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Insegnamento
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CFU
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Ore Lezione
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Ore Eserc.
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Ore Lab
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Ore Studio
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Attività
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Lingua
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1015374 -
ANALISI MATEMATICA I
(obiettivi)
OBIETTIVI GENERALI
Lo scopo di questo corso è quello di apprendere le idee e le tecniche di base del calcolo calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile, comprese le successioni e serie numeriche, le equazioni differenziali ordinarie e i numeri complessi. L'approccio è soprattutto pratico, volto a fornire agli studenti le idee e le tecniche fondamentali per la comprensione dei successivi corsi di matematica, di fisica e di ingegneria. Viene interamente svolto con lezioni frontali durante le quali gli studenti sono invitati a partecipare attivamente.
OBIETTIVI SPECIFICI
1) Conoscenza e capacità di comprensione: comprensione delle idee fondamentali dell'analisi matematica in una variabile, con enfasi sul ragionamento logico, sulla comprensione del testo e sull'acquisizione di capacità di risolvere problemi concreti.
2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione: utilizzo delle conoscenze acquisite per risolvere problemi di analisi matematica e discutere esempi; preparazione all'utilizzo dell'analisi matematica nelle applicazioni alle altre scienze, in particolare alla meccanica.
3) Autonomia di giudizio: imparare ad utilizzare le tecniche più appropriate per risolvere uno specifico problema; imparare a classificare i tipi di problemi che si possono incontrare nelle scienze pure e applicate.
4) Abilità comunicative: imparare a presentare la risoluzione di un problema di Analisi Matematica indicando quali tecniche vengono utilizzate, motivando i passaggi ed evidenziando la logica dei ragionamenti effettuati.
5) Capacità di apprendimento: sviluppare le competenze necessarie per apprendere l'Analisi Matematica in vista della successiva carriera dello studente.
Canale: 1
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AMAR MICOL
( programma)
Il programma tratterà i seguenti argomenti principali: numeri complessi,
concetto di limite, calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile,
equazioni differenziali ordinarie a variabili separabili e lineari.
NUMERI REALI E COMPLESSI (1cfu) Introduzione. Numeri naturali, interi, razionali e reali. Valore assoluto. Simbolo di sommatoria: somma della progressione geometrica. Fattoriale. Numeri complessi: forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale; potenze, radici n-esime, polinomi; equazioni in campo complesso.
FUNZIONI (1cfu) Proprietà astratte delle funzioni (dominio, codominio, grafico); funzioni fra numeri reali (limitatezza, simmetrie, monotonia, periodicità); operazioni sui grafici. Funzioni elementari (valore assoluto, potenze reali, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche). Funzioni composte e funzioni inverse. Funzioni trigonometriche inverse (arcocoseno, arcoseno, arcotangente).
TORIA DEI LIMITI PER FUNZIONI E SUCCESSIONI (2cfu) Successioni numeriche. Il concetto di limite e le sue proprietà: unicità. Teoremi di confronto (confronto, permanenza del segno I e II, carabinieri e conseguenze). Successioni monotone. La definizione di asintotico.
Il limite notevole del seno. Altri limiti notevoli. Il numero e. La nozione di limite per funzioni di una variabile e sue proprietà. Infinitesimi ed infiniti. La definizione di «o» piccolo. Definizione di continuità: operazioni elementari e funzioni continue. Funzioni discontinue. Asintoti. Teorema degli zeri, Teorema di Weierstrass, Teorema dei valori intermedi. Teorema di monotonia.
CALCOLO DIFFERENZIALE (2cfu) Il concetto di derivata e sue proprietà: retta tangente e approssimazione lineare. Derivabilità implica continuità. Derivate elementari. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Punti di non derivabilità. Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervalli. Estremi locali e Teorema di Fermat. Teorema di Lagrange e criterio di monotonia. Limite della derivata e derivabilità. Derivate di ordine superiore: concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione di variabile reale. Teorema di de L’Hopital. Formula di Taylor con il resto di Peano. Dimostrazione della formula di McLaurin per n=1 e n=2.
SERIE (1cfu) Il concetto di serie e le sue proprietà. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi e teorema di regolarità. Criteri di convergenza: criterio del rapporto, della radice, del confronto e del confronto asintotico. Serie a termini di segno qualunque: assoluta convergenza e criterio di Leibniz.
INTEGRALI (1cfu) Teoria dell’integrazione. Definizione dell’integrale di una funzione continua e sue proprietà. Significato geometrico. Teorema della media. Il primo Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito: funzioni primitive e loro caratterizzazione. Funzione integrale: il secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale. Alcuni metodi di integrazione (integrali elementari, decomposizione in somma, per parti, per sostituzione, funzioni razionali, funzioni trigonometriche, alcune funzioni irrazionali).
EQUAZIONI DIFFERENZIALI (1cfu) Equazioni del primo ordine: equazioni a variabili separabili; metodo risolutivo delle equazioni lineari. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura delle soluzioni dell’equazione omogenea e dell’equazione completa, metodo di somiglianza.
 Bramanti - Pagani - Salsa: Analisi matematica I - Zanichelli
Amar -Bersani: Analisi Matematica I: esercizi e richiami di teoria - “La Dotta” Ed. (2012)
Materiale disponibile alla pagina web
http://www.sbai.uniroma1.it/~micol.amar/Meccanica2010.htm
(Date degli appelli d'esame)
Canale: 2
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SCARABOTTI FABIO
( programma)
Il programma tratterà i seguenti argomenti principali: numeri complessi,
concetto di limite, calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile,
equazioni differenziali ordinarie a variabili separabili e lineari.
NUMERI REALI E COMPLESSI (1cfu) Introduzione. Numeri naturali, interi, razionali e reali. Valore assoluto. Simbolo di sommatoria: somma della progressione geometrica. Fattoriale. Numeri complessi: forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale; potenze, radici n-esime, polinomi; equazioni in campo complesso.
FUNZIONI (1cfu) Proprietà astratte delle funzioni (dominio, codominio, grafico); funzioni fra numeri reali (limitatezza, simmetrie, monotonia, periodicità); operazioni sui grafici. Funzioni elementari (valore assoluto, potenze reali, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche). Funzioni composte e funzioni inverse. Funzioni trigonometriche inverse (arcocoseno, arcoseno, arcotangente).
TORIA DEI LIMITI PER FUNZIONI E SUCCESSIONI (2cfu) Successioni numeriche. Il concetto di limite e le sue proprietà: unicità. Teoremi di confronto (confronto, permanenza del segno I e II, carabinieri e conseguenze). Successioni monotone. La definizione di asintotico.
Il limite notevole del seno. Altri limiti notevoli. Il numero e. La nozione di limite per funzioni di una variabile e sue proprietà. Infinitesimi ed infiniti. La definizione di «o» piccolo. Definizione di continuità: operazioni elementari e funzioni continue. Funzioni discontinue. Asintoti. Teorema degli zeri, Teorema di Weierstrass, Teorema dei valori intermedi. Teorema di monotonia.
CALCOLO DIFFERENZIALE (2cfu) Il concetto di derivata e sue proprietà: retta tangente e approssimazione lineare. Derivabilità implica continuità. Derivate elementari. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Punti di non derivabilità. Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervalli. Estremi locali e Teorema di Fermat. Teorema di Lagrange e criterio di monotonia. Limite della derivata e derivabilità. Derivate di ordine superiore: concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione di variabile reale. Teorema di de L’Hopital. Formula di Taylor con il resto di Peano. Dimostrazione della formula di McLaurin per n=1 e n=2.
SERIE (1cfu) Il concetto di serie e le sue proprietà. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi e teorema di regolarità. Criteri di convergenza: criterio del rapporto, della radice, del confronto e del confronto asintotico. Serie a termini di segno qualunque: assoluta convergenza e criterio di Leibniz.
INTEGRALI (1cfu) Teoria dell’integrazione. Definizione dell’integrale di una funzione continua e sue proprietà. Significato geometrico. Teorema della media. Il primo Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito: funzioni primitive e loro caratterizzazione. Funzione integrale: il secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale. Alcuni metodi di integrazione (integrali elementari, decomposizione in somma, per parti, per sostituzione, funzioni razionali, funzioni trigonometriche, alcune funzioni irrazionali).
EQUAZIONI DIFFERENZIALI (1cfu) Equazioni del primo ordine: equazioni a variabili separabili; metodo risolutivo delle equazioni lineari. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura delle soluzioni dell’equazione omogenea e dell’equazione completa, metodo di somiglianza.
Bramanti - Pagani - Salsa: Analisi matematica I - Zanichelli
Amar -Bersani: Analisi Matematica I: esercizi e richiami di teoria - “La Dotta” Ed. (2012)
Materiale disponibile alla pagina web
http://www.sbai.uniroma1.it/~micol.amar/Meccanica2010.htm
(Date degli appelli d'esame)
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9
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MAT/05
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63
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27
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-
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Attività formative di base
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ITA |
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1015375 -
GEOMETRIA
(obiettivi)
OBIETTIVI GENERALI
Lo scopo del corso e’ duplice: da una parte, lo studente apprendera' le tecniche di base dell’algebra lineare, quali ad esempio la risoluzione dei sistemi lineari e la diagonalizzazione di matrici; dall’altra, egli applichera’ tali tecniche allo studio di problemi di varia natura, in particolare, alla geometria analitica del piano e dello spazio, sviluppando in modo rigoroso l’intuizione geometrica tridimensionale. Tali conoscenze di base sono importanti per affrontare i successivi corsi di ingegneria meccanica. L’approccio e’ concreto, basandosi su molti esempi numerici mirati a una graduale assimilazione dei concetti, ma una parte non secondaria del corso e’ volta a contenuti piu’ astratti e teorici, che possano formare lo studente al ragionamento rigoroso. Le lezioni sono tutte frontali, e lo studente e’ invitato a partecipare attivamente con domande ed esercizi pratici da discutere poi in classe, collegialmente, durante l’ultima ora di lezione e in seguito, assistiti dal Tutore nei tempi dedicati.
OBIETTIVI SPECIFICI
Conoscenza e capacita’ di comprensione. Apprendimento delle tecniche di base dell’algebra lineare, uso delle matrici e della tecnica di diagonalizzazione. Applicazione alla modellizzazione di problemi geometrici e allo sviluppo dell’intuizione geometrica. Introduzione a strutture algebriche piu’ astratte e alle relative metodologie (principalmente, gli spazi vettoriali).
2) Capacita’ di applicare conoscenza e comprensione. Uso delle conoscenze acquisite per risolvere problemi geometrici, ma non solo; l’enfasi e’ sulla capacita’ di affrontare un problema geometrico, partendo dall’intuizione geometrica e procedendo, in modo rigoroso, con i mezzi algebrici acquisiti.
3) Autonomia di giudizio. L’atteggiamento comune dello studente del primo anno e’ quello di memorizzare le tecniche, risolvendo un gran numero di esercizi. Nel corso, invece, l’enfasi e’ su un atteggiamento critico piu’ che mnemonico, incoraggiando lo studente a cercare diverse strategie di risoluzione, e ad accorgersi di eventuali errori e incongruita’ analizzando la coerenza dei risultati ottenuti.
4) Abilita’ comunicative. Enfasi sulla chiarezza e sulla completezza della comunicazione, indicando i passaggi logici svolti e le metodologie utilizzate. Particolare attenzione e’ data alla semplicita’ e alla sintesi nella presentazione.
5) Capacita’ di apprendimento. Sviluppare le competenze logiche necessarie per affrontare problemi che saranno, in futuro, molto diversi dagli specifici esercizi di geometria proposti nel corso. Ancora una volta, lo scopo e’ quello di sviluppare il piu’ possibile una capacita’ critica e un atteggiamento creativo.
Canale: 1
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SAVO ALESSANDRO
( programma)
Lo scopo del corso e' quello di introdurre lo studente al ragionamento rigoroso e alla risoluzione di problemi geometrici. Ci si aspetta che l'apprendimento sia costante, in concomitanza con le lezioni; essenziale sara' lo svolgimento degli esercizi che settimanalmente verranno assegnati. L'inizio può eventualmente risultare difficile, soprattutto a causa di lacune degli anni di studio precedenti, ma dopo il primo impatto ci si aspetta che il metodo produca un miglioramento e un'abitudine ai temi.
Il programma consiste di una parte di algebra lineare (circa 50 ore) e di una parte di geometria analitica (circa 40 ore) che utilizza in modo essenziale gli strumenti introdotti nella prima parte.
Argomenti principali. Risoluzione di sistemi lineari, algoritmo di Gauss, matrici, determinante e rango, spazi vettoriali, basi e dimensione, sottospazi, applicazioni lineari tra spazi vettoriali, diagonalizzazione di matrici ed endomorfismi. Prodotto scalare canonico, ortonormalizzazione di basi e teorema spettrale. Rette e piani dello spazio euclideo, e le varie condizioni di parallelismo e perpendicolarita'. Circonferenze e sfere, trasformazioni del piano, coniche e loro riduzione a forma canonica.
1. SISTEMI LINEARI E MATRICI (20 ore).
Operazioni elementari sui sistemi lineari.
Il metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi lineari omogenei.
Matrici. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema.
Operazioni elementari sulle righe di una matrice, matrici a scalini.
Operazioni sulle matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto righe per colonne di due matrici. Forma matriciale di un sistema.
Determinante di una matrice quadrata. Teorema di Binet. Matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa. Teorema di Cramer.
Equazioni matriciali. Rango di una matrice.
Rango per minori, teorema degli orlati. Il teorema di Rouche'-Capelli. Matrici triangolari. Matrici simmetriche e antisimmetriche.
Sistemi lineari dipendenti da parametri.
2. SPAZI VETTORIALI REALI (12 ore). Assiomi ed esempi.
Vettori applicati del piano e dello spazio.
Spazi vettoriali di matrici e polinomi. Lo spazio vettoriale R^n.
Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Generatori di uno spazio vettoriale.
Spazi vettoriali finitamente generati. Basi e dimensione. Esistenza di una base. Estensione di una base.
Matrice del cambiamento di base. Coordinate di un vettore rispetto a una base.
Sottospazi vettoriali. Sottospazi generati da un insieme di vettori. Somma e intersezione di sottospazi. Somma diretta. Formula di Grassmann.
Dimensione e rango.
3. APPLICAZIONI LINEARI TRA SPAZI VETTORIALI (8 ore)
Nucleo e immagine. Applicazioni lineari iniettive, suriettive.
Matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una base. Applicazioni lineari assegnate su una base.
Il teorema della dimensione. Endomorfismi di uno spazio vettoriale.
Matrici simili. Matrici associate ad uno stesso endomorfismo sono simili.
4. AUTOVETTORI E AUTOVALORI (10 ore).
Il polinomio caratteristico di una matrice e di un endomorfismo.
Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicita' algebrica e molteplicita' geometrica di un autovalore. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Basi di autovettori. Criteri di diagonalizzabilita'. Procedimento di diagonalizzazione.
5. IL PRODOTTO SCALARE IN R^N (8 ore)
Assiomi. Norma di un vettore. Basi ortogonali. Basi ortonormali e algoritmo di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali e loro proprieta'. Il complemento ortogonale di un sottospazio. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio.
Endomorfismi simmetrici. Ortogonalita' degli autospazi di un endomorfismo simmetrico.
Il teorema spettrale. Matrici ortogonali. Diagonalizzazione di endomorfismi simmetrici.
Diagonalizzazione di matrici simmetriche.
6. GEOMETRIA ANALITICA DEL PIANO (8 ore)
Il prodotto scalare di vettori geometrici. Distanza tra due punti. Area. Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta. Intersezione di due rette. Condizioni di parallelismo e
perpendicolarita'. Fasci di rette. Distanza di un punto da una retta. Circonferenze. Retta tangente ad una circonferenza.
7. GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO (12 ore)
Il prodotto scalare di vettori geometrici. Distanza tra due punti. Area. Prodotto vettoriale. Equazioni cartesiane e parametriche di rette. Equazione cartesiana di un piano. Parametri direttori
di una retta. Parallelismo e perpendicolarita' di rette. Complanarita' di punti.
Fasci di piani. Parallelismo e perpendicolarita' di piani. Vettori perpendicolari ad un piano. Condizioni di parallelismo e perpendicolarita' fra una retta e un piano. Rette complanari e sghembe. Proiezione ortogonale di un punto su una retta e su un piano. Distanza di un punto da una retta e da un piano. Distanza di due rette e retta di distanza minima. Proiezione ortogonale di una retta su un piano. Sfere dello spazio. Piano tangente ad una sfera. Sfera per quattro punti.
8. TRASFORMAZIONI DEL PIANO E CONICHE (12 ore) Trasformazioni lineari del piano: rotazioni, proiezioni ortogonali, riflessioni. Formule del cambiamento di coordinate. Forme quadratiche e loro diagonalizzazione. Ellisse, iperbole, parabola e loro equazioni canoniche. Coniche. Matrici di una conica. Teorema di invarianza, teorema di riduzione. Riduzione a forma canonica e classificazione.
Appunti del corso, di Alessandro Savo (in dodici parti). Disponibili su:
http://www.dmmm.uniroma1.it/~alessandro.savo/
Sono anche disponibili dei fogli di esercizi, in undici parti.
(Date degli appelli d'esame)
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9
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MAT/03
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63
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27
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Attività formative di base
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ITA |
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10589405 -
DISEGNO DI MACCHINE
(obiettivi)
Comprensione del ruolo del disegno tecnico nella progettazione meccanica. Apprendimento della normativa necessaria alla stesura e comprensione di disegni tecnici di area industriale. Applicazione alla stesura di disegni di componenti e assiemi di area meccanica.
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9
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ING-IND/15
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63
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27
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Attività formative caratterizzanti
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ITA |
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AAF1185 -
PER LA CONOSCENZA DI ALMENO UNA LINGUA STRANIERA
(obiettivi)
Il corso, rivolto a studenti che possiedano già una conoscenza della lingua inglese pari al livello A2 del Quadro Comune Europeo di Riferimento per le Lingue, ha l'obiettivo di fornire gli strumenti grammaticali e lessicali necessari alla produzione scritta e orale, alla comprensione di testi specifici, al raggiungimento di una conoscenza della lingua equivalente al livello B1.
Fornire agli studenti le basi linguistiche più comuni per orientarsi nell'ambito della comunicazione scientifica scritta.
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3
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21
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9
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Per la prova finale e la lingua straniera (art.10, comma 5, lettera c)
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ITA |
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AAF1731 -
FONDAMENTI DI MATEMATICA
(obiettivi)
Il corso e' principalmente rivolto agli studenti del primo anno che necessitano di recuperare ed approfondire le conoscenze di matematica di base.
Esso si propone di colmare le lacune spesso riscontrate nella preparazione matematica degli studenti in ingresso, in modo da dar loro la padronanza necessaria per poter affrontare proficuamente i corsi di Analisi Matematica e Geometria e, in generale, tutto il percorso universitario successivo.
Durante il corso verranno richiamate le nozioni di base sulle proprietà delle potenze, logaritmi ed esponenziali, valore assoluto, trigonometria e coniche, al fine di portare lo studente ad operare con ragionevole sicurezza in presenza di tali concetti matematici.
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3
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36
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Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)
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ITA |
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AAF1149 -
ALTRE CONOSCENZE UTILI PER L'INSERIMENTO NEL MONDO DEL LAVORO
(obiettivi)
Obiettivo specifico è quello di consentire allo studente di
coadiuvare le sue conoscenze storiche con quelle più specifiche per
l'inserimento nel futuro mondo del lavoro.
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3
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36
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Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d)
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ITA |
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