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ANALISI MATEMATICA
(obiettivi)
Fornire i concetti e gli strumenti fondamentali del calcolo differenziale e integrale per funzioni da R in R, delle serie numeriche e dei numeri complessi; fornire alcuni concetti e strumenti di base del calcolo differenziale e integrale in più variabili e delle equazioni differenziali ordinarie; fornire, attraverso esempi e applicazioni pratiche, un’intuizione dell’utilità dell’Analisi Matematica nella descrizione quantitativa di un fenomeno.Risultati di apprendimento attesi:Saper leggere, comprendere e manipolare (per esempio rappresentare graficamente, approssimare, riscalare, calcolare esattamente) gli oggetti matematici introdotti durante il corso (per esempio serie, funzioni, integrali, gradienti, equazioni differenziali). Conoscerne e comprenderne le principali proprietà.
Canale: 1
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CAMILLI FABIO
( programma)
Concetti fondamentali: Nozioni di logica matematica; concetto di insieme e le principali
operazioni; il principio di induzione; progressione geometrica; fattoriale e coefficienti
binomiali; formula del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia; i numeri naturali
N, interi Z, razionali Q e reali R; valore assoluto e disuguaglianza triangolare; estremo
superiore e l’assioma di completezza;
Successioni numeriche: Successioni convergenti, infinitesime, divergenti, oscillanti e
limitate; regole per il calcolo dei limiti; numeri reali estesi, 0+ e 0−; forme determinate e
indeterminate; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri, successioni
monotone; successioni asintotiche e il principio di sostituzione.
Serie numeriche: Definizione di serie e prime proprietà: criterio necessario per la convergenza;
serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico,
criterio della radice e del rapporto, serie a termini di segno variabili, il criterio di Leibniz,
convergenza semplice e convergenza assoluta; serie armonica, armonica generalizzata, geometrica
ed esponenziale.
Funzioni continue: Funzioni reali di una variabile reale; funzioni iniettive, suriettive, biettive,
pari e dispari; funzione inversa; funzioni elementari: polinomi e funzioni razionali,
potenza, funzione esponenziale, iperboliche, circolari, grafici; somma, prodotto, quoziente
e composizione di funzioni; funzioni monotone e limitate; limiti delle funzioni reali; regole
per il calcolo di limiti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri per
le funzioni; funzioni continue; funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri e dei
valori intermedi, il metodo di bisezione; continuit`a delle funzioni elementari e delle loro
inverse: logaritmi, inverse delle funzioni circolari e iperboliche; funzioni continue su un
intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstraß.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: Rapporto incrementale; derivata
e suo significato geometrico; regole di derivazione; derivazione delle funzioni composte e
delle funzioni inverse; derivazione delle funzioni elementari e loro inverse; estremi locali e
teorema di Fermat; i teoremi di Rolle e di Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange;
funzioni monotone; estremi locali di funzioni derivabili; funzioni con derivata zero; le regole
di de l’Hospital; approssimazione lineare di una funzione; il differenziale; le derivate
successive; i simboli di Landau; funzioni con contatto di ordine n; polinomio di Taylor e
di Mac Laurin; la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano; i polinomi
di Taylor delle funzioni elementari; applicazioni del teorema di Taylor: estremi locali,
calcolo numerico, confronti asintotici tra funzioni e calcolo dei limiti con il principio di
sostituzione, serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari; studio di funzione.
Calcolo Integrale per funzioni di una variabile: L’integrale di Riemann e signifi-
cato geometrico; somme inferiori e superiori, caratterizzazione delle funzioni integrabili;
classi di funzioni integrabili; propriet`a dell’integrale; la funzione integrale e la primitiva;
teorema fondamentale del calcolo integrale; integrale indefinito; regole di integrazione:
integrazione per parti e per sostituzione; integrali impropri e criteri di convergenza, serie
e integrali impropri.
Numeri complessi: Definizione dei complessi e struttura di campo; forma cartesiana
dei complessi e piano di Gauß; coniugato, modulo e argomento di un complesso; disuguaglianza
triangolare; forma trigonometrica dei complessi; significato geometrico delle
operazioni fra complessi; potenze e radici di numeri complessi.
Equazioni differenziali di primo ordine: Interpretazione geometrica; problema di
Cauchy; esistenza di soluzioni e il teorema di Peano; equazioni lineari di primo ordine,
equazioni omogenee, variazione della costante; equazioni a variabili separabili, soluzioni
stazionarie, metodo di sostituzione.
Equazioni differenziali di secondo ordine: Problema di Cauchy; equazioni lineari a
coefficienti costanti, equazione omogenea, polinomio caratteristico, soluzione particolare
e generale, equazioni complete, metodo della variazione della costante, la Wronskiana.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: Funzioni reali di più variabili,
grafico; norma in R^n e limiti in R^n; funzioni continue di pi`u variabili; derivate direzionali
e derivate parziali; gradiente; continuità e derivabilità, approssimazione lineare, piano
tangente; estremi locali, punti critici e teorema di Fermat; derivate successive e teorema
di Schwarz, la Hessiana, Teorema di Taylor, matrici definite positive/negative e indefi-
nite, criterio di Hurwitz; funzioni di pi`u variabili a valori vettoriali, la Jacobiana, regola
della catena, trasformazioni regolari di coordinate: coordinate polari, circolari e sferiche,
trasformazioni regolari, invertibilità locale di trasformazioni.
Calcolo Integrale per funzioni di pi`u variabili: Integrazione di funzioni di due variabili,
integrale di Riemann, misura di un insieme, proprietà dell’integrale, domini semplici
e regolari, teorema di Fubini, interpretazione geometrica; cambiamento di variabili, integrazione
in coordinate polari.
 M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill;
F.Camilli, Appunti del corso, http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio.camilli/An1-12cfu_new/ana1.pdf
(Date degli appelli d'esame)
Canale: 2
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CAMILLI FABIO
( programma)
Concetti fondamentali: Nozioni di logica matematica; concetto di insieme e le principali
operazioni; il principio di induzione; progressione geometrica; fattoriale e coefficienti
binomiali; formula del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia; i numeri naturali
N, interi Z, razionali Q e reali R; valore assoluto e disuguaglianza triangolare; estremo
superiore e l’assioma di completezza;
Successioni numeriche: Successioni convergenti, infinitesime, divergenti, oscillanti e
limitate; regole per il calcolo dei limiti; numeri reali estesi, 0+ e 0−; forme determinate e
indeterminate; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri, successioni
monotone; successioni asintotiche e il principio di sostituzione.
Serie numeriche: Definizione di serie e prime proprietà: criterio necessario per la convergenza;
serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico,
criterio della radice e del rapporto, serie a termini di segno variabili, il criterio di Leibniz,
convergenza semplice e convergenza assoluta; serie armonica, armonica generalizzata, geometrica
ed esponenziale.
Funzioni continue: Funzioni reali di una variabile reale; funzioni iniettive, suriettive, biettive,
pari e dispari; funzione inversa; funzioni elementari: polinomi e funzioni razionali,
potenza, funzione esponenziale, iperboliche, circolari, grafici; somma, prodotto, quoziente
e composizione di funzioni; funzioni monotone e limitate; limiti delle funzioni reali; regole
per il calcolo di limiti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri per
le funzioni; funzioni continue; funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri e dei
valori intermedi, il metodo di bisezione; continuit`a delle funzioni elementari e delle loro
inverse: logaritmi, inverse delle funzioni circolari e iperboliche; funzioni continue su un
intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstraß.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: Rapporto incrementale; derivata
e suo significato geometrico; regole di derivazione; derivazione delle funzioni composte e
delle funzioni inverse; derivazione delle funzioni elementari e loro inverse; estremi locali e
teorema di Fermat; i teoremi di Rolle e di Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange;
funzioni monotone; estremi locali di funzioni derivabili; funzioni con derivata zero; le regole
di de l’Hospital; approssimazione lineare di una funzione; il differenziale; le derivate
successive; i simboli di Landau; funzioni con contatto di ordine n; polinomio di Taylor e
di Mac Laurin; la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano; i polinomi
di Taylor delle funzioni elementari; applicazioni del teorema di Taylor: estremi locali,
calcolo numerico, confronti asintotici tra funzioni e calcolo dei limiti con il principio di
sostituzione, serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari; studio di funzione.
Calcolo Integrale per funzioni di una variabile: L’integrale di Riemann e signifi-
cato geometrico; somme inferiori e superiori, caratterizzazione delle funzioni integrabili;
classi di funzioni integrabili; propriet`a dell’integrale; la funzione integrale e la primitiva;
teorema fondamentale del calcolo integrale; integrale indefinito; regole di integrazione:
integrazione per parti e per sostituzione; integrali impropri e criteri di convergenza, serie
e integrali impropri.
Numeri complessi: Definizione dei complessi e struttura di campo; forma cartesiana
dei complessi e piano di Gauß; coniugato, modulo e argomento di un complesso; disuguaglianza
triangolare; forma trigonometrica dei complessi; significato geometrico delle
operazioni fra complessi; potenze e radici di numeri complessi.
Equazioni differenziali di primo ordine: Interpretazione geometrica; problema di
Cauchy; esistenza di soluzioni e il teorema di Peano; equazioni lineari di primo ordine,
equazioni omogenee, variazione della costante; equazioni a variabili separabili, soluzioni
stazionarie, metodo di sostituzione.
Equazioni differenziali di secondo ordine: Problema di Cauchy; equazioni lineari a
coefficienti costanti, equazione omogenea, polinomio caratteristico, soluzione particolare
e generale, equazioni complete, metodo della variazione della costante, la Wronskiana.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: Funzioni reali di più variabili,
grafico; norma in R^n e limiti in R^n; funzioni continue di pi`u variabili; derivate direzionali
e derivate parziali; gradiente; continuità e derivabilità, approssimazione lineare, piano
tangente; estremi locali, punti critici e teorema di Fermat; derivate successive e teorema
di Schwarz, la Hessiana, Teorema di Taylor, matrici definite positive/negative e indefi-
nite, criterio di Hurwitz; funzioni di pi`u variabili a valori vettoriali, la Jacobiana, regola
della catena, trasformazioni regolari di coordinate: coordinate polari, circolari e sferiche,
trasformazioni regolari, invertibilità locale di trasformazioni.
Calcolo Integrale per funzioni di pi`u variabili: Integrazione di funzioni di due variabili,
integrale di Riemann, misura di un insieme, proprietà dell’integrale, domini semplici
e regolari, teorema di Fubini, interpretazione geometrica; cambiamento di variabili, integrazione
in coordinate polari.
M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill;
F.Camilli, Appunti del corso, http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio.camilli/An1-12cfu_new/ana1.pdf
(Date degli appelli d'esame)
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IANNI ISABELLA
( programma)
Il corso vuole fornire i principali strumenti di analisi matematica utilizzati nelle discipline tecnico-scientifiche.
Dopo una serie di richiami sugli insiemi numerici, sulla definizione astratta di funzione, sullo studio delle funzioni di base e sulle tecniche di risoluzione delle equazioni o disequazioni ad esse associate, una buona parte del corso è dedicata alle funzioni di una variabile reale (limiti, derivate, integrali). Tali argomenti si generalizzano poi al caso di funzioni di più variabili reali. Vengono infine introdotte le equazioni differenziali al primo e secondo ordine.
I temi trattati sono i seguenti:
Numeri e piano cartesiano (10h)
Successioni e serie numeriche (12h)
Funzioni reali di una variabile reale (10h)
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile (12h)
Calcolo Integrale per funzioni di una variabile (15h)
Equazioni differenziali di primo ordine (12h)
Equazioni differenziali di secondo ordine (12h)
Limiti e continuità per funzioni di più variabili (6h)
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (15h)
Calcolo Integrale per funzioni di piu` variabili (16h)
G. Crasta, A. Malusa: Matematica 2. Teoria ed Esercizi, Pitagora Ed.
M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore
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MAT/05
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Attività formative di base
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ITA |
