COMPLESSA (obiettivi)   - MODULO I - O'GRADY KIERAN GREGORY (Date degli appelli d'esame) 3  MAT/05  24  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA - MODULO II - O'GRADY KIERAN GREGORY 3  MAT/03  24  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA
- - A SCELTA DELLO STUDENTE	6		48	-	-	-	Attività formative a scelta dello studente (art.10, comma 5, lettera a)	ITA
AAF1007 - PROVA FINALE	9		-	-	-	-	Per la prova finale e la lingua straniera (art.10, comma 5, lettera c)	ITA
AAF1149 - altre conoscenze utili per l'inserimento nel mondo del lavoro - MALUSA ANNALISA (Date degli appelli d'esame)	3		-	-	-	-	Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)	ITA

Storia, didattica e fondamenti

Primo anno

Primo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
L'esame è propedeutico a tutti gli esami del secondo e del terzo anno 97786 - ALGEBRA LINEARE (obiettivi) Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base sui sistemi lineari, sugli spazi vettoriali e sulle applicazioni lineari. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla risoluzione di sistemi lineari e all'interpretazione geometrica delle loro soluzioni, al calcolo matriciale, alla teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra essi, con particolare attenzione al caso degli endomorfismi di uno spazio vettoriale e delle decomposizioni in autospazi ad essi associate. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere sistemi di equazioni lineari un un arbitrario numero (finito) di variabili, di riconoscere problemi matematici rappresentati da applicazioni lineari tra spazi vettoriali e utilizzare questo fatto per la loro risoluzione; sarà in grado di operare con le matrici e di stabilire la risolubilità di un sistema lineare e l'invertibilità di un'applicazione lineare mediante considerazioni sul rango e mediante il calcolo del determinante delle matrici associate; inoltre sarà in grado di calcolare gli autovalori di un endomorfismo lineare e determinare la decomposizione in autospazi ad esso associata; acquisirà inoltre i primi rudimenti di strutture algebriche fondamanetali che saranno poi approfondite nei corsi successivi, come ad esempio, il concetto di gruppo. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di teoria dei gruppi (che vedrà nel corso di Algebra 1), funzioni reali più variabili (che vedrà nel corso di Analisi 2), geometria delle quadriche e dello spazio proiettivo (che vedrà nel corso di Geometria 1). Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici della teoria degli operatori lineari non più limitati al caso di dimensione finita, di quella delle famiglie di spazi vettoriali (fibrati vettoriali) e di quella delle decomposioni in autospazi relativa ad algebre commutative di endomorfismi (la teoria dei sistemi di radici). Canale: 2 - BANDIERA RUGGERO (programma) Insiemi, funzioni, relazioni, induzione matematica. Numeri complessi. Anelli, campi. Spazi vettoriali, dipendenza lineare, basi. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari, isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Duale di uno spazio vettoriale. Spazi affini. Applicazioni affini. Coordinate affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Applicazioni multilineari. Determinanti. Formula di Binet, sviluppo di Laplace. Endomorfismi, autovalori, autospazi, polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton. Matrici coniugate, matrici diagonalizzabili. Prodotto scalare euclideo su uno spazio vettoriale reale, basi ON, proiezione ortogonale, algoritmo di Gram-Schmidt. Prodotto scalare hermitiano su uno spazio vettoriale complesso. Gruppo ortogonale e unitario. Spazi affini euclidei (di dimensione finita). Isometrie.   - Dispense online del prof. O'Grady. - Dispense online del prof. Manetti. (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - O'GRADY KIERAN GREGORY (programma) Insiemi, funzioni, relazioni, induzione matematica. Gruppi e azioni di gruppi. Anelli, campi. Spazi vettoriali, dipendenza lineare, basi. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari, isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Duale di uno spazio vettoriale. Spazi affini. Applicazioni affini. Coordinate affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Applicazioni multilineari. Determinanti. Formula di Binet, sviluppo di Laplace. Endomorfismi, autovalori, autospazi, polinomio caratteristico. Matrici coniugate, matrici diagonalizzabili. Prodotto scalare euclideo su uno spazio vettoriale reale, basi ON, proiezione ortogonale, algoritmo di Gram-Schmidt. Prodotto scalare hermitiano su uno spazio vettoriale complesso. Gruppo ortogonale e unitario. Spazi affini euclidei (di dimensione finita). Isometrie. Classificazione delle isometrie in dimensione bassa. Gruppi discreti di isometrie di un piano euclideo.   Testo (pdf) del docente disponibile in rete. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/03	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA
L'esame è propedeutico a tutti gli esami del secondo e del terzo anno 97794 - CALCOLO I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire una conoscenza delle tecniche elementari del Calcolo Differenziale ed Integrale e delle principali applicazioni a problemi di massimo-minimo, allo studio del grafico di funzioni, alla convergenza delle serie numeriche, del calcolo delle primitive e degli integrali definiti. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito le nozioni e i risultati di base del Calcolo Differenziale ed Integrale con particolare attenzione ai concetti di funzione, limite di funzione, continuità, convergenza di serie numeriche, derivata ed integrale. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sara' in grado di risolvere semplici problemi del Calcolo Differenziale ed Integrale, quali il calcolo esplicito di derivate, il calcolo del massimo e minimo locale e globale di funzioni di una variabile, il disegno approssimativo del grafico di funzioni, il calcolo di integrali definiti ed indefiniti, la determinazione del carattere di una serie numerica.. Capacita' critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per utilizzare un grafico come strumento di analisi di una situazione concreta descrivibile matematicamente. Acquisirà anche gli strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici insieme a nozioni di base necessarie nei successivi corsi di analisi matematica, analisi numerica e fisica matematica. Capacita' comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso, relativo ad aspetti più avanzati del Calcolo Differenziale e al Calcolo Integrale. Canale: 2 - D'ANCONA PIERO ANTONIO (programma) Numeri: Numeri naturali, interi relativi e razionali, operazioni e ordinamento. Introduzione ai numeri reali. Estremo superiore ed estremo inferiore. Induzione e combinatoria. Funzioni reali di variabile reale: Definizione di funzione, esempi. Operazioni tra funzioni, composizione. Funzioni limitate, monotone, simmetrie e periodicità. Iniettività, suriettività, funzioni invertibili. Funzioni di base: potenze e radici, esponenziali e logaritmi, funzioni trigonometriche. Limiti: Limiti finiti al finito. Strumenti per il calcolo dei limiti. Limiti infiniti e/o all’infinito, forme indeterminate. Asintoti. Confronto tra infinitesimi e confronto tra infiniti, principi di sostituzione. Limiti di successioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Criterio di Cauchy. Caratterizzazione sequenziale dei limiti. Successioni monotone, il numero di Nepero. Successioni definite per ricorrenza. Serie numeriche. Serie a termini non negativi: regolarità, Criterio del confronto, Criterio del confronto asintotico, Criterio della radice e Criterio del rapporto. Convergenza semplice e assoluta, Criterio di Leibniz. Continuità: Definizione e prime proprietà. Classificazione delle discontinuità. Teorema di Weiestrass, Teorema degli zeri, Teorema dei valori intermedi. Calcolo differenziale: Definizione di derivata e strumenti di calcolo. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange e sue conseguenze dirette, proprietà di Darboux delle derivate, Teorema di Cauchy e di L’Hopital. Derivate successive e Formula di Taylor, convessità. Studio di funzioni. Integrali indefiniti: Primitive, integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Altri metodi di integrazione. Integrali definiti: Definizione e proprietà generali. Classi di funzioni integrabili. Teorema della Media Integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Alcune applicazioni del calcolo integrale. Integrali impropri.   Il testo di riferimento del corso e' disponibile e liberamente scaricabile dalla pagina web del docente. Il testo e' inoltre corredato da vari fogli di esercizi e da raccolte di prove tipo di esame. (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - ORSINA LUIGI (programma) - Numeri reali, successioni e serie - Limiti di funzioni - Funzioni continue e derivabili - Integrazione secondo Riemann   Appunti online (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA
AAF1101 - LINGUA INGLESE (obiettivi) Obiettivi generali: raggiungere il livello B1 relativo al Quadro Comune Europeo di riferimento per la conoscenza delle lingue. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le abilità linguistiche previste per il livello B1: • riesce a comprendere gli elementi principali di un discorso chiaro in lingua standard; • riesce a comprendere testi scritti relativi all’ambito lavorativo o alla sfera quotidiana; • è in grado di affrontare e partecipare a conversazioni familiari, relative alla vita quotidiana o di interesse personale attraverso semplici espressioni; • è in grado di scrivere testi semplici in merito a argomenti conosciuti e di interesse personale. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di conoscere le strutture grammaticali, il vocabolario e comprendere testi scritti e orali relativi al livello B1. Capacità critiche e di giudizio: lo studente sarà in grado di analizzare testi, scritti e orali, relativi al livello B1 in maniera autonoma. Capacità comunicative: lo studente sarà in grado di comunicare in modo semplice e indipendente in situazioni familiari, affrontare situazioni comunicative in un paese straniero e parlare di argomenti di interesse personale. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno allo studente di consolidarle in un corso successivo per raggiungere il livello B2. - Erogato presso  AAF1101 LINGUA INGLESE in Matematica L-35 NESSUNA CANALIZZAZIONE DINDAR MERVE (Date degli appelli d'esame)	1    8  -  -  -  Per la prova finale e la lingua straniera (art.10, comma 5, lettera c)  2    16  -  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)							ITA
10589897 - LABORATORIO DI PROGRAMMAZIONE E CALCOLO (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire competenza di programmazione informatica in C/C++, che è uno dei linguaggi più utilizzato dagli sviluppatori, acquisire conoscenze di base in analisi numerica e applicare le abilità informatiche acquisite alla risoluzione di problemi matematici. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno una conoscenza di base della programmazione informatica, della aritmetica della macchina e saranno capaci di capire come strutturare algoritmi relativamente semplici per risolvere effettivamente problemi matematici. Gli studenti avranno anche acquisito le nozioni fondamentali sulla stabilità e la convergenza di metodi numerici elementari e la complessità degli algoritmi associati. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere attraverso algoritmi informatici adeguati, problemi matematici relativamente semplici. Sarà anche capace di progettare e implementare programmi informatici che interagiscano in modo appropriato con un potenziale utente. Potranno dare risposte a questioni semplici legate ad esempio a problemi di estrazione di informazioni a partire da un insieme di dati discreti, di calcolo di aree e di probabilità, di approssimazione della soluzione di sistemi lineari, di approssimazione di zeri di funzioni scalari non lineari. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare algoritmi matematici elementari dal punto di vista della efficienza computazionale, la stabilità e la accuratezza. Da una parte, sarà in grado di applicare le competenze appena acquisite nelle discipline di Calcolo I e Algebra lineare per analizzare metodi numerici elementari e da l’altrà potrà risolvere numericamente problemi proposti in queste discipline più teoriche attraverso algoritmi semplici. Sarà inoltre in grado di capire che spesso risultati matematici teorici devono essere riformulati per renderli utili nella pratica del calcolo in aritmetica finita. Capacità comunicative: capacità di esporre e motivare la risoluzione proposta a certi problemi scelti in classe alla lavagna, in sessioni scelte di esercitazioni in aula, e alla prova orale prevista alla fine del corso, svolta davanti al computer. Capacità di apprendimento: da una parte le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di Analisi numerica, relativo ad aspetti più specialistici e che richiedono ulteriori conoscenze matematiche. Da l’altra parte lo studente dovrà prendere familiarità e praticità con diversi elementi informatici come il linguaggio di programmazione informatica, le librerie, i compilatori, i diversi software disponibili in rete che offrono un intorno di sviluppo integrato sotto diversi sistemi operativi, etc. Queste abilità gli permetteranno sicuramente di imparare con più facilità l’utilizzo di altri software di interesse per il calcolo scientifico e il mondo del lavoro. Canale: 1 - NOSCHESE SILVIA (programma) Introduzione alla programmazione (30 ore in aula e 12 in laboratorio ) Aritmetica della macchina, nozione e propagazione degli errori Algoritmi: Costo computazionale ed efficienza Programmazione in pseudocodice e introduzione alle istruzioni per il controllo del flusso Compilatori e ambienti di sviluppo integrato Struttura di base dei programmi in C Variabili, tipo, istruzioni di INPUT/OUTPUT Operatori aritmetici, cicli Operatori relazionali, logici, espressioni condizionali Libreria math.h Linee di guida per lavorare in ambiente Linux Arrays e allocazione della memoria Ordinamento di vettori Funzioni C++ Visualizzazione grafica di funzioni e dati Introduzione all’Analisi Numerica (30 ore in aula e 12 in laboratorio) Metodo di eliminazione di Gauss Metodo di Jacobi Metodi iterativi per equazioni scalari non lineari Introduzione alla interpolazione polinomiale Introduzione alla quadratura numerica   Nella pagina e-learning del corso sarà reso disponibile materiale didattico relativo agli argomenti delle lezioni. (Date degli appelli d'esame) - PUPPO GABRIELLA ANNA (programma) Introduzione alla programmazione (30 ore in aula e 15 in laboratorio ) Aritmetica della macchina, nozione e propagazione degli errori Algoritmi: Costo computazionale ed efficienza Programmazione in pseudocodice e introduzione alle istruzioni per il controllo del flusso Compilatori e ambienti di sviluppo integrato Struttura di base dei programmi in C Variabili, tipo, istruzioni di INPUT/OUTPUT Operatori aritmetici, cicli Operatori relazionali, logici, espressioni condizionali Libreria math.h Linee di guida per lavorare in ambiente Linux Arrays e allocazione della memoria Ordinamento di vettori Funzioni C++ Visualizzazione grafica di funzioni e dati Introduzione all’Analisi Numerica (30 ore in aula e 15 in laboratorio) Metodo di eliminazione di Gauss Metodo di Jacobi Metodi iterativi per equazioni scalari non lineari Introduzione alla interpolazione polinomiale Introduzione alla quadratura numerica   1. Luis J. Aguilar, “Fondamenti di programmazione in C++”. McGraw-Hill, 2008. 2. Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie, “Linguaggio C”. 3. W. Gautschi, “Numerical analysis. An introduction”. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1997. 4. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, “Matematica Numerica”. Springer-Collana, 2000. Nella pagina e-learning del corso sarà reso disponibile materiale didattico relativo agli argomenti delle lezioni. Canale: 2 - Erogato presso  10589897 LABORATORIO DI PROGRAMMAZIONE E CALCOLO in Matematica L-35 2 FALCONE MAURIZIO, Saluzzi Luca (Date degli appelli d'esame)	9	INF/01	48	36	-	-	Attività formative affini ed integrative	ITA

Secondo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1015374 - ANALISI MATEMATICA I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze che consentano di estendere le conoscenze precedentemente acquisite di Analisi Matematica in una variabile al caso multidimensionale e a qualche spazio funzionale. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito la capacita’ di comprendere costruzioni analitiche nel caso ci siano piu’ variabili indipendenti. Lo studente avra’ anche familiarizzato con la nozione di uniformita’. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere problemi che richiedano l’uso del calcolo differenziale e integrale in spazi multidimensionali. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le nozioni per continuare il suo percorso in Analisi Matematica affrontando i corsi superiori. . Capacità comunicative: capacità di esporre i concetti studiati sia in forma scritta che in forma orale. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di perfezionare le capacità logiche e di apprendimento. Canale: 1 - MONTEFUSCO EUGENIO (programma) Il programma del corso è ripartito approssimativamente in tre blocchi didattici, di durata compresa tra le 3 e le 4 settimane di corso. Ogni unità didattica comprende una parte di teoria e le relative sessioni di esercitazioni come lezioni frontali, circa un terzo delle lezioni sarà svolto con le modalità della lezione capovolta (flipped lectures). Durante lo svolgimento delle lezioni sarà data particolare attenzione allo sviluppo delle seguenti competenze: formalizzazione del ragionamento astratto, capacità di analisi e sintesi, risolvere problemi, comunicazione orale e scritta. Spazi metrici (30h). Definizione di spazio metrico ed esempi. Metrica discreta, metrica euclidea e altre metriche in R, Q, R^D . Gli spazi l^p , C^0 e C^1. Successioni in spazi metrici: successioni convergenti, successioni di Cauchy, completezza e completamento. Completezza di C(X,Y), definizione di R come completamento di Q, non completezza di C^0 con metrica integrale. Successioni definite per ricorrenza e teorema delle contrazioni. Topologia negli spazi metrici: insiemi aperti, chiusi; compattezza e compattezza per successioni (teorema di caratterizzazione), teorema di Heine-Borel; connessione. Funzioni continue fra spazi metrici, teorema di Weierstrass, semicontinuità, uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor. Continuità di funzioni in più variabili reali, esempi di continuità e discontinuità, coordinate polari. Derivate parziali e direzionali, differenziabilità e piano tangente: teorema del differenziale totale. Successioni e serie di funzioni (30h). Convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme di funzioni continue e risultati di passaggio al limite sotto al segno di integrale e di derivata. Criterio di Cauchy uniforme per le serie di funzioni. Convergenza totale e criterio di Weierstrass. Teoremi di integrazione e derivazione per serie. Compattezza in C^0, equilipschitzianità, equicontinuità ed equilimitatezza di famiglie di funzioni continue, teorema di Ascoli-Arzelà. Serie di potenze in campo reale e complesso, raggio di convergenza, convergenza sul bordo. Sviluppo di Taylor e serie di Taylor, funzioni analitiche reali. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel, lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet, convergenza uniforme e identità di Parseval. Lo spazio di Hilbert l^2. Equazioni differenziali (30h). Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili. Intervallo massimale di definizione e teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, struttura dell’insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee e non omogenee. Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti.   Note a cura del docente, N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 2, W. Rudin, Principi di Analisi Matematica. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - SPADARO EMANUELE NUNZIO (programma) Il programma del corso è ripartito approssimativamente in tre blocchi didattici, di durata compresa tra le 3 e le 4 settimane di corso. Ogni unità didattica comprende una parte di teoria e le relative sessioni di esercitazioni come lezioni frontali, circa un terzo delle lezioni sarà svolto con le modalità della lezione capovolta (flipped lectures). Durante lo svolgimento delle lezioni sarà data particolare attenzione allo sviluppo delle seguenti competenze: formalizzazione del ragionamento astratto, capacità di analisi e sintesi, risolvere problemi, comunicazione orale e scritta. Spazi metrici (30h). Definizione di spazio metrico ed esempi. Metrica discreta, metrica euclidea e altre metriche in R, Q, R^D . Gli spazi l^p , C^0 e C^1. Successioni in spazi metrici: successioni convergenti, successioni di Cauchy, completezza e completamento. Completezza di C(X,Y), definizione di R come completamento di Q, non completezza di C^0 con metrica integrale. Successioni definite per ricorrenza e teorema delle contrazioni. Topologia negli spazi metrici: insiemi aperti, chiusi; compattezza e compattezza per successioni (teorema di caratterizzazione), teorema di Heine-Borel; connessione. Funzioni continue fra spazi metrici, teorema di Weierstrass, semicontinuità, uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor. Continuità di funzioni in più variabili reali, esempi di continuità e discontinuità, coordinate polari. Derivate parziali e direzionali, differenziabilità e piano tangente: teorema del differenziale totale. Successioni e serie di funzioni (30h). Convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme di funzioni continue e risultati di passaggio al limite sotto al segno di integrale e di derivata. Criterio di Cauchy uniforme per le serie di funzioni. Convergenza totale e criterio di Weierstrass. Teoremi di integrazione e derivazione per serie. Compattezza in C^0, equilipschitzianità, equicontinuità ed equilimitatezza di famiglie di funzioni continue, teorema di Ascoli-Arzelà. Serie di potenze in campo reale e complesso, raggio di convergenza, convergenza sul bordo. Sviluppo di Taylor e serie di Taylor, funzioni analitiche reali. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel, lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet, convergenza uniforme e identità di Parseval. Lo spazio di Hilbert l^2. Equazioni differenziali (30h). Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili. Intervallo massimale di definizione e teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, struttura dell’insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee e non omogenee. Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti.   Note a cura del docente, N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 2, W. Rudin, Principi di Analisi Matematica. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA
1022430 - PROBABILITA' I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base nella teoria della probabilità. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria della probabilità su spazi finiti e numerabili, al concetto di vettore aleatorio discreto e al concetto di variabile aleatoria continua. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di probabilità discreta, problemi inerenti vettori casuali discreti e numeri casuali rappresentati da variabili aleatorie continue. Lo studente sarà anche in grado di apprezzare il significato e le implicazioni dell`indipendenza e del condizionamento (nell’ambito di modelli discreti), comprendere il significato di alcuni teoremi limite fondamentali, quali la legge dei grandi numeri. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di analisi e combinatoria (acquisiti nei corsi di Calcolo e trattati nel corso di Analisi Matematica 1). Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso relativo ad aspetti più specialistici di teoria della probabilità. Canale: 2 - ISOPI MARCO (programma) esercizi di probabilità   F. Caravenna, P. Dai Pra: Probabilità (Springer) S. Ross: Probabilità. (Apogeo) F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti) - NAPPO GIOVANNA (programma) - Introduzione alla teoria della probabilità. Assiomi e regole di corrispondenza. - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione. Coefficienti binomiali e multinomiali. - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti. Schemi di Bernoulli. - Distribuzione binomiale, multinomiale e ipergeometrica. - Probabilità condizionate. Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes. - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità. - Passeggiata aleatoria. Problema della rovina del giocatore. - Variabili aleatorie discrete: distribuzione, valore atteso, varianza e covarianza. - Variabili aleatorie indipendenti. - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali. - Variabile geometrica e sua perdita di memoria, variabile binomiale negativa. - Somma di variabili aleatorie indipendenti. - Variabile di Poisson come limite di binomiali. - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate. - Diseguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri. - Valore atteso condizionato e sua interpretazione geometrica. - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore atteso e varianza. - Variabile aleatoria uniforme. Rappresentazione di Skorohod. - Variabile esponenziale come limite di geometriche. - Variabili aleatorie gaussiane. Teorema di De Moivre Laplace sull'approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana. Il programma verrà svolto insieme al Prof. Isopi (per 6/7 dalla Prof. Nappo e 1/7 dal Prof. Isopi)   F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti disponibili sul sito e-learning del corso) F. Caravenna, P. Dai Pra: Probabilità (Springer) S. Ross: Probabilità. (Apogeo) Altro materiale didattico sarà a disposizione sulla piattaforma e-learning "Sapienza" con Moodle (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - BERTINI MALGARINI LORENZO (programma) https://www.mat.uniroma1.it/people/bertini/ama/didattica/probab1/   https://www.mat.uniroma1.it/people/bertini/ama/didattica/probab1/ (Date degli appelli d'esame) - SILVESTRI VITTORIA (programma) Fare riferimento alla scheda del Prof. Lorenzo Bertini per lo stesso corso.   Fare riferimento alla scheda del Prof. Lorenzo Bertini per lo stesso corso.	9	MAT/06	48	36	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1022431 - GEOMETRIA I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire le tecniche di diagonalizzazione delle forme quadratiche e conoscenze di base di geometria affine, euclidea e proiettiva. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito i risultati di base sulla diagonalizzabilità delle forme quadratiche e degli operatori simmetrici, e le nozioni elementari di geometria affine, euclidea e proiettiva, e delle trasformazioni naturali in ciascuno di questi ambiti. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso della diagonalizzabilità delle forme quadratiche, e di risolvere problemi elementari di geometria affine, euclidea e proiettiva. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà acquisito la maturità necessaria a riconoscere le strette relazioni tra algebra lineare e geometria, con riferimento in particolar modo a quanto acquisito nel primo corso di Algebra Lineare; avrà inoltre acquisito gli strumenti per formulare e risolvere in un linguaggio moderno problemi classici della geometria. Capacità comunicative: capacità di esporre con chiarezza le nozioni, definizioni, teoremi e soluzioni di problemi durante la parte scritta e la parte orale dell’esame. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare con sicurezza lo studio successivo di teorie geometriche più astratte e tecniche quali la topologia e la geometria differenziale. Canale: 1 - SAMBUSETTI ANDREA (programma) Prima parte: geometria affine e euclidea. - Forme quadratiche e teorema spettrale. - Spazi e sottospazi affini, euclidei e hermitiani. - Applicazioni affini, endomorfismi ortogonali/unitari, endomorfismi simmetrici/hermitiani, classificazione. - Gruppi di trasformazioni lineari, affini, euclidee e unitarie. - Esercizi ed esempi: disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare, formula di Fourier; proprietà di incidenza di sottospazi; traslazioni, omotetie, collineazioni, similitudini, isometrie, riflessioni, rotazioni, proiezioni ecc.; gruppi di simmetrie. Seconda parte: coniche e quadriche. - Coniche e quadriche affini (reali e complesse) ed euclidee. - Invarianti affini e euclidei, teoremi di classificazione affine ed euclidea. - Esercizi ed esempi: parametrizzazione di coniche e quadriche, coni e cilindri, intersezioni con piani, proprietà focali, riduzione esplicita affine e metrica, uso del teorema spettrale ecc. Terza parte: geometria proiettiva. - Spazio proiettivo, motivazioni e modelli. - Punti all'infinito di sottospazi affini e quadriche, omogeneizzazione e de-omogeneizzazione di equazioni; parte affine di un sottoinsieme proiettivo. - Sottospazi proiettivi e loro dimensione; rette, piani, iperpiani; equazioni cartesiane, relazione tra equazioni e dimensione, formula di Grassmann proiettiva. - Punti in posizione generale, riferimenti proiettivi, coordinate omogenee, cambi di coordinate proiettive, proiettività e relazione con le affinità; proiezioni centrali, teorema di Desargues. - Coniche e quadriche proiettive.   - Sernesi, Geometria 1 (Boringhieri) - Fortuna-Frigerio-Pardini, Geometria proiettiva: problemi risolti e richiami di teoria (Springer) - fogli di esercizidel docente, disponibili on-line settimanalmente. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - PAPI PAOLO (programma) 1. Complementi di Algebra Lineare: 1.1 forme bilineari simmetriche e teorema di Sylvester 1.2 forme hermitiane 1.3 teoremi spettrali per operatori autoaggiunti 1.4 operatori unitari 2. Spazi affini e Spazi euclidei. 3. Gruppo delle Affinita` e Gruppo delle Isometrie. 4. Geometria proiettiva: 4.1 spazi proiettivi, sottospazi, spazi proiettivi e spazi affini. 4.2 proiettivita` 4.3 invariati proiettivi; birapporto. 5. Classificazione proiettiva, affine ed euclidea delle coniche e delle quadriche. 6. Curve algebriche: fondamenti, studio locale, singolarità.   Edoardo Sernesi, Geometria 1, Ed. Boringhieri, Seconda Edizione. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/03	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA

Secondo anno

Primo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1015376 - ANALISI MATEMATICA II (obiettivi) Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire i principali strumenti dell’Analisi Matematica riguardanti le funzioni di più variabili reali. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: gli studenti che supereranno l'esame di fine corso avranno una conoscenza approfondita dei principali concetti dell'analisi matematica relativi a funzioni di più variabili, con particolare attenzione al calcolo differenziale, all'invertibilità, alla teoria dell'integrazione, ai risultati di integrabilità di forme differenziali, a teoremi fondamentali, quali quello della divergenza e di Stokes . Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che supereranno l'esame di fine corso saranno in grado di applicare varie tecniche di calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili. In particolare saranno in grado di calcolare integrali di funzioni di due e tre variabili, e applicare le tecniche del calcolo alla soluzione di vari tipi di problemi quali ad esempio la ricerca di massimi e minimi vincolati e non, il calcolo della primitiva di una forma differenziale o l'area di una superficie. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e quelli relativi alla teoria delle funzioni di una sola variabile reale (acquisiti nel corso di Calcolo I) e alla teoria generale degli spazi metrici (acquisiti nel corso di Analisi I); avrà anche un primo approccio alla teoria della misura che verrà approfondita nel successivo corso di Analisi Reale. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici di teoria della misura e spazi funzionali. Canale: 2 - GARRONI ADRIANA (programma) Curve parametriche Funzioni, limiti e continuità. Calcolo differenziale per funzioni scalari di più variabili. Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali. Calcolo differenziale per funzioni complesse. Integrali curvilinei, forme differenziali e campi vettoriali. Integrali doppi e formule di Gauss-Green. Integrali complessi, singolarità e residui. Integrali di superficie, Teorema di Stokes e Teorema della divergenza   Sulla pagina e-learning del corso saranno rese disponibili sia note del corso che materiale didattico relativo agli esercizi. Fusco Marcellini Sbordone: Lezioni di Analisi matematica due. Zanichelli Pagani Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - MALUSA ANNALISA (programma) Curve parametriche Funzioni, limiti e continuità. Calcolo differenziale per funzioni scalari di più variabili. Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali. Calcolo differenziale per funzioni complesse. Integrali curvilinei, forme differenziali e campi vettoriali. Integrali doppi e formule di Gauss-Green. Integrali complessi, singolarità e residui. Integrali di superficie, Teorema di Stokes e Teorema della divergenza   Sulla pagina elearning del corso saranno rese disponibili sia note del corso che materiale didattico relativo agli esercizi. Fusco Marcellini Sbordone: Lezioni di Analisi matematica due. Zanichelli Pagani Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1035136 - FISICA GENERALE I (obiettivi) Introduzione ai concetti fondamentali della Meccanica e della Termodinamica. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare argomenti di base concernenti la meccanica e la termodinamica, avendo raggiunto una buona familiarita' con concetti fondamentali quali lavoro, energia e leggi di conservazione. Saranno inoltre in grado di affrontare e risolvere problemi di meccanica e termodinamica applicando le principali leggi della Fisica. Per ottenere tali finalita', e affinche' lo studente sviluppi le capacita' di comunicare quanto appreso e di proseguire lo studio in modo autonomo, si intende coinvolgerlo, durante le lezioni ed esercitazioni, attraverso quesiti di natura generale e specifica, legati agli argomenti trattati e attraverso la presentazione, in aula, di approfondimenti concordati col docente. Canale: 2 - FELICI MARCO (programma) MECCANICA Cinematica e Dinamica del punto materiale - Il metodo scientifico, definizione operativa delle grandezze fisiche, sistemi di unità di misura ed equazioni dimensionali. - Elementi di calcolo vettoriale: somma, differenza di vettori. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. - Cinematica: traiettoria, velocità e accelerazione (MEDIA ed ISTANTANEA); o Moto rettilineo uniforme. o Moto uniformemente accelerato. o Moto circolare uniforme. o Moto circolare accelerato. o Moto vario. o Accelerazione di gravità. - Dinamica del punto materiale: o Sistemi di riferimento inerziali. o Principio di inerzia. o Forza ed accelerazione, leggi di Newton. o Quantità di Moto, Teorema dell’impulso. o Esempi di forze: forze di contatto, reazioni vincolari, attrito resistenza del mezzo, forza elastica. o Sistemi non inerziali: forze apparenti. - Lavoro, Energia cinetica, teorema dell’energia cinetica. - Campi conservativi, Energia potenziale. - Conservazione dell’energia meccanica. Moto in un campo conservativo, punti di equilibrio. - Moti armonici: Periodo, Frequenza, Energia dell’oscillatore. o Pendolo Semplice. o Molla in 1 dimensione. o Oscillatore forzato e smorzato. - Elementi di dinamica della rotazione: o Momento di una forza. o Momento Angolare. o Energia cinetica rotazionale. - Forza gravitazionale, moto nel campo gravitazionale, leggi di Keplero. Cinematica e Dinamica dei sistemi - Definizione di sistema fisico, leggi fondamentali. - Definizione del centro di massa. - I Equazione cardinale: teorema del moto del centro di massa. - Sistemi Isolati: considerazioni sul significato del momento angolare. - Urti di due punti materiali, urti elastici ed anelastici, Impulso scambiato. - Dinamica Rotazionale: momento angolare del sistema, teorema del momento angolare (II Equazione Cardinale). - Corpo rigido: definizione, condizione di equilibrio. - Momento di inerzia e rotazione attorno ad un asse fisso; corpo girevole attorno ad un asse fisso. - Leggi di conservazione del moto del corpo rigido. TERMODINAMICA - Grandezze termodinamiche: P,V,T. Equilibrio termodinamico, temperatura (principio zero). - Gas e loro proprietà, gas perfetti. Equazione di stato dei gas perfetti. - Teoria cinetica dei gas: pressione, energia cinetica media e temperatura, concetto di equipartizione dell’energia. - Calore, capacità termica e calore specifico. - Trasformazioni termodinamiche, reversibilità, lavoro termodinamico. - Primo principio della termodinamica, energia interna. - Trasformazioni isobare, isocore, isoterme e adiabatiche. Calori specifici dei gas. - Cicli termodinamici, macchine termiche e loro rendimento. Ciclo di Carnot. - Secondo principio della termodinamica. - Teorema di Carnot, disuguaglianza di Clausius, entropia. Calcolo di variazioni di entropia. Interpretazione microscopica dell’entropia.   C. Mencuccini, V. Silvestrini FISICA Meccanica e Termodinamica Casa Ed. Ambrosiana P. Mazzoldi - M. Nigro - C. Voci Fisica Vol. I - Meccanica e termodinamica EdiSES Sarà distribuito materiale didattico relativo agli esercizi. (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - BALDASSARRE LEONETTA (programma) MECCANICA Cinematica e Dinamica del punto materiale - Il metodo scientifico, definizione operativa delle grandezze fisiche, sistemi di unità di misura ed equazioni dimensionali - Elementi di calcolo vettoriale: somma, differenza di vettori. Prodotto scalare e prodotto vettoriale - Cinematica: traiettoria, velocità e accelerazione (MEDIA ed ISTANTANEA); o Moto rettilineo uniforme o Moto uniformemente accelerato o Moto circolare uniforme o Moto circolare accelerato o Moto vario o Accelerazione di gravità - Dinamica del punto materiale: o Sistemi di riferimento inerziali o Principio di inerzia o Forza ed accelerazione, leggi di Newton o Quantità di Moto, Teorema dell’impulso o Esempi di forze: forze di contatto, reazioni vincolari, attrito resistenza del mezzo, forza elastica. o Sistemi non inerziali: forze apparenti - Lavoro, Energia cinetica, teorema dell’energia cinetica - Campi conservativi, Energia potenziale - Conservazione dell’energia meccanica. Moto in un campo conservativo, punti di equilibrio - Moti armonici: Periodo, Frequenza, Energia dell’oscillatore o Pendolo Semplice o Molla in 1 dimensione o Oscillatore forzato e smorzato - Elementi di dinamica della rotazione: o Momento di una forza o Momento Angolare o Energia cinetica rotazionale - Forza gravitazionale, moto nel campo gravitazionale, leggi di Keplero Cinematica e Dinamica dei sistemi - Definizione di sistema fisico, leggi fondamentali - Definizione del centro di massa - I Equazione cardinale: teorema del moto del centro di massa - Sistemi Isolati: considerazioni sul significato del momento angolare - Urti di due punti materiali, urti elastici ed anelastici, Impulso scambiato - Dinamica Rotazionale: momento angolare del sistema, teorema del momento angolare (II Equazione Cardinale) - Corpo rigido: definizione, condizione di equilibrio. - Momento di inerzia e rotazione attorno ad un asse fisso; corpo girevole attorno ad un asse fisso - Leggi di conservazione del moto del corpo rigido. TERMODINAMICA - Grandezze termodinamiche: P,V,T. Equilibrio termodinamico, temperatura (principio zero). - Gas e loro proprietà, gas perfetti. Equazione di stato dei gas perfetti. - Teoria cinetica dei gas: pressione, energia cinetica media e temperatura, concetto di equipartizione dell’energia. - Calore, capacità termica e calore specifico. - Trasformazioni termodinamiche, reversibilità, lavoro termodinamico. - Primo principio della termodinamica, energia interna. - Trasformazioni isobare, isocore, isoterme e adiabatiche. Calori specifici dei gas. - Cicli termodinamici, macchine termiche e loro rendimento. Ciclo di Carnot. - Secondo principio della termodinamica. - Teorema di Carnot, disuguaglianza di Clausius, entropia. Calcolo di variazioni di entropia. Interpretazione microscopica dell’entropia.   C. Mencuccini, V. Silvestrini FISICA Meccanica e Termodinamica Casa Ed. Ambrosiana P. Mazzoldi - M. Nigro - C. Voci Fisica Vol. I - Meccanica e termodinamica EdiSES Sarà distribuito materiale didattico relativo agli esercizi. (Date degli appelli d'esame)	9	FIS/02	50	40	-	-	Attività formative di base	ITA
Gruppo opzionale: Abilità informatiche - (visualizza) 3                AAF1299 - MATLAB (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire competenza di programmazione informatica in Matlab, che è uno dei linguaggi più utilizzato nella calcolo numerico, e applicare le abilità informatiche acquisite alla risoluzione di alcuni problemi matematici e per la grafica di dati e funzioni. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di implementare algoritmi per la risoluzione di metodi numerici e per la grafica di funzioni e dati utilizzando il software Matlab. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti saranno in grado sviluppare in ambiente Matlab programmi per risolvere problemi formulati con algoritmi implementabili al calcolatore. Saranno in grado di strutturare un programma in funzioni e utilizzare le principali function proprie di Matlab. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare algoritmi matematici elementari e strutturarli con una programmazione vettoriale, struttura più efficente in ambiente Matlab dal punto di vista della efficienza computazionale. Sarà in grado di risolvere tramite programmi matlab alcuni problemi matematici analizzati nelle discipline di Calcolo I e Algebra lineare. Capacità comunicative: capacità di descrivere, tramite algoritmi scritti con linguaggio matlab, la soluzione di alcuni problemi scelti durante le esercitazioni in laboratorio e alla prova scritta prevista alla fine del corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio di problemi che richiedono capacita' di programmazione scientifica o di rappresentazione grafica di funzioni e dati. Canale: 1 - PUPPO GABRIELLA ANNA (programma) Il workspace di Matlab e lo help online Variabili e arrays Cicli di controllo (if, for, while...) Costruzione di scripts e functions Utilizzo delle funzioni native di Matlab Grafica Messaggi di errore e debugging   D. Higham and N. Higham Matlab guide SIAM (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - NOSCHESE SILVIA (programma) Introduzione a MATLAB Tipi di Variabili e aritmetica floating point. Costruzione di array, accesso alle componenti e a blocchi di componenti. Operazioni tra array. Costruzione di una matrice, accesso alle componenti e a blocchi di componenti. Comandi principali per operare con matrici. Programmazione Cicli for e while. Comandi if. Costruzioni di function e script. Debugging. Implementazione di algoritmi per la soluzione numerica di problemi matematici. Visualizzazione Grafica 2d e 3d.   MATLAB. The Language of Technical Computing (documentazione fornita da MATLAB) (Date degli appelli d'esame) 3    -  36  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)  ITA AAF1276 - SISTEMI OPERATIVI (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base sull'uso di software matematici (Mathematica e GAP) per lo studio di strutture algebriche discrete. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente che avrà superato l'esame avrà acquisito la capacità di utilizzare un software matematico orientato allo studio di strutture algebriche discrete. In particolare sarà in grado di rappresentare, disegnare e generare grafi ed altre strutture combinatorie quali permutazioni sottoinsiem Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente che avrà superato l'esame sarà in grado di usare il software (Mathematica e GAP) per esplorare strutture algebriche fondamentali, in particolare i grafi, per testare congetture e risolvere problemi computazionali attraverso la scelta di opportuni algoritmi già implementati nei software. Sarà anche in grado di scrivere semplici programmi per automatizzare i calcoli e di usare i risultati per la preparazione di report scientifici sul tema della matematica discreta. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati nei corsi di algebra e matematica discreta, seguendo un punto di vista. Capacità comunicative: capacità di valersi degli strumenti di calcolo algebrico e di rappresentazione grafica per affrontare ed esporre in maniera incisiva un semplice progetto di matematica discreta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici di algebra e di matematica discreta. Le tecniche di programmazione e di rappresentazione grafica acquisite potranno essergli utili anche per affrontare lo studio di argomenti più elevati e nella preparazione della tesi di laurea. - MASSINI ANNALISA (programma) Struttura di un elaboratore. Concetti generali sui sistemi operativi. I processi. Gestione della memoria. Cenni su gestione dell'I/O. Cenni su File system. Shell programming.   Slide usate a lezione. (Date degli appelli d'esame) 3    -  36  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)  ITA
1051667 - ALGEBRA I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire le conoscenze di base dell’Algebra. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a: 1) Aritmetica modulare. 2) Teoria dei Gruppi. 3) Teoria degli Anelli. 4) Teoria dei campi e loro estensioni. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di maneggiare in maniera autonoma le tecniche iniziali dell’Algebra astratta e di risolvere semplici problemi nell’ambito delle nozioni acquisite. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni con nozioni acquisite nei corsi del primo anno con particolare riferimento a argomenti concernenti l’algebra lineare e la risoluzione di equazioni algebriche nel campo reale e complesso. Capacità comunicative: Il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee e i contenuti esposti nel corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso successivo al fine di acquisire nozione più avanzate relative alle principali strutture algebriche. Canale: 1 - SPINELLI ERNESTO (programma) Prima parte. Aritmetica su Z e modulare Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica. Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA. Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley. Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti. Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione. Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni. Terza parte. Elementi di teoria degli anelli Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili. Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x]. Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio. Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche. Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo). Cenni di teoria di Galois in caratteristica zero.   Herstein, Algebra (Date degli appelli d'esame) - PIRISI ROBERTO Canale: 2 - D'ANDREA ALESSANDRO (programma) Insiemi, applicazioni, cardinalità. Relazioni di equivalenza, insieme quoziente. Teoremi di Cantor. Numeri naturali e principio di induzione. Divisione euclidea. Algoritmo euclideo per il calcolo del MCD. Divisibilità. Primalità e irriducibilità. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Radici razionali di numeri razionali. Irrazionalità di radice di 2. I numeri primi sono infiniti. Esistono infiniti primi della forma 4n-1. Crivello di Eratostene. Struttura di anello di Z/(n). Congruenze e Teorema cinese dei resti. Piccolo teorema di Fermat. Teorema di Cauchy per gruppi abeliani finiti. Funzione toziente di Eulero. Anelli e omomorfismi. Sottoanelli, ideali. Somma e intersezione di ideali; ideali principali. Ideali in Z e divisibilità. Anelli quoziente. Teoremi di omomorfismo per anelli. Ideali primi e massimali. Domini euclidei: polinomi a coefficienti in un campo; interi di Gauss. Fattorizzazione unica in domini euclidei. Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. Campo delle frazioni di un dominio d'integrità. Fattorizzazione unica in R[x], se R è un dominio a fattorizzazione unica. Irriducibilità di polinomi in Z[x]. Fattorizzazione unica in Z[i] e primi di Gauss. Teorema dei due quadrati. Esistono infiniti primi in Z della forma 4n+1. Fattorizzazione unica in domini a ideali principali. Classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati (e dei moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali). Gruppi non abeliani. Gruppi ciclici, diedrali, simmetrici, alterni. Gruppi lineari. Congruenza modulo un sottogruppo e sottogruppi normali. Teoremi di Lagrange e di Cauchy. Omomorfismi di gruppi. Gruppi quoziente e teoremi di omomorfismo. Teorema di Cayley. Azioni di gruppi su insiemi. Orbita e stabilizzatore. Relazione di coniugio e classi coniugate. Centro di un gruppo e centralizzatore di un elemento. Nilpotenza dei p-gruppi finiti. Teoremi di Sylow. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo. Automorfismi di gruppi e automorfismi interni. Prodotti diretti e semidiretti di gruppi. Semplicità dei gruppi alterni. Automorfismi dei gruppi ciclici finiti. Applicazioni. Estensioni di campi. Estensioni algebriche e trascendenti. Estensioni finite e grado di un'estensione. Polinomio minimo di un algebrico. Campi finiti. Estensioni separabili e inseparabili. Argomenti scelti: cenni di Teoria di Galois; esistenza della chiusura algebrica di un campo; reciprocità quadratica; polinomi simmetrici.   I. N. Herstein "Algebra" M. Artin "Algebra" Appunti del docente (Date degli appelli d'esame)	9  MAT/02  40  50  -  -  Attività formative di base  3  MAT/02  30  -  -  -  Attività formative caratterizzanti							ITA

Secondo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1023149 - GEOMETRIA II (obiettivi) Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in topologia generale, con un’introduzione alla topologia algebrica e alla geometria differenziale. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione. Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base della topologia generale, con i vari possibili approcci alle nozioni di spazio topologico, applicazione continua, omeomorfismo; quindi costruzioni delle topologie su sottospazi, prodotti e quozienti, proprietà topologiche di separazione, di numerabilità, di compattezza, connessione e connessione per archi. Lo studente avrà anche acquisito la nozione di gruppo fondamentale e il suo utilizzo insieme alle relative tecniche di calcolo, e gli elementi fondamentali della teoria dei rivestimenti topologici. Lo studente avrà infine acquisito le nozioni di base della geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio euclideo tridimensionale. Applicare conoscenza e comprensione. Al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di topologia, anche con l’uso di topologia algebrica elementare. Saprà altresì utilizzare la nozione di curvatura nei contesti della geometria differenziale delle curve e delle superfici. Capacità critiche e di giudizio. Lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e le nozioni fondamentali della teoria della continuità e differenziabilità, anche con strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici. Capacità comunicative. Capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento. Le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso successivo di laurea triennale o magistrale, relativo ad aspetti più avanzati di geometria. Canale: 1 - PICCINNI PAOLO (programma) Prima parte: Topologia generale (36 ore) Approcci diversi alle nozioni di spazio topologico e applicazione continua. Costruzioni e esempi di sottospazi, prodotti, quozienti. Proprietà topologiche: separazione, numerabilità, compattezza, connessione, connessione per archi. Varietà topologiche e classificazione delle superfici topologiche compatte. Seconda parte: Introduzione alla topologia algebrica (24 ore) Omotopia di cammini e di applicazioni continue. Gruppo fondamentale e invarianza omotopica. Teorema di van Kampen e applicazioni. Rivestimenti topologici e relazioni con il gruppo fondamentale. Costruzione del rivestimento universale. Terza parte: Introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici (24 ore) Curve differenziabili nello spazio euclideo tridimensionale. Retta tangente, curvatura, torsione e teorema di rigidità. Superfici differenziabili. Piano tangente e prima forma fondamentale. Seconda forma fondamentale e relativi invarianti di curvatura. Curvatura gaussiana e teorema egregium.   E. Sernesi, Geometria II, Boringhieri M. Manetti, Topologia, Springer M. Abate e F. Tovena, Curve e Superfici, Springer (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - PEZZINI GUIDO (programma) Prima parte: Topologia generale Spazi topologici e applicazioni continue. Sottospazi, prodotti, quozienti. Proprietà topologiche: separazione, numerabilità, compattezza, connessione, connessione per archi. Spazi metrici. Varietà topologiche. Seconda parte: Introduzione alla topologia algebrica Omotopia di cammini e di applicazioni continue. Gruppo fondamentale e invarianza omotopica. Teorema di van Kampen e applicazioni. Rivestimenti topologici e relazioni con il gruppo fondamentale. Monodromia. Rivestimento universale. Terza parte: Introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici Curve differenziabili nello spazio euclideo tridimensionale. Retta tangente, curvatura, torsione e teorema di rigidità. Superfici differenziabili. Piano tangente e prima forma fondamentale. Seconda forma fondamentale e relativi invarianti di curvatura. Curvatura gaussiana e teorema egregium.   M. Manetti, Topologia, Springer E. Sernesi, Geometria II, Boringhieri M. Abate e F. Tovena, Curve e Superfici, Springer (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/03	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1032750 - INFORMATICA GENERALE (obiettivi) Obiettivi generali Acquisire conoscenze di base relativamente al progetto di algoritmi di base, iterativi e ricorsivi, ed alla valutazione della loro efficienza computazionale. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione Al termine del corso gli studenti conosceranno le metodologie di base per la progettazione e l'analisi di algoritmi iterativi e ricorsivi, le principali strutture dati, alcuni modi per scandire tali strutture, i principali algoritmi di ordinamento e le implementazioni più elementari dei dizionari. Avanno una buona conoscenza del linguaggio C, compresi aspetti avanzati come allocazione dinamica di memoria, aritmetica dei puntatori e compilazione separata dei programmi. Applicare conoscenza e comprensione: Al termine del corso gli studenti avranno acquisito familiarità con le principali strutture dati di base, in particolare quelle che implementano i dizionari. Sapranno spiegarne gli algoritmi e analizzarne la complessità, evidenziando come le prestazioni dipendano dalla struttura dati utilizzata. Saranno in grado di progettare nuove strutture dati e i relativi algoritmi, rielaborando quelli esistenti; sapranno spiegare i principali algoritmi di ordinamento, illustrando le strategie di progetto sottostanti e le relative analisi di complessità; saranno in grado di confrontare i comportamenti asintotici dei tempi di esecuzione degli algoritmi studiati; saranno in grado di progettare soluzioni ricorsive di problemi e di analizzare asintoticamente gli algoritmi risultanti. Sapranno infine implementare gli algoritmi e le strutture dati apprese in linguaggio C, con attenzione anche all’analisi di correttezza, alla chiarezza e all’efficienza concreta dei programmi. Capacità critiche e di giudizio Lo studente avrà le basi per analizzare la qualità di un algoritmo e delle relative strutture dati, sia dal punto di vista della effettiva risoluzione del problema che da quello della efficienza computazionale con la quale il problema viene risolto. Capacità comunicative Lo studente acquisirà la capacità di esporre in modo chiaro ed organizzato le proprie conoscenze, capacità che verrà verificata sia mediante i quesiti presentati nelle prove scritte che durante la prova orale. Lo studente sarà in grado di esprimere un’idea algoritmica in modo rigoroso sia ad alto livello, tramite l’uso dello pseudocodice, che in linguaggio C. Capacità di apprendimento Le conoscenze acquisite permetteranno allo studente, una volta concluso il ciclo di studi, di affrontare lo studio, individuale o previsto nell’ambito di un corso di laurea magistrale, di tecniche algoritmiche, di strutture dati più avanzate e di metodologie avanzate di programmazione. Canale: 2 - BONGIOVANNI GIANCARLO (programma) Parte generale (60 ore): Descrizione e progettazione di algoritmi efficienti: Introduzione ai concetti di algoritmo, di struttura dati, di efficienza, di complessita' computazionale. Notazione asintotica. Introduzione alla ricorsione. Il problema dell'ordinamento. Strutture dati fondamentali (vettori, liste, pile, code, code con priorità, alberi). Dizionari. Grafi. Parte sul linguaggio C (30 ore): Linguaggio C: Principi di buona strutturazione dei programmi (programmazione strutturata, sviluppo di programmi corretti seguendo una metodologia top-down strutturando i programmi con utilizzo di funzioni). Richiamo di nozioni elementari del linguaggio C: costrutti iterativi e funzioni, vettori e strutture. Ricorsione in C. Puntatori e allocazione dinamica di memoria. Liste e alberi binari.   Testo di riferimento: T. H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest: Introduction to algorithms, The MIT Press Sarà cura dei docenti distribuire materiale didattico, relativo sia alle lezioni ed esercitazioni della parte generale (sotto forma di dispense) che alla parte sul linguaggio C (sotto forma di dispense e programmi di esempio scritti in linguaggio C). (Date degli appelli d'esame) - FRANCESCHINI GIANNI Canale: 1 - SALVO IVANO (programma) Parte generale (60 ore): Descrizione e progettazione di algoritmi efficienti: Introduzione ai concetti di algoritmo, di struttura dati, di efficienza, di complessità computazionale. Notazione asintotica. Introduzione alla ricorsione. Il problema dell'ordinamento. Strutture dati fondamentali (vettori, liste, pile, code, code con priorità, alberi). Dizionari. Grafi. Parte sul linguaggio C (24 ore): Linguaggio C: Principi di buona strutturazione dei programmi (programmazione strutturata, sviluppo di programmi corretti seguendo una metodologia top-down strutturando i programmi con utilizzo di funzioni). Richiamo di nozioni elementari del linguaggio C: costrutti iterativi e funzioni, vettori e strutture. Ricorsione in C. Puntatori e allocazione dinamica di memoria. Liste e alberi binari.   Testo di riferimento: T. H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest: Introduction to algorithms, The MIT Press Sarà cura dei docenti distribuire materiale didattico, relativo sia alle lezioni ed esercitazioni della parte generale (sotto forma di dispense) che alla parte sul linguaggio C (sotto forma di dispense e programmi di esempio scritti in linguaggio C). (Date degli appelli d'esame) - FRANCESCHINI GIANNI	9	INF/01	50	40	-	-	Attività formative di base	ITA
1001746 - MECCANICA RAZIONALE (obiettivi) Obiettivi generali: Acquisire conoscenze di base in meccanica classica. Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di formulare modelli matematici di problemi di natura meccanica ed impiegare nella loro trattazione i metodi analitici e qualitativi delle equazioni differenziali ordinarie, secondo quanto esposto nel corso. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) condurre l’analisi qualitativa nel piano delle fasi per sistemi unidimensionali conservativi ed effettuare stime quantitative; ii) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio con i metodi (elementari) della teoria di Liapunov; iii) calcolare frequenze di modi normali relativamente a posizioni di equilibrio stabile; iv) operare una scelta appropriata di coordinate lagrangiane nel caso di particolari varietà configurazionali (in particolare angoli di Eulero per SO(3), coordinate sferiche, etc), riconoscere la natura variazionale delle equazioni di Lagrange e sfruttare le conseguenze che da essa discendono; v) utilizzare criteri particolari nella ricerca di integrali primi delle equazioni di Lagrange ed operare la conseguente riduzione ad un numero inferiore di gradi di libertà. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno le basi per analizzare le analogie tra gli argomenti trattati e le conoscenze già acquisite di analisi e geometria; acquisiranno inoltre importanti strumenti e idee che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi fondamentali della meccanica classica. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della meccanica analitica. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di laurea magistrale, di aspetti specialistici della meccanica classica e, più in generale, della teoria dei sistemi dinamici. Canale: 1 - BASILE GIADA (programma) - Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie, equilibri e stabilità. - Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali. - Equazioni cardinali, leggi di conservazione. - Analisi qualitativa dei moti unidimensionali. - Moti centrali e problema di Keplero. - Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange. - Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati. - Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi. - Equilibri, condizione di stabilità e instabilità, piccole oscillazioni. - Simmetrie e teorema di Noether. - Introduzione alla dinamica del corpo rigido.   P. Buttà, P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, Edizioni Nuova Cultura. R. Esposito, Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, Aracne Editrice. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - CAGLIOTI EMANUELE (programma) - Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie, equilibri e stabilità. - Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali. - Equazioni cardinali, leggi di conservazione. - Analisi qualitativa dei moti unidimensionali. - Moti centrali e problema di Keplero. - Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange. - Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati. - Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi. - Equilibri, condizione di stabilità e instabilità, piccole oscillazioni. - Simmetrie e teorema di Noether. - Introduzione alla dinamica del corpo rigido.   P. Buttà, P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, Edizioni Nuova Cultura. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/07	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1022367 - ANALISI REALE (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria della misura e dell'integrazione, spazi L^p, serie di Fourier e variabile complessa. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla Teoria della Misura Astratta, alla costruzione della Misura di Lebesgue, alla Teoria dell'Integrazione, ai Teoremi di Convergenza sotto il segno di integrale, agli spazi L^p, agli spazi di Hilbert e le serie di Fourier, alle proprietà di base del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di variabile complessa. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di intendere il concetto di misura ed integrale in spazi astratti, di integrare funzioni fortemente discontinue, di operare con diverse nozioni di convergenza in L^p, di usare la serie di Fourier in L^2 per approssimare soluzioni di alcune equazioni alle derivate parziali, di applicare il Teorema dei Residui in campo complesso. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per affrontare alcuni problemi della matematica applicata, in particolare quelli basati sullo studio di opportune equazioni alle derivate parziali. Sarà inoltre in grado di intraprendere lo studio di discipline più avanzate, come ad esempio la Teoria Geometrica della Misura o la Teoria degli Integrali Singolari di Calderon-Zygmund. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici riguardanti la variabile reale e complessa. Canale: 1 - SICONOLFI ANTONIO (programma) Prima parte: teoria della misura (52 ore) Richiami sulla Misura di Lebesgue in R^d Teoria astratta della Misura – estensione di Charatheodory Teoria astratta dell'Integrale – teoremi di convergenza misure con segno - Teorema di Lebesgue-Radon-Nikodym misure prodotto – Teorema di Fubini Spazi L^p Seconda parte: spazi di Hilbert e serie di Fourier (12 ore) Teorema di rappresentazione di Riesz Definizione di serie di Fourier Trasformata di Fourier Terza parte: cenni di variabile complessa (20 ore) Funzioni olomorfe Serie di potenze Serie di Laurent Equazioni di Cauchy-Riemann Teorema dei Residui Teorema della mappa aperta Teorema di Liouville Teorema Fondamentale dell'Algebra   Rudin: analisi reale e complessa (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - ROSSI LUCA (programma) 1 Teoria della misura (70 ore) 1.1 Misura di Lebesgue 1.2 Teoria astratta della misura 1.4 Teoria astratta dell'integrale 1.5 Relazione tra integrale di Riemann e Lebesgue 1.6 Formula del cambiamento di variabile 1.7 Misure prodotto: teorema di Fubini 1.8 Teoremi di differenziazione: Radon-Nikodym 1.9 Spazi L^p 2 Spazi di Hilbert e serie di Fourier (20 ore) 2.1 Teorema di rappresentazione di Riesz 2.2 Serie di Fourier 2.3 Trasformata di Fourier   W. Rudin: “Real & Complex Analysis” H.L. Royden: “Real Analysis” (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA

Terzo anno

Primo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1035142 - FISICA GENERALE II (obiettivi) Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: dopo aver superato l'esame gli studenti potranno seguire corsi avanzati di fisica teorica. Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: dopo aver superato l'esame gli studenti sapranno risolvere problemi tecnico scientifici, operando le necessarie schematizzazioni e ottenendo risultati sufficientemente accurati. Canale: 2 - MAURI FRANCESCO (programma) -Elettrostatica nel vuoto. La legge di Coulomb; l'unità di carica nel SI; conservazione della carica. Definizione del campo elettrostatico E e del potenziale elettrostatico V; principio di sovrapposizione per E e per V. Dipolo elettrico, potenziale e campo creati da un dipolo, azioni meccaniche su un dipolo. Energia elettrostatica di un sistema di cariche. Linee di forza e superfici equipotenziali. Flusso del campo elettrico; il teorema di Gauss; esempi di calcolo del campo elettrostatico mediante il teorema di Gauss: strato e doppio strato, filo indefinito. Equazioni dell'elettrostatica nel vuoto in forma differenziale e integrale; equazioni di Poisson e di Laplace; Densità di energia e pressione del campo elettrostatico -Conduttori in elettrostatica Proprietà dei conduttori in regime elettrostatico, induzione elettrostatica, conduttori cavi, schermo elettrostatico, metodo delle carica immagine, Condensatori, condensatori connessi in serie o in parallelo; energia di un condensatore carico. -Proprietà elettrostatiche dei dielettrici. Polarizzazione e spostamento dielettrico. Costante dielettrica. Equazioni di Maxwell nei mezzi dielettrici -Correnti Definizione dell'intensità di corrente e della densità di corrente; equazione di continuità. Correnti stazionarie; resistenza di un conduttore e legge di Ohm. -Magnetostatica Le scoperte di Oersted e di Ampere; definizione del campo magnetostatico; assenza dei monopoli magnetici. Azioni meccaniche su un dipolo magnetico e energia potenziale di un dipolo magnetico. Forza magnetica su un circuito percorso da corrente; forza di Lorentz; moto di una carica in un campo magnetico. Il campo magnetico generato da correnti stazionarie: il filo rettilineo indefinito, la spira circolare ed il solenoide indefinito. Il momento di dipolo magnetico di una spira percorsa da corrente. La circuitazione del campo magnetico, teorema di Ampere; esempi di calcolo di campi magnetici con il teorema della circuitazione di Ampere. Forma differenziale e integrale delle equazioni della magnetostatica nel vuoto -Campi magnetici e elettrici variabili nel tempo Le scoperte di Faraday e la legge di Faraday-Neumann-Lenz. Caso del "flusso tagliato"; generatori di f.e.m. alternata. Autoinduzione e mutua induzione; extracorrente di chiusura e apertura in un circuito RL. Cenni sui circuiti in corrente alternata, risonanza di un circuito RLC. Energia magnetica di un solenoide percorso da corrente; densità di energia del campo magnetico. Contraddizione tra il teorema della circuitazione di Ampere e la conservazione della corrente, introduzione della "corrente di spostamento". Equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico. -Onde elettromagnetiche Soluzioni delle equazioni di Maxwell nel vuoto, onde elettomagnetiche che si propagano con la velocità della luce. Trasformazioni di Lorentz e cenni di relativita' ristretta   Testo consigliato: Fisica II. Elettromagnetismo. Ottica, di C. Mencuccini e V. Silvestrni, Ed. CEA (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - BENFATTO LARA (programma) 1- Richiami di calcolo differenziale 2- Elettrostatica nel vuoto 3- Sistemi di conduttori 4- Elettrostatica in presenza di dielettrici 5- Corrente elettrica stazionaria 6- Magnetostatica nel vuoto 7- Campi elettrici e magnetici dipendenti dal tempo 8- Cenni alla radiazione elettromagnetica e alla relativita' ristretta   Testi di base di elettromagnetismo. Note del corso disponibili su e-learning (Date degli appelli d'esame)	9	FIS/02	48	36	-	-	Attività formative affini ed integrative	ITA
1022365 - LOGICA MATEMATICA (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze e competenze di base in logica matematica e saperle applicare in vari contesti, anche di carattere didattico. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi agli argomenti trattati: calcolo delle proposizioni, calcolo dei predicati, aritmetica di Peano e risultati di incompletezza. Applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di risolvere esercizi e problemi di logica matematica; esercizi e problemi si riferiscono agli argomenti trattati, ad altre aree della matematica, all'insegnamento della matematica, al linguaggio naturale. Saprà riconoscere varie tipologie di formule nei casi più semplici (tautologie, formule valide, ...). Sarà in grado di riconoscere ed applicare le regole di deduzione. Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà acquisito abitudine al rigore e al formalismo matematico. Avrà riflettuto sui contenuti matematici noti e sulla traduzione di concetti nell'ambito di teorie assiomatiche con opportuni linguaggi. Sarà in grado di discutere il ruolo dell'intuizione e del rigore nell'insegnamento della matematica, in varie situazioni. Capacità comunicative: Lo studente sarà in grado di esporre i contenuti nella prova orale e di spiegare quanto appreso. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite permetteranno lo studio di temi più specialistici. Lo studente sarà motivato ad approfondire le conoscenze acquisite. - CARLUCCI LORENZO (programma) I linguaggi logici: connettivi, quantificatori e le loro proprietà. Una teoria per il calcolo delle proposizioni. Tautologie e teoremi. Teorema di deduzione e teorema di completezza. Una teoria per il calcolo dei predicati. Formule vere e formule valide. Lemma di Lindenbaum, teorema di esistenza del modello e teorema di completezza. Compattezza e sue applicazioni. Cenni di teoria delle funzioni ricorsive; insiemi computabilmente enumerabili e insiemi decidibili. L'aritmetica di Peano e i teoremi di indecidibilità; in particolare, primo e secondo teorema di Gödel. Analisi di ragionamenti nelle matematiche elementari; discussioni sul ruolo della logica nell'insegnamento della matematica, con riferimento a diverse metodologie didattiche. Legami fra logica matematica, linguaggio, filosofia, informatica, a livello teorico e a livello didattico.   Dispense fornite dal docente. (Date degli appelli d'esame)	6	MAT/01	48	-	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1022388 - FISICA MATEMATICA (obiettivi) Obiettivi generali acquisire conoscenze di base sulla modellizzazione e risoluzione di problemi classici di fisica del continuo. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente conoscerà le equazioni fondamentali della fisica matematica (trasporto, onde, Laplace, calore), la loro derivazione da problemi fisici concreti e le tecniche classiche di risoluzione. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di risolvere l'equazione del trasporto e di Liouville, risolvere semplici problemi ai valori iniziali e al contorno per le equazioni delle onde e del calore e problemi al contorno per l'equazione di Laplace e Poisson, utilizzando le tecniche classiche della fisica matematica, quali funzioni di Green e metodo di Fourier. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di riconoscere un approccio di tipo fisico-matematico ai problemi, collegando le proprietà matematiche dei modelli basati sulle equazioni alle derivate parziali alla descrizione concreta dei problemi di fisica del continuo. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della fisica matematica legata alla fisica del continuo. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in altri insegnamenti, relativo ad aspetti più specialistici dei metodi della fisica matematica. Canale: 1 - BUTTA' PAOLO (programma) L’equazione della corda vibrante 1. Modello microscopico: catene di oscillatori. 2. La lagrangiana per l’equazione delle onde; equazioni del moto; condizioni al contorno. 3. Onde progressive e regressive; formula di D’Alembert. 4. Introduzione alle distribuzioni; soluzioni nel senso delle distribuzioni; δ di Dirac, funzione di Green 5. Formula di Duhamel. 6. Onde stazionarie e serie di Fourier; serie di Fourier in forma complessa. 7. Metodo di Fourier per il problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo e con forzante. Trasformata di Fourier e pacchetti d’onda 1. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz e sue proprietà; teorema di Plancherel-Parseval. 2. Trasformata di Fourier della gaussiana 3. Trasformata di Fourier di una distribuzione 4. Pacchetto d’onda; velocità di fase e velocità di gruppo. L’equazione delle onde in più dimensioni 1. Membrana vibrante, condizioni al contorno e loro significato fisico. 2. La lagrangiana e l’energia per l’equazione delle onde in Rn . Unicità di soluzioni regolari. 3. Serie di Fourier in più dimensioni; l'equazione delle onde in domini rettangolari e soluzione per serie. 4. La funzione di Green e le formule di Kichhoff e Poisson 5. Cono di influenza e dominio di dipendenza; principio di Huygens. 6. Dalle equazioni di Maxwell all’equazione delle onde; onde piane, onde sferiche. Introduzione alla teoria del potenziale 1. L’equazione per il potenziale elettrostatico, equazioni di Laplace e Poisson. 2. Funzione di Green e potenziale generato da una carica in Rn . 3. Regolarità e andamento asintotico del potenziale generato da una distribuzione di carica in Rn . 4. Identità di Green; formula di rappresentazione delle funzioni armoniche. 5. Teoremi della media e principio del massimo per funzioni armoniche; teoremi di unicità. 6. Regolarità delle funzioni armoniche. 7. Problema di Laplace nel disco con dato continuo al bordo: derivazione della formula di Poisson con il metodo di Fourier. 8. Funzione di Green in domini limitati e sue proprietà; metodo delle cariche immagine. 9. Funzione di Green in tre dimensioni per la palla in e formula di Poisson per il problema di Laplace nella palla in tre dimensioni con dato continuo al bordo. 10. Inverso del teorema della media; disuguaglianza di Harnack; teorema di Liouville. 11. Unicità per il problema di Poisson in tre dimensioni con le opportune condizioni asintotiche. Equazione del calore 1. Leggi di conservazione in forma divergenza; legge di Fourier. 2. La funzione di Green per l’equazione del calore, via trasformata di Fourier e per autosimilarità. 3. Il principio del massimo parabolico; l’unicità della soluzione in domini limitati e in tutto lo spazio. 4. Soluzioni e comportamento asintotico dell’equazione del calore con e senza sorgenti, con le diverse condizioni al contorno, via Fourier o via funzione di Green. 5. Equazione del calore e passeggiata aleatoria. 6. Interpretazione probabilistica dell’equazione di Laplace nel caso discreto.   - Dispense del corso disponibili in rete (http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf) - V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore Vol. II. Roma, Editori Riuniti, 1977. - S. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali: Metodi, Modelli e Applicazioni. Milano, Springer, 2010. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - TETA ALESSANDRO (programma) - Cenni alle distribuzioni, delta di Dirac - Introduzione alla trasformata di Fourier - Equazione di Laplace e di Poisson, funzione di Green, identità di Green, funzioni armoniche e loro proprieta' - Problemi al contorno e teoremi di unicita' - Soluzione di problemi al contorno per separazione di variabili e con il metodo della carica immagine - Equazione della corda vibrante, soluzione di D'Alembert - Equazione della corda vibrante sul segmento, soluzione per serie di Fourier - Equazione delle onde in due e tre dimensioni, soluzione del problema di Cauchy - Soluzione delle Equazioni di Maxwell nel vuoto - Equazione del calore, teoremi di unicita', soluzione in tutto lo spazio - Soluzione di problemi di Cauchy e al contorno sul segmento per separazione di variabili   Dispense del corso disponibili in rete all'indirizzo http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore II. Editori Riuniti, 1977. A.N. Tichonov, A.A. Samarskij, Equazioni della fisica matematica, Ed. Mir, 1981. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/07	48	36	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
- - A SCELTA DELLO STUDENTE	6		48	-	-	-	Attività formative a scelta dello studente (art.10, comma 5, lettera a)	ITA
Gruppo opzionale: Abilità informatiche - (visualizza) 3                AAF1267 - LINGUAGGI DI PROGRAMMAZIONE (obiettivi) OBIETTIVI FORMATIVI Generali: Apprendimento del paradigma di programmazione a oggetti, uso degli strumenti concettuali offerti da questo paradigma nella soluzione di problemi di medie dimensioni. Studio comparato di diversi paradigmi di programmazione (imperativo, funzionale e a oggetti) per sviluppare un senso critico nell'apprendimento e valutazione dei linguaggi di programmazione. Specifici: a) Conoscenza e Comprensione: Conoscenza di elementi base e medio-avanzati di programmazione in Linguaggio C++. Basi del linguaggio di programmazione Haskell. Principi generali della programmazione a oggetti e della programmazione funzionale. b) Applicare Conoscenza e Comprensione: Applicare la metodologia a oggetti alla progettazione di sistemi software di medie dimensioni. Applicare gli strumenti offerti dalla programmazione funzionale alla soluzione di problemi, anche dovendo usare un linguaggio imperativo. c) Capacità Critiche e di Giudizio: Lo studio critico del paradigma di programmazione a oggetti, le basi del paradigma funzionale, oltre ai confronti con il paradigma imperativo già noto agli studenti, unitamente a richiami sul funzionamento di altri linguaggi a Oggetti (come Java e Smalltalk), permettono di valutare ad esempio quale sia il linguaggio più adatto per risolvere un certo problema o sviluppare un progetto software. Inoltre, lo studente dovrebbe acquisire strumenti necessari per valutare criticamente altri linguaggi di programmazione. d) Capacità Comunicative Lo studente è stimolato, sia durante il corso, sia nel colloquio d'esame a esporre in modo chiaro e conciso, ma preciso sia il funzionamento che la struttura di piccoli progetti software. e) Capacità di Apprendimento: Lo studio comparato di diversi paradigmi di programmazione stimola la capacità di apprendimento di altri linguaggi di programmazione, dando allo studente gli strumenti per distinguere gli aspetti caratterizzanti di un linguaggio di programmazione (logica del core language, come ad esempio passaggio di parametri, sistema dei tipi, semantica dei comandi) da quelli più strettamente tecnici (come imparare a usare librerie e strumenti di sviluppo, come IDE e debugger). - SALVO IVANO (programma) Programma: Parte I: Programmazione a Oggetti con C++ 1. Introduzione alla programmazione a oggetti. 2. Obiettivi del linguaggio C++. 3. Definizioni di classi. Campi e metodi. Invocazioni di metodi. 4. Modificatori di visibilità. Interfaccia e implementazione. 5. Costruttori. Oggetti sullo stack e sullo heap. Distruttori. 6. Ereditarietà. 7. Binding dinamico dei metodi virtual. 8. Metodologie di programmazione a oggetti. Esempi. 9. Templates. Concetto e definizione. Classi generiche di strutture dati. La Standard Template Library. 10. Verso una programmazione matura: le Eccezioni. Parte II: Programmazione Funzionale con Haskell 11. Introduzione alla programmazione funzionale e al linguaggio Haskell. 12. Tipi polimorfi e lazy evaluation in Haskell.   Sono suggeriti i seguenti libri: Bruce Eckel: Thinking in C++ (2nd Edition), Prentice Hall, 2000. Graham Hutton: Programming in Haskell, Cambridge University Press, 2007 Vengono inoltre pubblicati numerosi materiali dal docente, sotto forma di codici di programmi esemplificativi degli argomenti trattati o soluzioni di homework o progetti degli anni precedenti. Vengono infine segnalate numerose risorse WEB sulla programmazione in C++ e Haskell. (Date degli appelli d'esame) 3    -  36  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)  ITA

Secondo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1051921 - STORIA DELLA MATEMATICA (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze generali delle tappe principali dello sviluppo storico della matematica dall'epoca greca agli inizi del diciassettesimo secolo. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito le conoscenze di base e gli strumenti metodologici adeguati per approfondire lo studio della storia della matematica. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare la lettura e la comprensione di alcuni dei brani più significativi delle opere di Euclide, Archimede, Cavalieri, Torricelli, Cartesio, Fermat, Newton e Leibniz (in traduzione italiana) e di confrontare i metodi utilizzati da questi autori con quelli della matematica contemporanea. Saranno anche in grado di apprezzare la valenza didattica di un approccio storico alla matematica e di applicarla in futuro alla progettazione di percorsi didattici di insegnamento nella scuola. Capacità critiche e di giudizio: lo studente riceverà le basi necessario per apprezzare lo sviluppo storico dei concetti e delle tecniche elementari della geometria e dell'analisi e per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati nel corso e quelli trattati nei corsi di Calcolo I, Analisi Matematica I e Geometria I. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti del corso nella parte orale della verifica e di sintetizzare le conoscenze acquisite nello svolgimento del tema proposto nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di Laure Magistrale, relativo ad aspetti più specialistici di storia della matematica. - ROGORA ENRICO (programma) La matematica greca: la teoria delle proporzioni e il metodo di esaustione di Eudosso, gli elementi di Euclide e la loro impostazione assiomatica, l’opera geometrica di Archimede. La matematica del rinascimento: la teoria delle equazioni algebriche, la teoria della prospettiva e il recupero dell'opera di Archimede. Galileo e i suoi discepoli: la necessità di trattare matematicamente il movimento; l'opera di Bonaventura Cavalieri e di Evangelista Torricelli. La nascita della geometria analitica: l'opera di Descartes e di Fermat. La nascita del calcolo differenziale: l'opera di Leibniz e di Newton.   Appunti del docente disponibili in rete. Brani originali disponibili in rete, in traduzione italiana. (Date degli appelli d'esame)	6	MAT/04	48	-	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
AAF1007 - PROVA FINALE	9		-	-	-	-	Per la prova finale e la lingua straniera (art.10, comma 5, lettera c)	ITA
AAF1149 - altre conoscenze utili per l'inserimento nel mondo del lavoro - MALUSA ANNALISA (Date degli appelli d'esame)	3		-	-	-	-	Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)	ITA
- - A SCELTA DELLO STUDENTE	6		48	-	-	-	Attività formative a scelta dello studente (art.10, comma 5, lettera a)	ITA

Matematica per le applicazioni

Primo anno

Primo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
L'esame è propedeutico a tutti gli esami del secondo e del terzo anno 97786 - ALGEBRA LINEARE (obiettivi) Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base sui sistemi lineari, sugli spazi vettoriali e sulle applicazioni lineari. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla risoluzione di sistemi lineari e all'interpretazione geometrica delle loro soluzioni, al calcolo matriciale, alla teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra essi, con particolare attenzione al caso degli endomorfismi di uno spazio vettoriale e delle decomposizioni in autospazi ad essi associate. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere sistemi di equazioni lineari un un arbitrario numero (finito) di variabili, di riconoscere problemi matematici rappresentati da applicazioni lineari tra spazi vettoriali e utilizzare questo fatto per la loro risoluzione; sarà in grado di operare con le matrici e di stabilire la risolubilità di un sistema lineare e l'invertibilità di un'applicazione lineare mediante considerazioni sul rango e mediante il calcolo del determinante delle matrici associate; inoltre sarà in grado di calcolare gli autovalori di un endomorfismo lineare e determinare la decomposizione in autospazi ad esso associata; acquisirà inoltre i primi rudimenti di strutture algebriche fondamanetali che saranno poi approfondite nei corsi successivi, come ad esempio, il concetto di gruppo. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di teoria dei gruppi (che vedrà nel corso di Algebra 1), funzioni reali più variabili (che vedrà nel corso di Analisi 2), geometria delle quadriche e dello spazio proiettivo (che vedrà nel corso di Geometria 1). Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici della teoria degli operatori lineari non più limitati al caso di dimensione finita, di quella delle famiglie di spazi vettoriali (fibrati vettoriali) e di quella delle decomposioni in autospazi relativa ad algebre commutative di endomorfismi (la teoria dei sistemi di radici). Canale: 2 - BANDIERA RUGGERO (programma) Insiemi, funzioni, relazioni, induzione matematica. Numeri complessi. Anelli, campi. Spazi vettoriali, dipendenza lineare, basi. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari, isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Duale di uno spazio vettoriale. Spazi affini. Applicazioni affini. Coordinate affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Applicazioni multilineari. Determinanti. Formula di Binet, sviluppo di Laplace. Endomorfismi, autovalori, autospazi, polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton. Matrici coniugate, matrici diagonalizzabili. Prodotto scalare euclideo su uno spazio vettoriale reale, basi ON, proiezione ortogonale, algoritmo di Gram-Schmidt. Prodotto scalare hermitiano su uno spazio vettoriale complesso. Gruppo ortogonale e unitario. Spazi affini euclidei (di dimensione finita). Isometrie.   - Dispense online del prof. O'Grady. - Dispense online del prof. Manetti. (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - O'GRADY KIERAN GREGORY (programma) Insiemi, funzioni, relazioni, induzione matematica. Gruppi e azioni di gruppi. Anelli, campi. Spazi vettoriali, dipendenza lineare, basi. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari, isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Duale di uno spazio vettoriale. Spazi affini. Applicazioni affini. Coordinate affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Applicazioni multilineari. Determinanti. Formula di Binet, sviluppo di Laplace. Endomorfismi, autovalori, autospazi, polinomio caratteristico. Matrici coniugate, matrici diagonalizzabili. Prodotto scalare euclideo su uno spazio vettoriale reale, basi ON, proiezione ortogonale, algoritmo di Gram-Schmidt. Prodotto scalare hermitiano su uno spazio vettoriale complesso. Gruppo ortogonale e unitario. Spazi affini euclidei (di dimensione finita). Isometrie. Classificazione delle isometrie in dimensione bassa. Gruppi discreti di isometrie di un piano euclideo.   Testo (pdf) del docente disponibile in rete. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/03	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA
L'esame è propedeutico a tutti gli esami del secondo e del terzo anno 97794 - CALCOLO I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire una conoscenza delle tecniche elementari del Calcolo Differenziale ed Integrale e delle principali applicazioni a problemi di massimo-minimo, allo studio del grafico di funzioni, alla convergenza delle serie numeriche, del calcolo delle primitive e degli integrali definiti. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito le nozioni e i risultati di base del Calcolo Differenziale ed Integrale con particolare attenzione ai concetti di funzione, limite di funzione, continuità, convergenza di serie numeriche, derivata ed integrale. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sara' in grado di risolvere semplici problemi del Calcolo Differenziale ed Integrale, quali il calcolo esplicito di derivate, il calcolo del massimo e minimo locale e globale di funzioni di una variabile, il disegno approssimativo del grafico di funzioni, il calcolo di integrali definiti ed indefiniti, la determinazione del carattere di una serie numerica.. Capacita' critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per utilizzare un grafico come strumento di analisi di una situazione concreta descrivibile matematicamente. Acquisirà anche gli strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici insieme a nozioni di base necessarie nei successivi corsi di analisi matematica, analisi numerica e fisica matematica. Capacita' comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso, relativo ad aspetti più avanzati del Calcolo Differenziale e al Calcolo Integrale. Canale: 2 - D'ANCONA PIERO ANTONIO (programma) Numeri: Numeri naturali, interi relativi e razionali, operazioni e ordinamento. Introduzione ai numeri reali. Estremo superiore ed estremo inferiore. Induzione e combinatoria. Funzioni reali di variabile reale: Definizione di funzione, esempi. Operazioni tra funzioni, composizione. Funzioni limitate, monotone, simmetrie e periodicità. Iniettività, suriettività, funzioni invertibili. Funzioni di base: potenze e radici, esponenziali e logaritmi, funzioni trigonometriche. Limiti: Limiti finiti al finito. Strumenti per il calcolo dei limiti. Limiti infiniti e/o all’infinito, forme indeterminate. Asintoti. Confronto tra infinitesimi e confronto tra infiniti, principi di sostituzione. Limiti di successioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Criterio di Cauchy. Caratterizzazione sequenziale dei limiti. Successioni monotone, il numero di Nepero. Successioni definite per ricorrenza. Serie numeriche. Serie a termini non negativi: regolarità, Criterio del confronto, Criterio del confronto asintotico, Criterio della radice e Criterio del rapporto. Convergenza semplice e assoluta, Criterio di Leibniz. Continuità: Definizione e prime proprietà. Classificazione delle discontinuità. Teorema di Weiestrass, Teorema degli zeri, Teorema dei valori intermedi. Calcolo differenziale: Definizione di derivata e strumenti di calcolo. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange e sue conseguenze dirette, proprietà di Darboux delle derivate, Teorema di Cauchy e di L’Hopital. Derivate successive e Formula di Taylor, convessità. Studio di funzioni. Integrali indefiniti: Primitive, integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Altri metodi di integrazione. Integrali definiti: Definizione e proprietà generali. Classi di funzioni integrabili. Teorema della Media Integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Alcune applicazioni del calcolo integrale. Integrali impropri.   Il testo di riferimento del corso e' disponibile e liberamente scaricabile dalla pagina web del docente. Il testo e' inoltre corredato da vari fogli di esercizi e da raccolte di prove tipo di esame. (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - ORSINA LUIGI (programma) - Numeri reali, successioni e serie - Limiti di funzioni - Funzioni continue e derivabili - Integrazione secondo Riemann   Appunti online (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA
AAF1101 - LINGUA INGLESE (obiettivi) Obiettivi generali: raggiungere il livello B1 relativo al Quadro Comune Europeo di riferimento per la conoscenza delle lingue. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le abilità linguistiche previste per il livello B1: • riesce a comprendere gli elementi principali di un discorso chiaro in lingua standard; • riesce a comprendere testi scritti relativi all’ambito lavorativo o alla sfera quotidiana; • è in grado di affrontare e partecipare a conversazioni familiari, relative alla vita quotidiana o di interesse personale attraverso semplici espressioni; • è in grado di scrivere testi semplici in merito a argomenti conosciuti e di interesse personale. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di conoscere le strutture grammaticali, il vocabolario e comprendere testi scritti e orali relativi al livello B1. Capacità critiche e di giudizio: lo studente sarà in grado di analizzare testi, scritti e orali, relativi al livello B1 in maniera autonoma. Capacità comunicative: lo studente sarà in grado di comunicare in modo semplice e indipendente in situazioni familiari, affrontare situazioni comunicative in un paese straniero e parlare di argomenti di interesse personale. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno allo studente di consolidarle in un corso successivo per raggiungere il livello B2. - Erogato presso  AAF1101 LINGUA INGLESE in Matematica L-35 NESSUNA CANALIZZAZIONE DINDAR MERVE (Date degli appelli d'esame)	1    8  -  -  -  Per la prova finale e la lingua straniera (art.10, comma 5, lettera c)  2    16  -  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)							ITA
10589897 - LABORATORIO DI PROGRAMMAZIONE E CALCOLO (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire competenza di programmazione informatica in C/C++, che è uno dei linguaggi più utilizzato dagli sviluppatori, acquisire conoscenze di base in analisi numerica e applicare le abilità informatiche acquisite alla risoluzione di problemi matematici. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno una conoscenza di base della programmazione informatica, della aritmetica della macchina e saranno capaci di capire come strutturare algoritmi relativamente semplici per risolvere effettivamente problemi matematici. Gli studenti avranno anche acquisito le nozioni fondamentali sulla stabilità e la convergenza di metodi numerici elementari e la complessità degli algoritmi associati. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere attraverso algoritmi informatici adeguati, problemi matematici relativamente semplici. Sarà anche capace di progettare e implementare programmi informatici che interagiscano in modo appropriato con un potenziale utente. Potranno dare risposte a questioni semplici legate ad esempio a problemi di estrazione di informazioni a partire da un insieme di dati discreti, di calcolo di aree e di probabilità, di approssimazione della soluzione di sistemi lineari, di approssimazione di zeri di funzioni scalari non lineari. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare algoritmi matematici elementari dal punto di vista della efficienza computazionale, la stabilità e la accuratezza. Da una parte, sarà in grado di applicare le competenze appena acquisite nelle discipline di Calcolo I e Algebra lineare per analizzare metodi numerici elementari e da l’altrà potrà risolvere numericamente problemi proposti in queste discipline più teoriche attraverso algoritmi semplici. Sarà inoltre in grado di capire che spesso risultati matematici teorici devono essere riformulati per renderli utili nella pratica del calcolo in aritmetica finita. Capacità comunicative: capacità di esporre e motivare la risoluzione proposta a certi problemi scelti in classe alla lavagna, in sessioni scelte di esercitazioni in aula, e alla prova orale prevista alla fine del corso, svolta davanti al computer. Capacità di apprendimento: da una parte le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di Analisi numerica, relativo ad aspetti più specialistici e che richiedono ulteriori conoscenze matematiche. Da l’altra parte lo studente dovrà prendere familiarità e praticità con diversi elementi informatici come il linguaggio di programmazione informatica, le librerie, i compilatori, i diversi software disponibili in rete che offrono un intorno di sviluppo integrato sotto diversi sistemi operativi, etc. Queste abilità gli permetteranno sicuramente di imparare con più facilità l’utilizzo di altri software di interesse per il calcolo scientifico e il mondo del lavoro. Canale: 1 - NOSCHESE SILVIA (programma) Introduzione alla programmazione (30 ore in aula e 12 in laboratorio ) Aritmetica della macchina, nozione e propagazione degli errori Algoritmi: Costo computazionale ed efficienza Programmazione in pseudocodice e introduzione alle istruzioni per il controllo del flusso Compilatori e ambienti di sviluppo integrato Struttura di base dei programmi in C Variabili, tipo, istruzioni di INPUT/OUTPUT Operatori aritmetici, cicli Operatori relazionali, logici, espressioni condizionali Libreria math.h Linee di guida per lavorare in ambiente Linux Arrays e allocazione della memoria Ordinamento di vettori Funzioni C++ Visualizzazione grafica di funzioni e dati Introduzione all’Analisi Numerica (30 ore in aula e 12 in laboratorio) Metodo di eliminazione di Gauss Metodo di Jacobi Metodi iterativi per equazioni scalari non lineari Introduzione alla interpolazione polinomiale Introduzione alla quadratura numerica   Nella pagina e-learning del corso sarà reso disponibile materiale didattico relativo agli argomenti delle lezioni. (Date degli appelli d'esame) - PUPPO GABRIELLA ANNA (programma) Introduzione alla programmazione (30 ore in aula e 15 in laboratorio ) Aritmetica della macchina, nozione e propagazione degli errori Algoritmi: Costo computazionale ed efficienza Programmazione in pseudocodice e introduzione alle istruzioni per il controllo del flusso Compilatori e ambienti di sviluppo integrato Struttura di base dei programmi in C Variabili, tipo, istruzioni di INPUT/OUTPUT Operatori aritmetici, cicli Operatori relazionali, logici, espressioni condizionali Libreria math.h Linee di guida per lavorare in ambiente Linux Arrays e allocazione della memoria Ordinamento di vettori Funzioni C++ Visualizzazione grafica di funzioni e dati Introduzione all’Analisi Numerica (30 ore in aula e 15 in laboratorio) Metodo di eliminazione di Gauss Metodo di Jacobi Metodi iterativi per equazioni scalari non lineari Introduzione alla interpolazione polinomiale Introduzione alla quadratura numerica   1. Luis J. Aguilar, “Fondamenti di programmazione in C++”. McGraw-Hill, 2008. 2. Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie, “Linguaggio C”. 3. W. Gautschi, “Numerical analysis. An introduction”. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1997. 4. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, “Matematica Numerica”. Springer-Collana, 2000. Nella pagina e-learning del corso sarà reso disponibile materiale didattico relativo agli argomenti delle lezioni. Canale: 2 - Erogato presso  10589897 LABORATORIO DI PROGRAMMAZIONE E CALCOLO in Matematica L-35 2 FALCONE MAURIZIO, Saluzzi Luca (Date degli appelli d'esame)	9	INF/01	48	36	-	-	Attività formative affini ed integrative	ITA

Secondo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1015374 - ANALISI MATEMATICA I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze che consentano di estendere le conoscenze precedentemente acquisite di Analisi Matematica in una variabile al caso multidimensionale e a qualche spazio funzionale. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito la capacita’ di comprendere costruzioni analitiche nel caso ci siano piu’ variabili indipendenti. Lo studente avra’ anche familiarizzato con la nozione di uniformita’. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere problemi che richiedano l’uso del calcolo differenziale e integrale in spazi multidimensionali. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le nozioni per continuare il suo percorso in Analisi Matematica affrontando i corsi superiori. . Capacità comunicative: capacità di esporre i concetti studiati sia in forma scritta che in forma orale. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di perfezionare le capacità logiche e di apprendimento. Canale: 1 - MONTEFUSCO EUGENIO (programma) Il programma del corso è ripartito approssimativamente in tre blocchi didattici, di durata compresa tra le 3 e le 4 settimane di corso. Ogni unità didattica comprende una parte di teoria e le relative sessioni di esercitazioni come lezioni frontali, circa un terzo delle lezioni sarà svolto con le modalità della lezione capovolta (flipped lectures). Durante lo svolgimento delle lezioni sarà data particolare attenzione allo sviluppo delle seguenti competenze: formalizzazione del ragionamento astratto, capacità di analisi e sintesi, risolvere problemi, comunicazione orale e scritta. Spazi metrici (30h). Definizione di spazio metrico ed esempi. Metrica discreta, metrica euclidea e altre metriche in R, Q, R^D . Gli spazi l^p , C^0 e C^1. Successioni in spazi metrici: successioni convergenti, successioni di Cauchy, completezza e completamento. Completezza di C(X,Y), definizione di R come completamento di Q, non completezza di C^0 con metrica integrale. Successioni definite per ricorrenza e teorema delle contrazioni. Topologia negli spazi metrici: insiemi aperti, chiusi; compattezza e compattezza per successioni (teorema di caratterizzazione), teorema di Heine-Borel; connessione. Funzioni continue fra spazi metrici, teorema di Weierstrass, semicontinuità, uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor. Continuità di funzioni in più variabili reali, esempi di continuità e discontinuità, coordinate polari. Derivate parziali e direzionali, differenziabilità e piano tangente: teorema del differenziale totale. Successioni e serie di funzioni (30h). Convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme di funzioni continue e risultati di passaggio al limite sotto al segno di integrale e di derivata. Criterio di Cauchy uniforme per le serie di funzioni. Convergenza totale e criterio di Weierstrass. Teoremi di integrazione e derivazione per serie. Compattezza in C^0, equilipschitzianità, equicontinuità ed equilimitatezza di famiglie di funzioni continue, teorema di Ascoli-Arzelà. Serie di potenze in campo reale e complesso, raggio di convergenza, convergenza sul bordo. Sviluppo di Taylor e serie di Taylor, funzioni analitiche reali. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel, lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet, convergenza uniforme e identità di Parseval. Lo spazio di Hilbert l^2. Equazioni differenziali (30h). Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili. Intervallo massimale di definizione e teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, struttura dell’insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee e non omogenee. Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti.   Note a cura del docente, N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 2, W. Rudin, Principi di Analisi Matematica. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - SPADARO EMANUELE NUNZIO (programma) Il programma del corso è ripartito approssimativamente in tre blocchi didattici, di durata compresa tra le 3 e le 4 settimane di corso. Ogni unità didattica comprende una parte di teoria e le relative sessioni di esercitazioni come lezioni frontali, circa un terzo delle lezioni sarà svolto con le modalità della lezione capovolta (flipped lectures). Durante lo svolgimento delle lezioni sarà data particolare attenzione allo sviluppo delle seguenti competenze: formalizzazione del ragionamento astratto, capacità di analisi e sintesi, risolvere problemi, comunicazione orale e scritta. Spazi metrici (30h). Definizione di spazio metrico ed esempi. Metrica discreta, metrica euclidea e altre metriche in R, Q, R^D . Gli spazi l^p , C^0 e C^1. Successioni in spazi metrici: successioni convergenti, successioni di Cauchy, completezza e completamento. Completezza di C(X,Y), definizione di R come completamento di Q, non completezza di C^0 con metrica integrale. Successioni definite per ricorrenza e teorema delle contrazioni. Topologia negli spazi metrici: insiemi aperti, chiusi; compattezza e compattezza per successioni (teorema di caratterizzazione), teorema di Heine-Borel; connessione. Funzioni continue fra spazi metrici, teorema di Weierstrass, semicontinuità, uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor. Continuità di funzioni in più variabili reali, esempi di continuità e discontinuità, coordinate polari. Derivate parziali e direzionali, differenziabilità e piano tangente: teorema del differenziale totale. Successioni e serie di funzioni (30h). Convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme di funzioni continue e risultati di passaggio al limite sotto al segno di integrale e di derivata. Criterio di Cauchy uniforme per le serie di funzioni. Convergenza totale e criterio di Weierstrass. Teoremi di integrazione e derivazione per serie. Compattezza in C^0, equilipschitzianità, equicontinuità ed equilimitatezza di famiglie di funzioni continue, teorema di Ascoli-Arzelà. Serie di potenze in campo reale e complesso, raggio di convergenza, convergenza sul bordo. Sviluppo di Taylor e serie di Taylor, funzioni analitiche reali. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel, lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet, convergenza uniforme e identità di Parseval. Lo spazio di Hilbert l^2. Equazioni differenziali (30h). Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili. Intervallo massimale di definizione e teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, struttura dell’insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee e non omogenee. Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti.   Note a cura del docente, N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 2, W. Rudin, Principi di Analisi Matematica. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA
1022430 - PROBABILITA' I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base nella teoria della probabilità. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria della probabilità su spazi finiti e numerabili, al concetto di vettore aleatorio discreto e al concetto di variabile aleatoria continua. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di probabilità discreta, problemi inerenti vettori casuali discreti e numeri casuali rappresentati da variabili aleatorie continue. Lo studente sarà anche in grado di apprezzare il significato e le implicazioni dell`indipendenza e del condizionamento (nell’ambito di modelli discreti), comprendere il significato di alcuni teoremi limite fondamentali, quali la legge dei grandi numeri. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di analisi e combinatoria (acquisiti nei corsi di Calcolo e trattati nel corso di Analisi Matematica 1). Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso relativo ad aspetti più specialistici di teoria della probabilità. Canale: 2 - ISOPI MARCO (programma) esercizi di probabilità   F. Caravenna, P. Dai Pra: Probabilità (Springer) S. Ross: Probabilità. (Apogeo) F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti) - NAPPO GIOVANNA (programma) - Introduzione alla teoria della probabilità. Assiomi e regole di corrispondenza. - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione. Coefficienti binomiali e multinomiali. - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti. Schemi di Bernoulli. - Distribuzione binomiale, multinomiale e ipergeometrica. - Probabilità condizionate. Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes. - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità. - Passeggiata aleatoria. Problema della rovina del giocatore. - Variabili aleatorie discrete: distribuzione, valore atteso, varianza e covarianza. - Variabili aleatorie indipendenti. - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali. - Variabile geometrica e sua perdita di memoria, variabile binomiale negativa. - Somma di variabili aleatorie indipendenti. - Variabile di Poisson come limite di binomiali. - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate. - Diseguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri. - Valore atteso condizionato e sua interpretazione geometrica. - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore atteso e varianza. - Variabile aleatoria uniforme. Rappresentazione di Skorohod. - Variabile esponenziale come limite di geometriche. - Variabili aleatorie gaussiane. Teorema di De Moivre Laplace sull'approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana. Il programma verrà svolto insieme al Prof. Isopi (per 6/7 dalla Prof. Nappo e 1/7 dal Prof. Isopi)   F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti disponibili sul sito e-learning del corso) F. Caravenna, P. Dai Pra: Probabilità (Springer) S. Ross: Probabilità. (Apogeo) Altro materiale didattico sarà a disposizione sulla piattaforma e-learning "Sapienza" con Moodle (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - BERTINI MALGARINI LORENZO (programma) https://www.mat.uniroma1.it/people/bertini/ama/didattica/probab1/   https://www.mat.uniroma1.it/people/bertini/ama/didattica/probab1/ (Date degli appelli d'esame) - SILVESTRI VITTORIA (programma) Fare riferimento alla scheda del Prof. Lorenzo Bertini per lo stesso corso.   Fare riferimento alla scheda del Prof. Lorenzo Bertini per lo stesso corso.	9	MAT/06	48	36	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1022431 - GEOMETRIA I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire le tecniche di diagonalizzazione delle forme quadratiche e conoscenze di base di geometria affine, euclidea e proiettiva. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito i risultati di base sulla diagonalizzabilità delle forme quadratiche e degli operatori simmetrici, e le nozioni elementari di geometria affine, euclidea e proiettiva, e delle trasformazioni naturali in ciascuno di questi ambiti. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso della diagonalizzabilità delle forme quadratiche, e di risolvere problemi elementari di geometria affine, euclidea e proiettiva. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà acquisito la maturità necessaria a riconoscere le strette relazioni tra algebra lineare e geometria, con riferimento in particolar modo a quanto acquisito nel primo corso di Algebra Lineare; avrà inoltre acquisito gli strumenti per formulare e risolvere in un linguaggio moderno problemi classici della geometria. Capacità comunicative: capacità di esporre con chiarezza le nozioni, definizioni, teoremi e soluzioni di problemi durante la parte scritta e la parte orale dell’esame. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare con sicurezza lo studio successivo di teorie geometriche più astratte e tecniche quali la topologia e la geometria differenziale. Canale: 1 - SAMBUSETTI ANDREA (programma) Prima parte: geometria affine e euclidea. - Forme quadratiche e teorema spettrale. - Spazi e sottospazi affini, euclidei e hermitiani. - Applicazioni affini, endomorfismi ortogonali/unitari, endomorfismi simmetrici/hermitiani, classificazione. - Gruppi di trasformazioni lineari, affini, euclidee e unitarie. - Esercizi ed esempi: disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare, formula di Fourier; proprietà di incidenza di sottospazi; traslazioni, omotetie, collineazioni, similitudini, isometrie, riflessioni, rotazioni, proiezioni ecc.; gruppi di simmetrie. Seconda parte: coniche e quadriche. - Coniche e quadriche affini (reali e complesse) ed euclidee. - Invarianti affini e euclidei, teoremi di classificazione affine ed euclidea. - Esercizi ed esempi: parametrizzazione di coniche e quadriche, coni e cilindri, intersezioni con piani, proprietà focali, riduzione esplicita affine e metrica, uso del teorema spettrale ecc. Terza parte: geometria proiettiva. - Spazio proiettivo, motivazioni e modelli. - Punti all'infinito di sottospazi affini e quadriche, omogeneizzazione e de-omogeneizzazione di equazioni; parte affine di un sottoinsieme proiettivo. - Sottospazi proiettivi e loro dimensione; rette, piani, iperpiani; equazioni cartesiane, relazione tra equazioni e dimensione, formula di Grassmann proiettiva. - Punti in posizione generale, riferimenti proiettivi, coordinate omogenee, cambi di coordinate proiettive, proiettività e relazione con le affinità; proiezioni centrali, teorema di Desargues. - Coniche e quadriche proiettive.   - Sernesi, Geometria 1 (Boringhieri) - Fortuna-Frigerio-Pardini, Geometria proiettiva: problemi risolti e richiami di teoria (Springer) - fogli di esercizidel docente, disponibili on-line settimanalmente. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - PAPI PAOLO (programma) 1. Complementi di Algebra Lineare: 1.1 forme bilineari simmetriche e teorema di Sylvester 1.2 forme hermitiane 1.3 teoremi spettrali per operatori autoaggiunti 1.4 operatori unitari 2. Spazi affini e Spazi euclidei. 3. Gruppo delle Affinita` e Gruppo delle Isometrie. 4. Geometria proiettiva: 4.1 spazi proiettivi, sottospazi, spazi proiettivi e spazi affini. 4.2 proiettivita` 4.3 invariati proiettivi; birapporto. 5. Classificazione proiettiva, affine ed euclidea delle coniche e delle quadriche. 6. Curve algebriche: fondamenti, studio locale, singolarità.   Edoardo Sernesi, Geometria 1, Ed. Boringhieri, Seconda Edizione. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/03	48	36	-	-	Attività formative di base	ITA

Secondo anno

Primo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1015376 - ANALISI MATEMATICA II (obiettivi) Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire i principali strumenti dell’Analisi Matematica riguardanti le funzioni di più variabili reali. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: gli studenti che supereranno l'esame di fine corso avranno una conoscenza approfondita dei principali concetti dell'analisi matematica relativi a funzioni di più variabili, con particolare attenzione al calcolo differenziale, all'invertibilità, alla teoria dell'integrazione, ai risultati di integrabilità di forme differenziali, a teoremi fondamentali, quali quello della divergenza e di Stokes . Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che supereranno l'esame di fine corso saranno in grado di applicare varie tecniche di calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili. In particolare saranno in grado di calcolare integrali di funzioni di due e tre variabili, e applicare le tecniche del calcolo alla soluzione di vari tipi di problemi quali ad esempio la ricerca di massimi e minimi vincolati e non, il calcolo della primitiva di una forma differenziale o l'area di una superficie. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e quelli relativi alla teoria delle funzioni di una sola variabile reale (acquisiti nel corso di Calcolo I) e alla teoria generale degli spazi metrici (acquisiti nel corso di Analisi I); avrà anche un primo approccio alla teoria della misura che verrà approfondita nel successivo corso di Analisi Reale. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici di teoria della misura e spazi funzionali. Canale: 2 - GARRONI ADRIANA (programma) Curve parametriche Funzioni, limiti e continuità. Calcolo differenziale per funzioni scalari di più variabili. Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali. Calcolo differenziale per funzioni complesse. Integrali curvilinei, forme differenziali e campi vettoriali. Integrali doppi e formule di Gauss-Green. Integrali complessi, singolarità e residui. Integrali di superficie, Teorema di Stokes e Teorema della divergenza   Sulla pagina e-learning del corso saranno rese disponibili sia note del corso che materiale didattico relativo agli esercizi. Fusco Marcellini Sbordone: Lezioni di Analisi matematica due. Zanichelli Pagani Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - MALUSA ANNALISA (programma) Curve parametriche Funzioni, limiti e continuità. Calcolo differenziale per funzioni scalari di più variabili. Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali. Calcolo differenziale per funzioni complesse. Integrali curvilinei, forme differenziali e campi vettoriali. Integrali doppi e formule di Gauss-Green. Integrali complessi, singolarità e residui. Integrali di superficie, Teorema di Stokes e Teorema della divergenza   Sulla pagina elearning del corso saranno rese disponibili sia note del corso che materiale didattico relativo agli esercizi. Fusco Marcellini Sbordone: Lezioni di Analisi matematica due. Zanichelli Pagani Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1035136 - FISICA GENERALE I (obiettivi) Introduzione ai concetti fondamentali della Meccanica e della Termodinamica. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare argomenti di base concernenti la meccanica e la termodinamica, avendo raggiunto una buona familiarita' con concetti fondamentali quali lavoro, energia e leggi di conservazione. Saranno inoltre in grado di affrontare e risolvere problemi di meccanica e termodinamica applicando le principali leggi della Fisica. Per ottenere tali finalita', e affinche' lo studente sviluppi le capacita' di comunicare quanto appreso e di proseguire lo studio in modo autonomo, si intende coinvolgerlo, durante le lezioni ed esercitazioni, attraverso quesiti di natura generale e specifica, legati agli argomenti trattati e attraverso la presentazione, in aula, di approfondimenti concordati col docente. Canale: 2 - FELICI MARCO (programma) MECCANICA Cinematica e Dinamica del punto materiale - Il metodo scientifico, definizione operativa delle grandezze fisiche, sistemi di unità di misura ed equazioni dimensionali. - Elementi di calcolo vettoriale: somma, differenza di vettori. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. - Cinematica: traiettoria, velocità e accelerazione (MEDIA ed ISTANTANEA); o Moto rettilineo uniforme. o Moto uniformemente accelerato. o Moto circolare uniforme. o Moto circolare accelerato. o Moto vario. o Accelerazione di gravità. - Dinamica del punto materiale: o Sistemi di riferimento inerziali. o Principio di inerzia. o Forza ed accelerazione, leggi di Newton. o Quantità di Moto, Teorema dell’impulso. o Esempi di forze: forze di contatto, reazioni vincolari, attrito resistenza del mezzo, forza elastica. o Sistemi non inerziali: forze apparenti. - Lavoro, Energia cinetica, teorema dell’energia cinetica. - Campi conservativi, Energia potenziale. - Conservazione dell’energia meccanica. Moto in un campo conservativo, punti di equilibrio. - Moti armonici: Periodo, Frequenza, Energia dell’oscillatore. o Pendolo Semplice. o Molla in 1 dimensione. o Oscillatore forzato e smorzato. - Elementi di dinamica della rotazione: o Momento di una forza. o Momento Angolare. o Energia cinetica rotazionale. - Forza gravitazionale, moto nel campo gravitazionale, leggi di Keplero. Cinematica e Dinamica dei sistemi - Definizione di sistema fisico, leggi fondamentali. - Definizione del centro di massa. - I Equazione cardinale: teorema del moto del centro di massa. - Sistemi Isolati: considerazioni sul significato del momento angolare. - Urti di due punti materiali, urti elastici ed anelastici, Impulso scambiato. - Dinamica Rotazionale: momento angolare del sistema, teorema del momento angolare (II Equazione Cardinale). - Corpo rigido: definizione, condizione di equilibrio. - Momento di inerzia e rotazione attorno ad un asse fisso; corpo girevole attorno ad un asse fisso. - Leggi di conservazione del moto del corpo rigido. TERMODINAMICA - Grandezze termodinamiche: P,V,T. Equilibrio termodinamico, temperatura (principio zero). - Gas e loro proprietà, gas perfetti. Equazione di stato dei gas perfetti. - Teoria cinetica dei gas: pressione, energia cinetica media e temperatura, concetto di equipartizione dell’energia. - Calore, capacità termica e calore specifico. - Trasformazioni termodinamiche, reversibilità, lavoro termodinamico. - Primo principio della termodinamica, energia interna. - Trasformazioni isobare, isocore, isoterme e adiabatiche. Calori specifici dei gas. - Cicli termodinamici, macchine termiche e loro rendimento. Ciclo di Carnot. - Secondo principio della termodinamica. - Teorema di Carnot, disuguaglianza di Clausius, entropia. Calcolo di variazioni di entropia. Interpretazione microscopica dell’entropia.   C. Mencuccini, V. Silvestrini FISICA Meccanica e Termodinamica Casa Ed. Ambrosiana P. Mazzoldi - M. Nigro - C. Voci Fisica Vol. I - Meccanica e termodinamica EdiSES Sarà distribuito materiale didattico relativo agli esercizi. (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - BALDASSARRE LEONETTA (programma) MECCANICA Cinematica e Dinamica del punto materiale - Il metodo scientifico, definizione operativa delle grandezze fisiche, sistemi di unità di misura ed equazioni dimensionali - Elementi di calcolo vettoriale: somma, differenza di vettori. Prodotto scalare e prodotto vettoriale - Cinematica: traiettoria, velocità e accelerazione (MEDIA ed ISTANTANEA); o Moto rettilineo uniforme o Moto uniformemente accelerato o Moto circolare uniforme o Moto circolare accelerato o Moto vario o Accelerazione di gravità - Dinamica del punto materiale: o Sistemi di riferimento inerziali o Principio di inerzia o Forza ed accelerazione, leggi di Newton o Quantità di Moto, Teorema dell’impulso o Esempi di forze: forze di contatto, reazioni vincolari, attrito resistenza del mezzo, forza elastica. o Sistemi non inerziali: forze apparenti - Lavoro, Energia cinetica, teorema dell’energia cinetica - Campi conservativi, Energia potenziale - Conservazione dell’energia meccanica. Moto in un campo conservativo, punti di equilibrio - Moti armonici: Periodo, Frequenza, Energia dell’oscillatore o Pendolo Semplice o Molla in 1 dimensione o Oscillatore forzato e smorzato - Elementi di dinamica della rotazione: o Momento di una forza o Momento Angolare o Energia cinetica rotazionale - Forza gravitazionale, moto nel campo gravitazionale, leggi di Keplero Cinematica e Dinamica dei sistemi - Definizione di sistema fisico, leggi fondamentali - Definizione del centro di massa - I Equazione cardinale: teorema del moto del centro di massa - Sistemi Isolati: considerazioni sul significato del momento angolare - Urti di due punti materiali, urti elastici ed anelastici, Impulso scambiato - Dinamica Rotazionale: momento angolare del sistema, teorema del momento angolare (II Equazione Cardinale) - Corpo rigido: definizione, condizione di equilibrio. - Momento di inerzia e rotazione attorno ad un asse fisso; corpo girevole attorno ad un asse fisso - Leggi di conservazione del moto del corpo rigido. TERMODINAMICA - Grandezze termodinamiche: P,V,T. Equilibrio termodinamico, temperatura (principio zero). - Gas e loro proprietà, gas perfetti. Equazione di stato dei gas perfetti. - Teoria cinetica dei gas: pressione, energia cinetica media e temperatura, concetto di equipartizione dell’energia. - Calore, capacità termica e calore specifico. - Trasformazioni termodinamiche, reversibilità, lavoro termodinamico. - Primo principio della termodinamica, energia interna. - Trasformazioni isobare, isocore, isoterme e adiabatiche. Calori specifici dei gas. - Cicli termodinamici, macchine termiche e loro rendimento. Ciclo di Carnot. - Secondo principio della termodinamica. - Teorema di Carnot, disuguaglianza di Clausius, entropia. Calcolo di variazioni di entropia. Interpretazione microscopica dell’entropia.   C. Mencuccini, V. Silvestrini FISICA Meccanica e Termodinamica Casa Ed. Ambrosiana P. Mazzoldi - M. Nigro - C. Voci Fisica Vol. I - Meccanica e termodinamica EdiSES Sarà distribuito materiale didattico relativo agli esercizi. (Date degli appelli d'esame)	9	FIS/02	50	40	-	-	Attività formative di base	ITA
Gruppo opzionale: Abilità informatiche - (visualizza) 3                AAF1299 - MATLAB (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire competenza di programmazione informatica in Matlab, che è uno dei linguaggi più utilizzato nella calcolo numerico, e applicare le abilità informatiche acquisite alla risoluzione di alcuni problemi matematici e per la grafica di dati e funzioni. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di implementare algoritmi per la risoluzione di metodi numerici e per la grafica di funzioni e dati utilizzando il software Matlab. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti saranno in grado sviluppare in ambiente Matlab programmi per risolvere problemi formulati con algoritmi implementabili al calcolatore. Saranno in grado di strutturare un programma in funzioni e utilizzare le principali function proprie di Matlab. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare algoritmi matematici elementari e strutturarli con una programmazione vettoriale, struttura più efficente in ambiente Matlab dal punto di vista della efficienza computazionale. Sarà in grado di risolvere tramite programmi matlab alcuni problemi matematici analizzati nelle discipline di Calcolo I e Algebra lineare. Capacità comunicative: capacità di descrivere, tramite algoritmi scritti con linguaggio matlab, la soluzione di alcuni problemi scelti durante le esercitazioni in laboratorio e alla prova scritta prevista alla fine del corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio di problemi che richiedono capacita' di programmazione scientifica o di rappresentazione grafica di funzioni e dati. Canale: 1 - PUPPO GABRIELLA ANNA (programma) Il workspace di Matlab e lo help online Variabili e arrays Cicli di controllo (if, for, while...) Costruzione di scripts e functions Utilizzo delle funzioni native di Matlab Grafica Messaggi di errore e debugging   D. Higham and N. Higham Matlab guide SIAM (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - NOSCHESE SILVIA (programma) Introduzione a MATLAB Tipi di Variabili e aritmetica floating point. Costruzione di array, accesso alle componenti e a blocchi di componenti. Operazioni tra array. Costruzione di una matrice, accesso alle componenti e a blocchi di componenti. Comandi principali per operare con matrici. Programmazione Cicli for e while. Comandi if. Costruzioni di function e script. Debugging. Implementazione di algoritmi per la soluzione numerica di problemi matematici. Visualizzazione Grafica 2d e 3d.   MATLAB. The Language of Technical Computing (documentazione fornita da MATLAB) (Date degli appelli d'esame) 3    -  36  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)  ITA AAF1276 - SISTEMI OPERATIVI (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base sull'uso di software matematici (Mathematica e GAP) per lo studio di strutture algebriche discrete. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente che avrà superato l'esame avrà acquisito la capacità di utilizzare un software matematico orientato allo studio di strutture algebriche discrete. In particolare sarà in grado di rappresentare, disegnare e generare grafi ed altre strutture combinatorie quali permutazioni sottoinsiem Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente che avrà superato l'esame sarà in grado di usare il software (Mathematica e GAP) per esplorare strutture algebriche fondamentali, in particolare i grafi, per testare congetture e risolvere problemi computazionali attraverso la scelta di opportuni algoritmi già implementati nei software. Sarà anche in grado di scrivere semplici programmi per automatizzare i calcoli e di usare i risultati per la preparazione di report scientifici sul tema della matematica discreta. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati nei corsi di algebra e matematica discreta, seguendo un punto di vista. Capacità comunicative: capacità di valersi degli strumenti di calcolo algebrico e di rappresentazione grafica per affrontare ed esporre in maniera incisiva un semplice progetto di matematica discreta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici di algebra e di matematica discreta. Le tecniche di programmazione e di rappresentazione grafica acquisite potranno essergli utili anche per affrontare lo studio di argomenti più elevati e nella preparazione della tesi di laurea. - MASSINI ANNALISA (programma) Struttura di un elaboratore. Concetti generali sui sistemi operativi. I processi. Gestione della memoria. Cenni su gestione dell'I/O. Cenni su File system. Shell programming.   Slide usate a lezione. (Date degli appelli d'esame) 3    -  36  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)  ITA
1051667 - ALGEBRA I (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire le conoscenze di base dell’Algebra. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a: 1) Aritmetica modulare. 2) Teoria dei Gruppi. 3) Teoria degli Anelli. 4) Teoria dei campi e loro estensioni. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di maneggiare in maniera autonoma le tecniche iniziali dell’Algebra astratta e di risolvere semplici problemi nell’ambito delle nozioni acquisite. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni con nozioni acquisite nei corsi del primo anno con particolare riferimento a argomenti concernenti l’algebra lineare e la risoluzione di equazioni algebriche nel campo reale e complesso. Capacità comunicative: Il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee e i contenuti esposti nel corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso successivo al fine di acquisire nozione più avanzate relative alle principali strutture algebriche. Canale: 1 - SPINELLI ERNESTO (programma) Prima parte. Aritmetica su Z e modulare Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica. Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA. Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley. Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti. Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione. Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni. Terza parte. Elementi di teoria degli anelli Anelli, ideali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, campo delle frazioni di un dominio. - Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss, interi somma di due quadrati, ideali primi ed ideali massimali; divisibilità nei domini; elementi primi ed irriducibili. Anelli di polinomi: proprietà universale, polinomi a coefficienti in un dominio, la proprietà euclidea dei polinomi monici, quozienti di anelli di polinomi, lemma di Gauss, criterio di Eisenstein ed altri criteri di irriducibilità; gli elementi irriducibili di Z[x], fattorizzazione unica in Z[x]. Quarta Parte. Elementi di teoria dei campi Estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti, estensioni finite e algebriche, grado di un'estensione, campo di spezzamento di un polinomio. Campi algebricamente chiusi, il teorema fondamentale dell'algebra, radici multiple e criterio della derivata, classificazione dei campi finiti, morfismo di Frobenius, radici n-esime dell’unità ed estensioni ciclotomiche. Costruzioni con riga e compasso (i problemi della trisezione dell'angolo, della quadratura del cerchio, della rettificazione della circonferenza e della duplicazione del cubo). Cenni di teoria di Galois in caratteristica zero.   Herstein, Algebra (Date degli appelli d'esame) - PIRISI ROBERTO Canale: 2 - D'ANDREA ALESSANDRO (programma) Insiemi, applicazioni, cardinalità. Relazioni di equivalenza, insieme quoziente. Teoremi di Cantor. Numeri naturali e principio di induzione. Divisione euclidea. Algoritmo euclideo per il calcolo del MCD. Divisibilità. Primalità e irriducibilità. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Radici razionali di numeri razionali. Irrazionalità di radice di 2. I numeri primi sono infiniti. Esistono infiniti primi della forma 4n-1. Crivello di Eratostene. Struttura di anello di Z/(n). Congruenze e Teorema cinese dei resti. Piccolo teorema di Fermat. Teorema di Cauchy per gruppi abeliani finiti. Funzione toziente di Eulero. Anelli e omomorfismi. Sottoanelli, ideali. Somma e intersezione di ideali; ideali principali. Ideali in Z e divisibilità. Anelli quoziente. Teoremi di omomorfismo per anelli. Ideali primi e massimali. Domini euclidei: polinomi a coefficienti in un campo; interi di Gauss. Fattorizzazione unica in domini euclidei. Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. Campo delle frazioni di un dominio d'integrità. Fattorizzazione unica in R[x], se R è un dominio a fattorizzazione unica. Irriducibilità di polinomi in Z[x]. Fattorizzazione unica in Z[i] e primi di Gauss. Teorema dei due quadrati. Esistono infiniti primi in Z della forma 4n+1. Fattorizzazione unica in domini a ideali principali. Classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati (e dei moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali). Gruppi non abeliani. Gruppi ciclici, diedrali, simmetrici, alterni. Gruppi lineari. Congruenza modulo un sottogruppo e sottogruppi normali. Teoremi di Lagrange e di Cauchy. Omomorfismi di gruppi. Gruppi quoziente e teoremi di omomorfismo. Teorema di Cayley. Azioni di gruppi su insiemi. Orbita e stabilizzatore. Relazione di coniugio e classi coniugate. Centro di un gruppo e centralizzatore di un elemento. Nilpotenza dei p-gruppi finiti. Teoremi di Sylow. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo. Automorfismi di gruppi e automorfismi interni. Prodotti diretti e semidiretti di gruppi. Semplicità dei gruppi alterni. Automorfismi dei gruppi ciclici finiti. Applicazioni. Estensioni di campi. Estensioni algebriche e trascendenti. Estensioni finite e grado di un'estensione. Polinomio minimo di un algebrico. Campi finiti. Estensioni separabili e inseparabili. Argomenti scelti: cenni di Teoria di Galois; esistenza della chiusura algebrica di un campo; reciprocità quadratica; polinomi simmetrici.   I. N. Herstein "Algebra" M. Artin "Algebra" Appunti del docente (Date degli appelli d'esame)	9  MAT/02  40  50  -  -  Attività formative di base  3  MAT/02  30  -  -  -  Attività formative caratterizzanti							ITA

Secondo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1032750 - INFORMATICA GENERALE (obiettivi) Obiettivi generali Acquisire conoscenze di base relativamente al progetto di algoritmi di base, iterativi e ricorsivi, ed alla valutazione della loro efficienza computazionale. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione Al termine del corso gli studenti conosceranno le metodologie di base per la progettazione e l'analisi di algoritmi iterativi e ricorsivi, le principali strutture dati, alcuni modi per scandire tali strutture, i principali algoritmi di ordinamento e le implementazioni più elementari dei dizionari. Avanno una buona conoscenza del linguaggio C, compresi aspetti avanzati come allocazione dinamica di memoria, aritmetica dei puntatori e compilazione separata dei programmi. Applicare conoscenza e comprensione: Al termine del corso gli studenti avranno acquisito familiarità con le principali strutture dati di base, in particolare quelle che implementano i dizionari. Sapranno spiegarne gli algoritmi e analizzarne la complessità, evidenziando come le prestazioni dipendano dalla struttura dati utilizzata. Saranno in grado di progettare nuove strutture dati e i relativi algoritmi, rielaborando quelli esistenti; sapranno spiegare i principali algoritmi di ordinamento, illustrando le strategie di progetto sottostanti e le relative analisi di complessità; saranno in grado di confrontare i comportamenti asintotici dei tempi di esecuzione degli algoritmi studiati; saranno in grado di progettare soluzioni ricorsive di problemi e di analizzare asintoticamente gli algoritmi risultanti. Sapranno infine implementare gli algoritmi e le strutture dati apprese in linguaggio C, con attenzione anche all’analisi di correttezza, alla chiarezza e all’efficienza concreta dei programmi. Capacità critiche e di giudizio Lo studente avrà le basi per analizzare la qualità di un algoritmo e delle relative strutture dati, sia dal punto di vista della effettiva risoluzione del problema che da quello della efficienza computazionale con la quale il problema viene risolto. Capacità comunicative Lo studente acquisirà la capacità di esporre in modo chiaro ed organizzato le proprie conoscenze, capacità che verrà verificata sia mediante i quesiti presentati nelle prove scritte che durante la prova orale. Lo studente sarà in grado di esprimere un’idea algoritmica in modo rigoroso sia ad alto livello, tramite l’uso dello pseudocodice, che in linguaggio C. Capacità di apprendimento Le conoscenze acquisite permetteranno allo studente, una volta concluso il ciclo di studi, di affrontare lo studio, individuale o previsto nell’ambito di un corso di laurea magistrale, di tecniche algoritmiche, di strutture dati più avanzate e di metodologie avanzate di programmazione. Canale: 2 - BONGIOVANNI GIANCARLO (programma) Parte generale (60 ore): Descrizione e progettazione di algoritmi efficienti: Introduzione ai concetti di algoritmo, di struttura dati, di efficienza, di complessita' computazionale. Notazione asintotica. Introduzione alla ricorsione. Il problema dell'ordinamento. Strutture dati fondamentali (vettori, liste, pile, code, code con priorità, alberi). Dizionari. Grafi. Parte sul linguaggio C (30 ore): Linguaggio C: Principi di buona strutturazione dei programmi (programmazione strutturata, sviluppo di programmi corretti seguendo una metodologia top-down strutturando i programmi con utilizzo di funzioni). Richiamo di nozioni elementari del linguaggio C: costrutti iterativi e funzioni, vettori e strutture. Ricorsione in C. Puntatori e allocazione dinamica di memoria. Liste e alberi binari.   Testo di riferimento: T. H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest: Introduction to algorithms, The MIT Press Sarà cura dei docenti distribuire materiale didattico, relativo sia alle lezioni ed esercitazioni della parte generale (sotto forma di dispense) che alla parte sul linguaggio C (sotto forma di dispense e programmi di esempio scritti in linguaggio C). (Date degli appelli d'esame) - FRANCESCHINI GIANNI Canale: 1 - SALVO IVANO (programma) Parte generale (60 ore): Descrizione e progettazione di algoritmi efficienti: Introduzione ai concetti di algoritmo, di struttura dati, di efficienza, di complessità computazionale. Notazione asintotica. Introduzione alla ricorsione. Il problema dell'ordinamento. Strutture dati fondamentali (vettori, liste, pile, code, code con priorità, alberi). Dizionari. Grafi. Parte sul linguaggio C (24 ore): Linguaggio C: Principi di buona strutturazione dei programmi (programmazione strutturata, sviluppo di programmi corretti seguendo una metodologia top-down strutturando i programmi con utilizzo di funzioni). Richiamo di nozioni elementari del linguaggio C: costrutti iterativi e funzioni, vettori e strutture. Ricorsione in C. Puntatori e allocazione dinamica di memoria. Liste e alberi binari.   Testo di riferimento: T. H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest: Introduction to algorithms, The MIT Press Sarà cura dei docenti distribuire materiale didattico, relativo sia alle lezioni ed esercitazioni della parte generale (sotto forma di dispense) che alla parte sul linguaggio C (sotto forma di dispense e programmi di esempio scritti in linguaggio C). (Date degli appelli d'esame) - FRANCESCHINI GIANNI	9	INF/01	50	40	-	-	Attività formative di base	ITA
1001746 - MECCANICA RAZIONALE (obiettivi) Obiettivi generali: Acquisire conoscenze di base in meccanica classica. Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di formulare modelli matematici di problemi di natura meccanica ed impiegare nella loro trattazione i metodi analitici e qualitativi delle equazioni differenziali ordinarie, secondo quanto esposto nel corso. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) condurre l’analisi qualitativa nel piano delle fasi per sistemi unidimensionali conservativi ed effettuare stime quantitative; ii) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio con i metodi (elementari) della teoria di Liapunov; iii) calcolare frequenze di modi normali relativamente a posizioni di equilibrio stabile; iv) operare una scelta appropriata di coordinate lagrangiane nel caso di particolari varietà configurazionali (in particolare angoli di Eulero per SO(3), coordinate sferiche, etc), riconoscere la natura variazionale delle equazioni di Lagrange e sfruttare le conseguenze che da essa discendono; v) utilizzare criteri particolari nella ricerca di integrali primi delle equazioni di Lagrange ed operare la conseguente riduzione ad un numero inferiore di gradi di libertà. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno le basi per analizzare le analogie tra gli argomenti trattati e le conoscenze già acquisite di analisi e geometria; acquisiranno inoltre importanti strumenti e idee che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi fondamentali della meccanica classica. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della meccanica analitica. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di laurea magistrale, di aspetti specialistici della meccanica classica e, più in generale, della teoria dei sistemi dinamici. Canale: 1 - BASILE GIADA (programma) - Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie, equilibri e stabilità. - Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali. - Equazioni cardinali, leggi di conservazione. - Analisi qualitativa dei moti unidimensionali. - Moti centrali e problema di Keplero. - Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange. - Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati. - Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi. - Equilibri, condizione di stabilità e instabilità, piccole oscillazioni. - Simmetrie e teorema di Noether. - Introduzione alla dinamica del corpo rigido.   P. Buttà, P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, Edizioni Nuova Cultura. R. Esposito, Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, Aracne Editrice. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - CAGLIOTI EMANUELE (programma) - Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie, equilibri e stabilità. - Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali. - Equazioni cardinali, leggi di conservazione. - Analisi qualitativa dei moti unidimensionali. - Moti centrali e problema di Keplero. - Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange. - Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati. - Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi. - Equilibri, condizione di stabilità e instabilità, piccole oscillazioni. - Simmetrie e teorema di Noether. - Introduzione alla dinamica del corpo rigido.   P. Buttà, P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, Edizioni Nuova Cultura. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/07	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1022367 - ANALISI REALE (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria della misura e dell'integrazione, spazi L^p, serie di Fourier e variabile complessa. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla Teoria della Misura Astratta, alla costruzione della Misura di Lebesgue, alla Teoria dell'Integrazione, ai Teoremi di Convergenza sotto il segno di integrale, agli spazi L^p, agli spazi di Hilbert e le serie di Fourier, alle proprietà di base del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di variabile complessa. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di intendere il concetto di misura ed integrale in spazi astratti, di integrare funzioni fortemente discontinue, di operare con diverse nozioni di convergenza in L^p, di usare la serie di Fourier in L^2 per approssimare soluzioni di alcune equazioni alle derivate parziali, di applicare il Teorema dei Residui in campo complesso. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per affrontare alcuni problemi della matematica applicata, in particolare quelli basati sullo studio di opportune equazioni alle derivate parziali. Sarà inoltre in grado di intraprendere lo studio di discipline più avanzate, come ad esempio la Teoria Geometrica della Misura o la Teoria degli Integrali Singolari di Calderon-Zygmund. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici riguardanti la variabile reale e complessa. Canale: 1 - SICONOLFI ANTONIO (programma) Prima parte: teoria della misura (52 ore) Richiami sulla Misura di Lebesgue in R^d Teoria astratta della Misura – estensione di Charatheodory Teoria astratta dell'Integrale – teoremi di convergenza misure con segno - Teorema di Lebesgue-Radon-Nikodym misure prodotto – Teorema di Fubini Spazi L^p Seconda parte: spazi di Hilbert e serie di Fourier (12 ore) Teorema di rappresentazione di Riesz Definizione di serie di Fourier Trasformata di Fourier Terza parte: cenni di variabile complessa (20 ore) Funzioni olomorfe Serie di potenze Serie di Laurent Equazioni di Cauchy-Riemann Teorema dei Residui Teorema della mappa aperta Teorema di Liouville Teorema Fondamentale dell'Algebra   Rudin: analisi reale e complessa (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - ROSSI LUCA (programma) 1 Teoria della misura (70 ore) 1.1 Misura di Lebesgue 1.2 Teoria astratta della misura 1.4 Teoria astratta dell'integrale 1.5 Relazione tra integrale di Riemann e Lebesgue 1.6 Formula del cambiamento di variabile 1.7 Misure prodotto: teorema di Fubini 1.8 Teoremi di differenziazione: Radon-Nikodym 1.9 Spazi L^p 2 Spazi di Hilbert e serie di Fourier (20 ore) 2.1 Teorema di rappresentazione di Riesz 2.2 Serie di Fourier 2.3 Trasformata di Fourier   W. Rudin: “Real & Complex Analysis” H.L. Royden: “Real Analysis” (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/05	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
1023149 - GEOMETRIA II (obiettivi) Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in topologia generale, con un’introduzione alla topologia algebrica e alla geometria differenziale. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione. Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base della topologia generale, con i vari possibili approcci alle nozioni di spazio topologico, applicazione continua, omeomorfismo; quindi costruzioni delle topologie su sottospazi, prodotti e quozienti, proprietà topologiche di separazione, di numerabilità, di compattezza, connessione e connessione per archi. Lo studente avrà anche acquisito la nozione di gruppo fondamentale e il suo utilizzo insieme alle relative tecniche di calcolo, e gli elementi fondamentali della teoria dei rivestimenti topologici. Lo studente avrà infine acquisito le nozioni di base della geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio euclideo tridimensionale. Applicare conoscenza e comprensione. Al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di topologia, anche con l’uso di topologia algebrica elementare. Saprà altresì utilizzare la nozione di curvatura nei contesti della geometria differenziale delle curve e delle superfici. Capacità critiche e di giudizio. Lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e le nozioni fondamentali della teoria della continuità e differenziabilità, anche con strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici. Capacità comunicative. Capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento. Le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso successivo di laurea triennale o magistrale, relativo ad aspetti più avanzati di geometria. Canale: 1 - PICCINNI PAOLO (programma) Prima parte: Topologia generale (36 ore) Approcci diversi alle nozioni di spazio topologico e applicazione continua. Costruzioni e esempi di sottospazi, prodotti, quozienti. Proprietà topologiche: separazione, numerabilità, compattezza, connessione, connessione per archi. Varietà topologiche e classificazione delle superfici topologiche compatte. Seconda parte: Introduzione alla topologia algebrica (24 ore) Omotopia di cammini e di applicazioni continue. Gruppo fondamentale e invarianza omotopica. Teorema di van Kampen e applicazioni. Rivestimenti topologici e relazioni con il gruppo fondamentale. Costruzione del rivestimento universale. Terza parte: Introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici (24 ore) Curve differenziabili nello spazio euclideo tridimensionale. Retta tangente, curvatura, torsione e teorema di rigidità. Superfici differenziabili. Piano tangente e prima forma fondamentale. Seconda forma fondamentale e relativi invarianti di curvatura. Curvatura gaussiana e teorema egregium.   E. Sernesi, Geometria II, Boringhieri M. Manetti, Topologia, Springer M. Abate e F. Tovena, Curve e Superfici, Springer (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - PEZZINI GUIDO (programma) Prima parte: Topologia generale Spazi topologici e applicazioni continue. Sottospazi, prodotti, quozienti. Proprietà topologiche: separazione, numerabilità, compattezza, connessione, connessione per archi. Spazi metrici. Varietà topologiche. Seconda parte: Introduzione alla topologia algebrica Omotopia di cammini e di applicazioni continue. Gruppo fondamentale e invarianza omotopica. Teorema di van Kampen e applicazioni. Rivestimenti topologici e relazioni con il gruppo fondamentale. Monodromia. Rivestimento universale. Terza parte: Introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici Curve differenziabili nello spazio euclideo tridimensionale. Retta tangente, curvatura, torsione e teorema di rigidità. Superfici differenziabili. Piano tangente e prima forma fondamentale. Seconda forma fondamentale e relativi invarianti di curvatura. Curvatura gaussiana e teorema egregium.   M. Manetti, Topologia, Springer E. Sernesi, Geometria II, Boringhieri M. Abate e F. Tovena, Curve e Superfici, Springer (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/03	50	40	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA

Terzo anno

Primo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
1035142 - FISICA GENERALE II (obiettivi) Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: dopo aver superato l'esame gli studenti potranno seguire corsi avanzati di fisica teorica. Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: dopo aver superato l'esame gli studenti sapranno risolvere problemi tecnico scientifici, operando le necessarie schematizzazioni e ottenendo risultati sufficientemente accurati. Canale: 2 - MAURI FRANCESCO (programma) -Elettrostatica nel vuoto. La legge di Coulomb; l'unità di carica nel SI; conservazione della carica. Definizione del campo elettrostatico E e del potenziale elettrostatico V; principio di sovrapposizione per E e per V. Dipolo elettrico, potenziale e campo creati da un dipolo, azioni meccaniche su un dipolo. Energia elettrostatica di un sistema di cariche. Linee di forza e superfici equipotenziali. Flusso del campo elettrico; il teorema di Gauss; esempi di calcolo del campo elettrostatico mediante il teorema di Gauss: strato e doppio strato, filo indefinito. Equazioni dell'elettrostatica nel vuoto in forma differenziale e integrale; equazioni di Poisson e di Laplace; Densità di energia e pressione del campo elettrostatico -Conduttori in elettrostatica Proprietà dei conduttori in regime elettrostatico, induzione elettrostatica, conduttori cavi, schermo elettrostatico, metodo delle carica immagine, Condensatori, condensatori connessi in serie o in parallelo; energia di un condensatore carico. -Proprietà elettrostatiche dei dielettrici. Polarizzazione e spostamento dielettrico. Costante dielettrica. Equazioni di Maxwell nei mezzi dielettrici -Correnti Definizione dell'intensità di corrente e della densità di corrente; equazione di continuità. Correnti stazionarie; resistenza di un conduttore e legge di Ohm. -Magnetostatica Le scoperte di Oersted e di Ampere; definizione del campo magnetostatico; assenza dei monopoli magnetici. Azioni meccaniche su un dipolo magnetico e energia potenziale di un dipolo magnetico. Forza magnetica su un circuito percorso da corrente; forza di Lorentz; moto di una carica in un campo magnetico. Il campo magnetico generato da correnti stazionarie: il filo rettilineo indefinito, la spira circolare ed il solenoide indefinito. Il momento di dipolo magnetico di una spira percorsa da corrente. La circuitazione del campo magnetico, teorema di Ampere; esempi di calcolo di campi magnetici con il teorema della circuitazione di Ampere. Forma differenziale e integrale delle equazioni della magnetostatica nel vuoto -Campi magnetici e elettrici variabili nel tempo Le scoperte di Faraday e la legge di Faraday-Neumann-Lenz. Caso del "flusso tagliato"; generatori di f.e.m. alternata. Autoinduzione e mutua induzione; extracorrente di chiusura e apertura in un circuito RL. Cenni sui circuiti in corrente alternata, risonanza di un circuito RLC. Energia magnetica di un solenoide percorso da corrente; densità di energia del campo magnetico. Contraddizione tra il teorema della circuitazione di Ampere e la conservazione della corrente, introduzione della "corrente di spostamento". Equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico. -Onde elettromagnetiche Soluzioni delle equazioni di Maxwell nel vuoto, onde elettomagnetiche che si propagano con la velocità della luce. Trasformazioni di Lorentz e cenni di relativita' ristretta   Testo consigliato: Fisica II. Elettromagnetismo. Ottica, di C. Mencuccini e V. Silvestrni, Ed. CEA (Date degli appelli d'esame) Canale: 1 - BENFATTO LARA (programma) 1- Richiami di calcolo differenziale 2- Elettrostatica nel vuoto 3- Sistemi di conduttori 4- Elettrostatica in presenza di dielettrici 5- Corrente elettrica stazionaria 6- Magnetostatica nel vuoto 7- Campi elettrici e magnetici dipendenti dal tempo 8- Cenni alla radiazione elettromagnetica e alla relativita' ristretta   Testi di base di elettromagnetismo. Note del corso disponibili su e-learning (Date degli appelli d'esame)	9	FIS/02	48	36	-	-	Attività formative affini ed integrative	ITA
1022388 - FISICA MATEMATICA (obiettivi) Obiettivi generali acquisire conoscenze di base sulla modellizzazione e risoluzione di problemi classici di fisica del continuo. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente conoscerà le equazioni fondamentali della fisica matematica (trasporto, onde, Laplace, calore), la loro derivazione da problemi fisici concreti e le tecniche classiche di risoluzione. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di risolvere l'equazione del trasporto e di Liouville, risolvere semplici problemi ai valori iniziali e al contorno per le equazioni delle onde e del calore e problemi al contorno per l'equazione di Laplace e Poisson, utilizzando le tecniche classiche della fisica matematica, quali funzioni di Green e metodo di Fourier. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di riconoscere un approccio di tipo fisico-matematico ai problemi, collegando le proprietà matematiche dei modelli basati sulle equazioni alle derivate parziali alla descrizione concreta dei problemi di fisica del continuo. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della fisica matematica legata alla fisica del continuo. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in altri insegnamenti, relativo ad aspetti più specialistici dei metodi della fisica matematica. Canale: 1 - BUTTA' PAOLO (programma) L’equazione della corda vibrante 1. Modello microscopico: catene di oscillatori. 2. La lagrangiana per l’equazione delle onde; equazioni del moto; condizioni al contorno. 3. Onde progressive e regressive; formula di D’Alembert. 4. Introduzione alle distribuzioni; soluzioni nel senso delle distribuzioni; δ di Dirac, funzione di Green 5. Formula di Duhamel. 6. Onde stazionarie e serie di Fourier; serie di Fourier in forma complessa. 7. Metodo di Fourier per il problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo e con forzante. Trasformata di Fourier e pacchetti d’onda 1. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz e sue proprietà; teorema di Plancherel-Parseval. 2. Trasformata di Fourier della gaussiana 3. Trasformata di Fourier di una distribuzione 4. Pacchetto d’onda; velocità di fase e velocità di gruppo. L’equazione delle onde in più dimensioni 1. Membrana vibrante, condizioni al contorno e loro significato fisico. 2. La lagrangiana e l’energia per l’equazione delle onde in Rn . Unicità di soluzioni regolari. 3. Serie di Fourier in più dimensioni; l'equazione delle onde in domini rettangolari e soluzione per serie. 4. La funzione di Green e le formule di Kichhoff e Poisson 5. Cono di influenza e dominio di dipendenza; principio di Huygens. 6. Dalle equazioni di Maxwell all’equazione delle onde; onde piane, onde sferiche. Introduzione alla teoria del potenziale 1. L’equazione per il potenziale elettrostatico, equazioni di Laplace e Poisson. 2. Funzione di Green e potenziale generato da una carica in Rn . 3. Regolarità e andamento asintotico del potenziale generato da una distribuzione di carica in Rn . 4. Identità di Green; formula di rappresentazione delle funzioni armoniche. 5. Teoremi della media e principio del massimo per funzioni armoniche; teoremi di unicità. 6. Regolarità delle funzioni armoniche. 7. Problema di Laplace nel disco con dato continuo al bordo: derivazione della formula di Poisson con il metodo di Fourier. 8. Funzione di Green in domini limitati e sue proprietà; metodo delle cariche immagine. 9. Funzione di Green in tre dimensioni per la palla in e formula di Poisson per il problema di Laplace nella palla in tre dimensioni con dato continuo al bordo. 10. Inverso del teorema della media; disuguaglianza di Harnack; teorema di Liouville. 11. Unicità per il problema di Poisson in tre dimensioni con le opportune condizioni asintotiche. Equazione del calore 1. Leggi di conservazione in forma divergenza; legge di Fourier. 2. La funzione di Green per l’equazione del calore, via trasformata di Fourier e per autosimilarità. 3. Il principio del massimo parabolico; l’unicità della soluzione in domini limitati e in tutto lo spazio. 4. Soluzioni e comportamento asintotico dell’equazione del calore con e senza sorgenti, con le diverse condizioni al contorno, via Fourier o via funzione di Green. 5. Equazione del calore e passeggiata aleatoria. 6. Interpretazione probabilistica dell’equazione di Laplace nel caso discreto.   - Dispense del corso disponibili in rete (http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf) - V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore Vol. II. Roma, Editori Riuniti, 1977. - S. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali: Metodi, Modelli e Applicazioni. Milano, Springer, 2010. (Date degli appelli d'esame) Canale: 2 - TETA ALESSANDRO (programma) - Cenni alle distribuzioni, delta di Dirac - Introduzione alla trasformata di Fourier - Equazione di Laplace e di Poisson, funzione di Green, identità di Green, funzioni armoniche e loro proprieta' - Problemi al contorno e teoremi di unicita' - Soluzione di problemi al contorno per separazione di variabili e con il metodo della carica immagine - Equazione della corda vibrante, soluzione di D'Alembert - Equazione della corda vibrante sul segmento, soluzione per serie di Fourier - Equazione delle onde in due e tre dimensioni, soluzione del problema di Cauchy - Soluzione delle Equazioni di Maxwell nel vuoto - Equazione del calore, teoremi di unicita', soluzione in tutto lo spazio - Soluzione di problemi di Cauchy e al contorno sul segmento per separazione di variabili   Dispense del corso disponibili in rete all'indirizzo http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore II. Editori Riuniti, 1977. A.N. Tichonov, A.A. Samarskij, Equazioni della fisica matematica, Ed. Mir, 1981. (Date degli appelli d'esame)	9	MAT/07	48	36	-	-	Attività formative caratterizzanti	ITA
Gruppo opzionale: Abilità informatiche - (visualizza) 3                AAF1267 - LINGUAGGI DI PROGRAMMAZIONE (obiettivi) OBIETTIVI FORMATIVI Generali: Apprendimento del paradigma di programmazione a oggetti, uso degli strumenti concettuali offerti da questo paradigma nella soluzione di problemi di medie dimensioni. Studio comparato di diversi paradigmi di programmazione (imperativo, funzionale e a oggetti) per sviluppare un senso critico nell'apprendimento e valutazione dei linguaggi di programmazione. Specifici: a) Conoscenza e Comprensione: Conoscenza di elementi base e medio-avanzati di programmazione in Linguaggio C++. Basi del linguaggio di programmazione Haskell. Principi generali della programmazione a oggetti e della programmazione funzionale. b) Applicare Conoscenza e Comprensione: Applicare la metodologia a oggetti alla progettazione di sistemi software di medie dimensioni. Applicare gli strumenti offerti dalla programmazione funzionale alla soluzione di problemi, anche dovendo usare un linguaggio imperativo. c) Capacità Critiche e di Giudizio: Lo studio critico del paradigma di programmazione a oggetti, le basi del paradigma funzionale, oltre ai confronti con il paradigma imperativo già noto agli studenti, unitamente a richiami sul funzionamento di altri linguaggi a Oggetti (come Java e Smalltalk), permettono di valutare ad esempio quale sia il linguaggio più adatto per risolvere un certo problema o sviluppare un progetto software. Inoltre, lo studente dovrebbe acquisire strumenti necessari per valutare criticamente altri linguaggi di programmazione. d) Capacità Comunicative Lo studente è stimolato, sia durante il corso, sia nel colloquio d'esame a esporre in modo chiaro e conciso, ma preciso sia il funzionamento che la struttura di piccoli progetti software. e) Capacità di Apprendimento: Lo studio comparato di diversi paradigmi di programmazione stimola la capacità di apprendimento di altri linguaggi di programmazione, dando allo studente gli strumenti per distinguere gli aspetti caratterizzanti di un linguaggio di programmazione (logica del core language, come ad esempio passaggio di parametri, sistema dei tipi, semantica dei comandi) da quelli più strettamente tecnici (come imparare a usare librerie e strumenti di sviluppo, come IDE e debugger). - SALVO IVANO (programma) Programma: Parte I: Programmazione a Oggetti con C++ 1. Introduzione alla programmazione a oggetti. 2. Obiettivi del linguaggio C++. 3. Definizioni di classi. Campi e metodi. Invocazioni di metodi. 4. Modificatori di visibilità. Interfaccia e implementazione. 5. Costruttori. Oggetti sullo stack e sullo heap. Distruttori. 6. Ereditarietà. 7. Binding dinamico dei metodi virtual. 8. Metodologie di programmazione a oggetti. Esempi. 9. Templates. Concetto e definizione. Classi generiche di strutture dati. La Standard Template Library. 10. Verso una programmazione matura: le Eccezioni. Parte II: Programmazione Funzionale con Haskell 11. Introduzione alla programmazione funzionale e al linguaggio Haskell. 12. Tipi polimorfi e lazy evaluation in Haskell.   Sono suggeriti i seguenti libri: Bruce Eckel: Thinking in C++ (2nd Edition), Prentice Hall, 2000. Graham Hutton: Programming in Haskell, Cambridge University Press, 2007 Vengono inoltre pubblicati numerosi materiali dal docente, sotto forma di codici di programmi esemplificativi degli argomenti trattati o soluzioni di homework o progetti degli anni precedenti. Vengono infine segnalate numerose risorse WEB sulla programmazione in C++ e Haskell. (Date degli appelli d'esame) 3    -  36  -  -  Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)  ITA
- - A SCELTA DELLO STUDENTE	6		48	-	-	-	Attività formative a scelta dello studente (art.10, comma 5, lettera a)	ITA
Gruppo opzionale: Gruppo opzionale A per Matematica per le applicazioni - (visualizza) 12                1010982 - ANALISI NUMERICA (obiettivi) Il corso intende presentare i metodi numerici di approssimazione per la soluzione di numerosi problemi matematici che ricorrono nelle applicazioni e nella modellistica matematica. In particolare, verranno trattati sia dal punto di vista teorico che algoritmico i seguenti temi: soluzione dei sistemi lineari, ricerca di autovalori ed autovettori, soluzione di equazioni e sistemi non lineari, approssimazione di funzioni e delle derivate, approssimazione di dati sperimentali, integrazione numerica, sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Il corso prevede attività pratiche di Laboratorio per lo sviluppo dei codici in C++ o MATLAB. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame conosceranno le principali tecniche numeriche sui temi trattati. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di decidere quale tipo di metodo numerico sia opportuno utilizzare in rapporto al problema da risolvere. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di realizzare praticamente gli algoritmi in C++ o MATLAB. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti saranno in grado di valutare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni. Capacità comunicative: Capacità di esporre e motivare la soluzione proposta per alcuni problemi scelti in classe sia alla lavagna che su computer. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di costruire le basi per uno studio relativo ad aspetti più specialistici della analisi e della simulazione numerica. Lo studente prenderà familiarità con diverse nozioni e tecniche relative ai temi presentati nel corso. - FALCONE MAURIZIO (programma) Soluzione di sistemi lineari Metodi diretti per alcune classi di matrici. Fattorizzazioni LU e QR. Fattorizzazione di Cholesky. Metodo di Thomas. Metodi iterativi per i sistemi lineari. Convergenza e teorema del raggio spettrale. Alcuni esempi classici: Gauss-Seidel, Jacobi, relaxation. Stabilità e costo computazionale degli algoritmi. Analisi del condizionamento del problema. Autovalori ed autovettori Caratterizzazione e localizzazione degli autovalori. Teoremi di Gershgorin. Trasformazioni per similitudine unitarie e decomposizione di Schur. Condizionamento di un problema agli autovalori. Metodo delle potenze. Metodo della iterazione inversa. Metodo QR. Soluzione di equazioni e sistemi non lineari Metodo del punto fisso. Risultati di convergenza globale e locale. Metodo di Newton. Condizionamento del problema della ricerca delle radici. Metodo del punto fisso e di Newton in R^n. Equazioni algebriche nel campo complesso. Metodo della companion matrix. Approssimazione delle funzioni e delle derivate Interpolazione polinomiale di Lagrange e Hermite. Differenze divise e forma di Newton. Polinomi ortogonali. I nodi di Chebyshev. Cenni sul condizionamento del problema e sulla stabilità degli algoritmi. Funzione e costante di Lebesgue. Funzioni spline. Spline cubiche interpolatorie e proprietà di convergenza. Integrazione numerica Formule di quadratura interpolatorie. Formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte, semplici e composte. Formule di quadratura generalizzate. Proprietà di convergenza. Stime dell'errore. Equazioni differenziali Schemi numerici per la soluzione del problema di Cauchy. Schemi espliciti e impliciti a un passo. Consistenza di ordine p, stabilità e convergenza. Errore locale e globale. Errori di calcolo ed analisi dell’errore. I metodi di Eulero, Heun, Eulero modificato. Sistemi di equazioni differenziali. Assoluta stabilità e problemi stiff (cenni). Il corso prevede attività pratiche di Laboratorio per lo sviluppo dei codici in C++ o MATLAB.   A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, "Matematica Numerica", Springer, 2014 Un manuale per C/C++ o MATLAB (Date degli appelli d'esame) 6  MAT/08  48  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA 1051922 - PROBABILITA' II (obiettivi) Obiettivi generali: acquisire conoscenze in teoria della Probabilità. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base relative alle variabili aleatorie assolutamente continue, con particolare riguardo a modelli di dipendenza stocastica e alle distribuzioni congiunte. Verrà presentata la formula di regressione lineare e proposto lo studio di modelli probabilistici, con le loro proprietà notevoli, leggi congiunte e condizionate. Si daranno cenni sui metodi di generazione di numeri pseudo-casuali. Verrà presentato il Teorema di Cochran e gli intervalli di fiducia. Una parte rilevante sarà costituita dallo studio del Teorema del limite centrale con i relativi collegamenti alle funzioni caratteristiche. Saranno dati cenni sulle distribuzioni stabili e sulle loro proprietà. Infine saranno presentati i primi cenni della teoria della percolazione e della teoria ergodica. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente potrò risolvere semplici problemi che riguardano le variabili assolutamente continue e potrà usare i teoremi presentati in diverse applicazioni. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e la probabilità discreta sviluppata nel primo corso di probabilità. Acquisirà alcuni strumenti che storicamente sono stati un avanzamento significativo nello studio della Probabilità. Capacità comunicative: lo studente dovrà mostrare capacità di esporre i contenuti del corso nella parte orale della verifica e nella soluzione di problemi nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno allo studente di approfondire individualmente alcuni aspetti delle teorie presentate nel corso e faciliteranno lo studio di successivi corsi di Probabilità. - DE SANTIS EMILIO (programma) Spazi di Probabilità. Teorema di Radon-Nikodym. Misure discrete, assolutamente continue e singolari. Variabili aleatorie e definizione dei valori attesi. Trasformazioni di variabili aleatorie. Vettori aleatori e Funzioni di ripartizione multidimensionale. Distribuzioni marginali e congiunte. Indipendenza e sua caratterizzazione nel caso discreto e in quello assolutamente continuo. Densità condizionate e Formule di Bayes. Somme di variabili aleatorie indipendenti. Distanza in variazione totale. Definizione di coupling e disuguaglianza di coupling. Applicazione all’approssimazione della legge di Poisson. Legge forte dei grandi numeri per variabili aleatorie indipendenti con il momento quarto limitato. Famiglie notevoli di distribuzioni di probabilità unidimensionali. Distribuzioni uniformi, Distribuzioni esponenziali e funzioni di intensità, Distribuzioni gamma, Distribuzioni gaussiane, Distribuzioni del chi-quadro, Distribuzioni t di Student, Distribuzioni beta. Generazione di variabili aleatorie gaussiane e distribuzioni gaussiane multivariate. Trasformazioni ortogonali di campioni gaussiani e Teorema di Cochran. Un’applicazione statistica del Teorema di Cochran. Funzione Caratteristica e diverse sue applicazioni. Teorema Centrale del Limite per variabili aleatorie i.i.d. e Teorema di Berry-Esseen (quest ultimo senza dimostrazione). Processi di Poisson e alcune loro proprietà. Due definizioni equivalenti del processo di Poisson. Statistiche ordinate di variabili aleatorie i.i.d. assolutamente continue. Partizioni casuali di intervalli tramite variabili i.i.d. uniformi e collegamento con i processi di Poisson. Somma di processi di Poisson indipendenti.   Appunti del corso di Probabilità 2 del Prof. Fabio Spizzichino (Date degli appelli d'esame) 6  MAT/06  48  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA

Secondo semestre

Insegnamento	CFU	SSD	Ore Lezione	Ore Eserc.	Ore Lab	Ore Studio	Attività	Lingua
Gruppo opzionale: Gruppo opzionale A per Matematica per le applicazioni - (visualizza) 12                1038308 - METODI NUMERICI DI APPROSSIMAZIONE (obiettivi) Il corso intende presentare i principali metodi numerici di approssimazione per la soluzione di alcuni problemi applicativi. I contenuti del corso variano di anno in anno tra i seguenti temi: Algebra lineare numerica Metodi numerici di ottimizzazione Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie Teoria della approssimazione Verranno affrontati gli aspetti teorici ed algoritmici relativi ai temi trattati. Il corso prevede attività pratiche di Laboratorio per lo sviluppo dei codici in C++ o MATLAB. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame conosceranno le principali tecniche numeriche sui temi trattati. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di decidere quale tipo di metodo numerico sia opportuno utilizzare in rapporto al problema da risolvere. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di realizzare praticamente gli algoritmi in C++ o MATLAB. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti saranno in grado di valutare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni. Capacità comunicative: Capacità di esporre e motivare la soluzione proposta per alcuni problemi scelti in classe sia alla lavagna che su computer. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di costruire le basi per uno studio relativo ad aspetti più specialistici della analisi e della simulazione numerica. Lo studente prenderà familiarità con diverse nozioni e tecniche relative ai temi presentati nel corso. - VISCONTI GIUSEPPE (programma) Metodi numerici per l'approssimazione di problemi ai valori iniziali: richiamo sui metodi ad un passo, metodi multistep, metodi predictor-corrector, metodi a passo variabile, metodi per problemi stiff. Invarianti. Nonlinear stability. Sistemi Hamiltoniani e metodi simplettici. Metodi numerici per l'approssimazione di problemi ai valori al bordo: metodi di shooting, delle matrici e di collocazione. Metodi numerici per l'approssimazione di equazioni differenziali stocastiche.   J.D. Lambert, Computational Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, Chichester, 1991. E. Hairer, S.P. Norsett, and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. Springer-Verlag, Berlin, 1987. E. Hairer, S.P. Norsett, and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff Problems. Springer-Verlag, Berlin, 1987. D.F. Griffiths, D.J. Higham, Numerical Methods for Ordinary Differential Equation: Initial Value Problems. Springer-Verlag, London, 2010. (Date degli appelli d'esame) 6  MAT/08  48  -  -  -  Attività formative caratterizzanti  ITA
AAF1007 - PROVA FINALE	9		-	-	-	-	Per la prova finale e la lingua straniera (art.10, comma 5, lettera c)	ITA
AAF1149 - altre conoscenze utili per l'inserimento nel mondo del lavoro - MALUSA ANNALISA (Date degli appelli d'esame)	3		-	-	-	-	Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)	ITA
- - A SCELTA DELLO STUDENTE	6		48	-	-	-	Attività formative a scelta dello studente (art.10, comma 5, lettera a)	ITA

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