Gruppo opzionale:
GRUPPO OPZIONALE E - (visualizza)
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1031372 -
EQUAZIONI DIFFERENZIALI NON LINEARI
(obiettivi)
1) Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:
Il corso fornisce agli studenti strumenti avanzati per lo studio di alcuni tipi di equazioni differenziali nonlineari alle derivate parziali.
2) Risultati di apprendimento - Competenze acquisite:
Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare lo studio avanzato delle soluzioni classiche e generalizzate di alcuni tipi di equazioni differenziali nonlineari alle derivate parziali.
3) Abilità di giudizio
Gli studenti avranno modo di valutare le loro abilità a trattare problemi relativi a equazioni nonlineari alle derivate parziali.
4) Abilità di comunicazione
Gli studenti potranno comunicare le loro conoscenze, grazie anche alla parte di esame orale dedicata allo svolgimento di un breve seminario.
5) Capacità di apprendimento
Gli studenti acquisiranno conoscenze in grado di proseguire gli studi delle equazioni alle derivate parziali a livello di dottorato.
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LEONI FABIANA
( programma)
Principio del massimo per soluzioni classiche di equazioni lineari: richiami, teoria e applicazioni.
Soluzioni deboli: motivazioni ed esempi.
Soluzioni in senso di viscosità per equazioni non lineari del primo e secondo ordine: risultati di confronto, esistenza, regolarità. Formule di rappresentazione.
 M. Bardi, I. Capuzzo Dolcetta, “Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations”, Birkhauser, Boston, 1997.
M. G. Crandall, “Viscosity solutions: a primer. Viscosity solutions and applications”, Lecture notes in Mathematics vol. 1660, Springer-Heidelberg 1997.
S. Koike, “A beginners guide to the theory of viscosity solutions”, 2nd edition, 2012
http://www.math.tohoku.ac.jp/~koike/evis2012version.pdf
M.H. Protter, H.F. Weinberger, “Maximum Principles in Differential Equations”, Springer-Verlag New York. Inc., 1984.
(Date degli appelli d'esame)
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MAT/05
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48
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Attività formative affini ed integrative
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ITA |
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1031377 -
MECCANICA DEI FLUIDI
(obiettivi)
Obiettivi Formativi
Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base degli aspetti
fisico-matematici della Meccanica dei Fluidi.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: conoscenza dei principi fisici
e delle assunzioni modellistiche che portano alle equazioni dei fluidi,
conoscenza delle equazioni dei fluidi e delle loro proprietà matematiche:
formulazioni deboli, esistenza e unicità delle soluzioni,
modelli per l'evoluzione di dati singolari.
Applicare conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente sarà in grado di
modellizzare i moti fluidi attraverso la formulazione di appropriati
funzionali di azione, discutere l'evoluzione di singolarita' non
direttamente trattate nel corso, utilizzare gli strumenti matematici per
la trattazione dei fluidi in altri contesti.
Per sviluppare questi aspetti, nel corso vengono assegnati e svolti
opportuni esercizi.
Capacità critiche e di giudizio:
capacità di enucleare gli aspetti più significativi della teoria,
di saper valutare i limiti e i vantaggi delle semplificazioni
operate (incomprimibilità, assenza o presenza di viscosità),
e i limiti dei risultati matematici, con particolare
rifererimento ai fluidi turbolenti.
Capacità comunicative:
capacità di esporre lo svluppo della
teoria fisico-matematica del moto dei fludi, evidenziando
la relazione tra gli aspetti fisici e quelli matematici;
capacita' di illustrare le dimostrazioni,
riassumento le idee importanti, e discutendo i dettagli matematici.
Capacità di apprendimento
le conoscenze acquisite permetteranno uno studio,
individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti
numerici e modellistici della meccanica dei fluidi, e più in
generale della meccanica dei continui.
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CAVALLARO GUIDO
( programma)
Le equazioni del moto. Equazioni di Eulero. Vorticita' e funzione di corrente. Le Equazioni di Navier-Stokes.
Flussi potenziali e flussi a bassa viscosita'. Strato limite. Modello a vortici. Stabilità di soluzioni stazionarie. Teorema di Arnold.
Costruzione della soluzione. Esistenza e unicita' globale in due dimensioni. Cenni al caso in tre dimensioni.
Flussi in una dimensione. Caratteristiche. Shock. Il Problema di Riemann. Onde d'acqua. Equazione di Korteweg-de Vries.
Modelli cinetici di attrito viscoso. Equazione di Vlasov-Poisson.
A. Chorin, J.E. Marsden: A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Springer-Verlag, 2000.
C. Marchioro, M. Pulvirenti: Mathematical Theory of Incompressible Nonviscous Fluids, Springer-Verlag, 1994.
(Date degli appelli d'esame)
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MAT/07
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48
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Attività formative affini ed integrative
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ITA |
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1031375 -
STATISTICA MATEMATICA
(obiettivi)
Obiettivi generali: Introdurre lo studente ai risultati fondamentali della statistica matematica e alle applicazioni più significative, anche attraverso la discussione di casi concreti e di software statistico.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base che riguardano i problemi di stima puntuale, per intervallo e i problemi di verifica delle ipotesi, nonché i principali metodi con cui questi si affrontano: metodo dei momenti, della massima verosimiglianza e generalizzazioni.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di valutare il grado di accuratezza con cui, in semplici problemi statistici, si possono stimare parametri o validare ipotesi su questi, implementando queste risposte in un software opportuno.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà modo di apprezzare gli strumenti probabilistici utili ad affrontare i problemi statistici e i vari approcci alla risoluzione degli stessi.
Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio successivo di aspetti più recenti e avanzati della statistica matematica.
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POSTA GUSTAVO
( programma)
Introduzione alla statistica
- Modelli statistici parametrici e non parametrici
- Principi di riduzione dei dati: statistiche sufficienti
Stima puntuale e intervallare
- metodi di ricerca di stimatori
- criteri di ottimalità
- stimatore di massima verosimiglianza
- stimatore Bayesiano
- intervalli di confidenza
- proprietà asintotiche
Test di ipotesi
- caso di ipotesi semplici
- ipotesi composte
- criteri di ottimalità
- proprietà asintotiche
Regressione linerare
- metodo dei minimi quadrati
- caso normale
Cenni su modelli non parametrici.
Il programma potrà subire delle variazioni in base agli interessi del pubblico.
G. Casella, R. Berger: Statistical Inference
(Date degli appelli d'esame)
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MAT/06
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Attività formative affini ed integrative
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ITA |
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1031363 -
TEORIA DEI CODICI
(obiettivi)
Il corso offre un'introduzione alla crittografia, che è la componente principale per la sicurezza nelle applicazioni digitali odierne.
Conoscenza e comprensione:
-) Conoscenza dei fondamenti matematici della crittografia moderna.
-) Conoscenza degli schemi crittografici usati nella vita reale. Comprensione delle loro proprietà (teoriche e pratiche).
Applicare conoscenza e comprensione:
-) Come selezionare la giusta primitiva crittografica per una data applicazione.
-) Come analizzare la sicurezza di un dato crittosistema.
Inoltre, gli studenti interessati alla ricerca impareranno quali sono i principali problemi aperti nell'area, e otterranno le basi per proseguire gli studi nel campo.
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INF/01
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Attività formative affini ed integrative
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ITA |
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1044640 -
CALCOLO STOCASTICO E APPLICAZIONI
(obiettivi)
Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:Gli studenti conosceranno varie caratterizzazioni del moto Browniano, le proprieta' fondamentali dei processi di diffusioni e i risultati principali del calcolo stocastico, tra i quali la formula di ItoRisultati di apprendimento - Competenze acquisite:Gli studenti saranno in grado di applicare il calcolo stocastico in vari contesti applicativi, dalla finanza matematica, alla fisica e alla biologia.
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SILVESTRI VITTORIA
( programma)
Parte I: Moto Browniano
1. Misura di Wiener
2. Esistenza del moto Browniano
3. Proprietà del moto Browniano (invariata per scala, rotazione, shift e inversione temporale)
4. Principio di riflessione
5. Legge 0-1 di Blumenthal
6. Martingale per il moto Browniano
Parte II: Martingale
1. Richiami di martingale discrete (arresto opzionale, disuguaglianze di Doob, teoremi di convergenza)
1. Martingale in tempo continuo (arresto opzionale, disuguaglianze di Doob, teoremi di convergenza)
Parte III: Costruzione dell’integrale di Ito
1. Processi prevedibili
2. Integrale di processi prevedibili contro processi a variazione finita
3. Martingale locali
4. Martingale locali continue a variazione finita sono costanti
5. Integrale di processi semplici contro martingale continue limitate in L2
6. Spazio di Hilbert degli integratori
7. Variazione quadratica
8. Spazio di Hilbert degli integrandi
9. Isometria di Ito
10. Estensioni tramite localizzazione
Parte IV: Proprietà dell’integrale di Ito
1. Integrale iterato
2. Covariazione
3. Identità di Kunita-Watanabe
4. Formula di Ito
Parte V: Applicazioni
1. Caratterizzazione di Levy per il moto Browniano
2. Teorema di Dubins-Schwarz
3. Martingale esponenziali
4. Teorema di Girsanov
Parte VI: Equazioni Differenziali Stocastiche
1. Nozioni di esistenza ed unicità di soluzioni
2. Teorema di esistenza ed unicità per coefficienti Lipschitz
3. Processi localmente definiti, soluzioni locali
Parte VII: Processi di diffusione (cenni)
1. Definizione e costruzione di (a,b)-diffusioni
2. Proprietà di (a,b)-diffusioni
3. Applicazioni a soluzioni di PDEs: problema di Dirichlet e problema di Cauchy
4. Teorema di Feynman-Kac
[1] Lorenzo Bertini, Calcolo stocastico e applicazioni. note del corso.
[2] Patrick Billingsley, Convergence of probability measures, 2 ed., Wiley series in probability and statistics. Probability and statistics section, Wiley, 1999.
[3] Patrick Billingsley, Probability and measure, 4 ed., Wiley, 2014.
[4] Richard Durrett, Stochastic calculus: a practical introduction, 1 ed., Probability and stochastics series, CRC Press, 1996.
[5] James Norris, Probability and measure, online lecture notes.
[6] Vittoria Silvestri and Jason Miller, Stochastic calculus, online lecture notes.
[7] Perla Sousi, Advanced probability, online lecture notes.
[8] Dawid Williams, Probability with martingales, 17th print ed., Cambridge Mathematical Textbooks, Cambridge University Press, 2014.
(Date degli appelli d'esame)
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MAT/06
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Attività formative affini ed integrative
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1031367 -
TEORIA DEGLI AUTOMI
(obiettivi)
Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria degli automi.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito familiarità con i concetti di automa deterministico e completo, di linguaggio riconoscibile, di automa non deterministico, di linguaggio razionale e di teoremi che descrivono alcune proprietà fondamentali di natura algebrica e combinatoria di queste strutture
(descrizione dei linguaggi accettati da automi in termini di congruenze di indice finito,
di operazioni razionali nel mondi libero delle stringhe su di un alfabeto dato, di modelli
non deterministici e di automi minimali).
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di tecniche combinatorie e algebriche di teoria degli automi: costruzione di automi per il riconoscimento di linguaggi, proprietà algoritmiche e di decidibilità, strumenti per verificare la non riconoscibilità di linguaggi.
Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato dimistichezza con gli oggetti basilari della teoria. In particolare, saranno in grado di leggere criticamente le dimostrazioni dei risultati della teoria esposti nel corso e di analizzare relazioni ed analogie con argomenti di teoria matematica dei linguaggi formali e di teoria dei codici.
Capacità comunicative: capacità di esporre in forma scritta i risultati teorici e la soluzione degli esercizi proposti nella prova di esame.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, di aspetti più specialistici di teoria degli automi e di teoria matematica dei linguaggi formali.
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INF/01
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Attività formative affini ed integrative
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1031448 -
MODELLI DI RETI NEURALI
(obiettivi)
Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base sui metodi matematici impiegati nella modellistica dell'intelligenza artificiale, con particolare attenzione al "machine learning".
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base (prevalentemente negli ambiti di processi stocastici e meccanica statistica) utilizzati nello studio dei principali modelli di reti neurali (modello di Hopfield, perceptrone, macchine di Boltzmann).
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere in maniera autonoma semplici modelli di reti neurali e di distinguere tra fase di richiamo, fase vetrosa e fase ergodica attraverso l'utilizzo dei parametri d'ordine; lo studente avrà le basi per sviluppare, in autonomia, algoritmi di apprendimento e di richiamo
Capacità critiche e di giudizio: lo studente sarà in grado di determinare i parametri critici di modelli di richiamo e di apprendimento e di analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti statistica inferenziale.
Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici di meccanica statistica, sviluppo di algoritmi, utilizzo di big data.
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AGLIARI ELENA
( programma)
Modelli biologici e artificiali
Richiami di meccanica statistica dell'equilibrio
Modello di Curie-Weiss (CW)
Transizioni di fase, rottura di ergodicità, rottura spontanea di simmetria
Neurone di McCulloc-Pitts
Dinamica neuronale deterministica e stocastica
Il concetto di richiamo
Apprendimento hebbiano
Reti neurali ad attrattori
Modello di Mattis
Introduzione ai sistemi disordinati: frustrazione, media "quenched" ed "annealed", auto-media
Modello di Hopfield
Soluzione del modello di Hopfield in basso carico
Stati puri e stati spuri
Tecnica segnale-rumore
Introduzione al modello di Sherrington-Kirkpatrick (SK)
Soluzione del modello di Hopfield in alto carico
Accoppiamento non locale con matrice di interazione pseudo-inversa
Elementi di teoria dell'informazione
Richiami di inferenza statistica
Approccio Bayesiano (e rasoio di Occam)
Massima verosimiglianza
Massima entropia
Massima entropia e meccanica statistica all'equilibrio
Introduzione all'apprendimento automatico
Il percettrone di Rosenblatt
Minsky e Papert
Apprendimento Bayesiano
Simulated Annealing
Modelli di apprendimento senza supervisore: classificazione e riduzione di dimensionalità
k-medie, mistura di gaussiane
Analisi delle componenti principali
Analisi fattoriale
Cenni agli autoencoder
Cenni alle reti neuronali convoluzionali
Macchine di Boltzmann
Contrastive divergence
Dualità Hopfield-RBM
Cenni al deep learning
Modelli avanzati ispirati dalla biologia
Neurofisiologia del potenziale d'azione
Modelli (leaky) integrate-and-fire
Teoria del cavo
Modello di Hodgkin-Huxley
Tra i libri suggeriti, quello con maggior sovrapposizione con il programma è
A.C.C. Coolen, R. Kuhn, P. Sollich, "Theory of Neural Information Processing Systems", Oxford Press
(Date degli appelli d'esame)
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MAT/07
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Attività formative affini ed integrative
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METODI NUMERICI PER LE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI NON LINEARI
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MAT/08
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Attività formative affini ed integrative
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