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ANALISI MATEMATICA I
(obiettivi)
Scopo di questo corso è far conoscere i concetti fondamentali del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile e della teoria elementare delle equazioni differenziali ordinarie. Questi argomenti sono fondamentali per la comprensione degli altri corsi di Analisi, di Calcolo delle Probabilità, della Meccanica, della Fisica e di molti altri settori della Matematica Pura e Applicata.
Obiettivi principali sono: insegnare il ragionamento logico e la comprensione del testo, far conoscerele idee e i principali metodi del calcolo e far acquisire capacità di risolvere problemi. Gli studenti che frequentano questo corso dovranno
• comprendere le idee principali del calcolo in una dimensione,
• sviluppare competenze nel risolvere esercizi e discutere esempi
• acquisire i concetti centrali dell’Analisi Matematica.
Attraverso la frequenza regolare alle lezioni e alle esercitazioni dei
docenti e alle spiegazioni supplementari del tutore, gli studenti potranno sviluppare competenze nella comprensione e nella esposizione scritta e verbale
dei fondamentali concetti matematici e logici.
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CAMILLI FABIO
( programma)
Concetti fondamentali: Nozioni di logica matematica; concetto di insieme e le principali
operazioni; il principio di induzione; progressione geometrica; fattoriale e coefficienti
binomiali; formula del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia; i numeri naturali
N, interi Z, razionali Q e reali R; valore assoluto e disuguaglianza triangolare; estremo
superiore e l’assioma di completezza;
Successioni numeriche: Successioni convergenti, infinitesime, divergenti, oscillanti e
limitate; regole per il calcolo dei limiti; numeri reali estesi, 0+ e 0−; forme determinate e
indeterminate; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri, successioni
monotone; successioni asintotiche e il principio di sostituzione.
Serie numeriche: Definizione di serie e prime proprietà: criterio necessario per la convergenza;
serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico,
criterio della radice e del rapporto, serie a termini di segno variabili, il criterio di Leibniz,
convergenza semplice e convergenza assoluta; serie armonica, armonica generalizzata, geometrica
ed esponenziale.
Funzioni continue: Funzioni reali di una variabile reale; funzioni iniettive, suriettive, biettive,
pari e dispari; funzione inversa; funzioni elementari: polinomi e funzioni razionali,
potenza, funzione esponenziale, iperboliche, circolari, grafici; somma, prodotto, quoziente
e composizione di funzioni; funzioni monotone e limitate; limiti delle funzioni reali; regole
per il calcolo di limiti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri per
le funzioni; funzioni continue; funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri e dei
valori intermedi, il metodo di bisezione; continuità delle funzioni elementari e delle loro
inverse: logaritmi, inverse delle funzioni circolari e iperboliche; funzioni continue su un
intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: Rapporto incrementale; derivata
e suo significato geometrico; regole di derivazione; derivazione delle funzioni composte e
delle funzioni inverse; derivazione delle funzioni elementari e loro inverse; estremi locali e
teorema di Fermat; i teoremi di Rolle e di Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange;
funzioni monotone; estremi locali di funzioni derivabili; funzioni con derivata zero; le regole
di de l’Hospital; approssimazione lineare di una funzione; il differenziale; le derivate
successive; i simboli di Landau; funzioni con contatto di ordine n; polinomio di Taylor e
di Mac Laurin; la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano; i polinomi
di Taylor delle funzioni elementari; applicazioni del teorema di Taylor: estremi locali,
calcolo numerico, confronti asintotici tra funzioni e calcolo dei limiti con il principio di
sostituzione, serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari; studio di funzione.
Calcolo Integrale per funzioni di una variabile: L’integrale di Riemann e significato geometrico; somme inferiori e superiori, caratterizzazione delle funzioni integrabili;
classi di funzioni integrabili; propriet`a dell’integrale; la funzione integrale e la primitiva;
teorema fondamentale del calcolo integrale; integrale indefinito; regole di integrazione:
integrazione per parti e per sostituzione; integrali impropri e criteri di convergenza, serie
e integrali impropri.
Numeri complessi: Definizione dei complessi e struttura di campo; forma cartesiana
dei complessi e piano di Gauss; coniugato, modulo e argomento di un complesso; disuguaglianza
triangolare; forma trigonometrica dei complessi; significato geometrico delle
operazioni fra complessi; potenze e radici di numeri complessi.
Equazioni differenziali di primo ordine: Interpretazione geometrica; problema di
Cauchy; esistenza di soluzioni e il teorema di Peano; equazioni lineari di primo ordine,
equazioni omogenee, variazione della costante; equazioni a variabili separabili, soluzioni
stazionarie, metodo di sostituzione.
Equazioni differenziali di secondo ordine: Problema di Cauchy; equazioni lineari a
coefficienti costanti, equazione omogenea, polinomio caratteristico, soluzione particolare
e generale, equazioni complete, metodo della variazione della costante, la Wronskiana.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: Funzioni reali di più variabili,
grafico; norma in R^n e limiti in R^n; funzioni continue di pi`u variabili; derivate direzionali
e derivate parziali; gradiente; continuità e derivabilità, approssimazione lineare, piano
tangente.
 M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill;
F.Camilli, Appunti del corso, http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio.camilli/An1-12cfu_new/ana1.pdf
(Date degli appelli d'esame)
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MAT/05
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90
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Attività formative di base
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ITA |
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GEOMETRIA
(obiettivi)
Nozioni basilari di algebra lineare e geometria. Risoluzione di sistemi lineari e interpretazione geometrica per 2 o 3 incognite. Abitudine al ragionamento rigoroso, al calcolo numerico e simbolico, all'analisi dei problemi ottimizzando la strategia risolutiva. Familiarità con i vettori e con le matrici. Familiarità con le entità geometriche del piano e dello spazio, relative ad equazioni di primo o secondo grado. Comprensione delle applicazioni lineari e in particolare della diagonalizzazione.Risultati di apprendimento attesi: Ci si aspetta che l'apprendimento sia costante, in concomitanza con le lezioni, rinforzato da attività di ricevimento e da prove in itinere. Piccole difficoltà possono essere risolte anche via email. L'inizio può eventualmente risultare difficile, soprattutto a causa di lacune degli anni di studio precedenti, ma dopo il primo impatto - in diversi casi, dopo il primo o il secondo esame scritto - ci si aspetta che le informazioni acquisite producano un miglioramento e un'abitudine ai temi.
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MAT/03
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90
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Attività formative di base
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ITA |
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PROGRAMMAZIONE E CAD PER LA PROGETTAZIONE ELETTRICA
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Elia Stefano
( programma)
Il corso ha l’obiettivo di rendere l’allievo capace di risolvere un problema tecnico progettuale programmando software specifico, nonché di rappresentare la relativa soluzione mediante l’uso degli strumenti più comuni di disegno al calcolatore.
Le principali problematiche tecniche trattate nel percorso formativo sono di tipo elettrico, elettronico, elettromeccanico ed energetico, con approfondimenti legati ai sistemi di controllo ed alle problematiche di sicurezza ed affidabilità degli stessi.
Il corso intende anzitutto fornire le nozioni essenziali sugli strumenti informatici necessari alla programmazione di un computer, sia per il calcolo sia per la gestione, il controllo e l’ottimizzazione di sistemi.
Nel seguito del corso l’allievo viene introdotto alla logica essenziale della programmazione ed alle relative fondamentali strutture informatiche di base.
Vengono approfonditi in maniera particolare i diagrammi di flusso e gli schemi a blocchi necessari a progettare qualsiasi tipo di software o di sistema tecnico complesso in generale. Tali strutture logiche vengono curate con la massima precisione anche dal punto di vista del disegno.
Il corso fornisce le strategie per migliorare la comunicazione basata sul disegno manuale ed elettronico: particolare cura viene posta nel migliorare il metodo di comunicazione grafica necessario per condividere i progetti con altri progettisti, con i tecnici addetti ai lavori ed infine anche con gli utenti.
Vengono introdotte le principali regole di elettrotecnica relative al funzionamento di circuiti logici di comando e controllo per sistemi elettrici; tali logiche vengono applicate allo studio ed alla rappresentazione dei relativi diagrammi di flusso e tabelle di stato.
Durante il corso, l’allievo apprende le nozioni di base del disegno tecnico al calcolatore (CAD), acquisendo la capacità di produrre in due dimensioni: rilievi di ambienti, rappresentazioni di componenti meccanici, elettromeccanici, schemi elettrici elementari, schemi di sistemi logici di controllo e comando, diagrammi di flusso e diagrammi funzionali di sistemi elettrici.
Le capacità acquisite vengono continuamente messe in pratica nel laboratorio di informatica durante l’intera durata del corso; questo attraverso esercitazioni nelle quali l’allievo deve risolvere problemi tecnici reali derivanti dal mondo della progettazione.
L’esame di basa sulla risoluzione informatica di un problema tecnico di natura elettrica e sulla presentazione della relativa soluzione, mediante gli strumenti di base acquisiti durante il corso.
Materiale didattico scaricabile dalla pagina:
https://sites.google.com/a/uniroma1.it/stefanoelia/insegnamenti
(Date degli appelli d'esame)
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6
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ING-IND/32
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Attività formative caratterizzanti
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